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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载电子科技高校 2022 -2022 学年第一学期期中考试 A 卷课程名称：数学物理方程考试形式：闭卷考试日期：20XX 年 11 月 11 日 考试时长： 90 分钟本试卷试题由四部分构成,共五页；题号一二三四合计得分得 分名师归纳总结 解：一、（30 分）假设 C2,C1,考虑一维波动方程的初值问题：第 1 页,共 7 页2u2 a2u0,t0,x,t2x2ut0 ,ut0 ,x.t证明它的解u x t , 由下述的达朗贝尔DAlembert 公式给出 : u x t , 1 xatxat1x aty dy.22ax a
2、t令xat,xat,就uuxuxuu,xuututauu,t2u2u2u22u,x2222ua22u2 u22u.t222代入2ua22u0中,得4a22u0.t2x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于a20,即可知2u优秀学习资料欢迎下载0.把它关于 积分一次,再关于 积分一次,可知它的通解为u , F G ,其中 F和 G 是任意两个可微的单变量函数；将 和 替换回原先的自变量,就原方程的通解为u x , t F x at G x at .由初始条件可得ut00F x FG x G , .（1）uta （2）t由（ 2）式两边积分,得其中aF
3、x G x Cx d,（3）x 00x 是任意一点,而C 是积分常数；由（ 1）和（ 3）,解得F x 1 1x dC,22ax02aG x 1 1xdC.22ax 02a把 F, G代入 u 的表达式中,就可得原问题的解u x t , 1 xatxat1,x atC, d.22ax at将此表达式代入原方程组,易知：如 C21它的确是一维波动方程的柯西问题的经典解；得 分名师归纳总结 二、（25 分）求解下面的半无界弦的振动问题：第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2u2usin ,t优秀学习资料欢迎下载0, 0x,t2x2utx
4、0 ,ut01, , 0x,00.tu00,C并且满意00 C2其中解：由叠加原理,原问题的解可分解为其中u 和ux,tu 1,u 2, u 分别是下面问题的解：x2u2u0,t0, 0t2x2ut0 ,ut0 , 0xtux00,和u2u2usinx,t0, 0x,IIt2x2u0, 0x0,t0tt0ux00,问题（ I）对应的柯西问题的解,由达朗贝尔公式给出：由题意知v 1x t1xtxt1x td.x ,x开拓到22x tx ,x仅在0x上给出,为利用达朗贝尔解,必需将x0上,为此利用边值条件,得t01ttd.2t因此对任何 t 可以令ttt,d0,t名师归纳总结 即x,x 可以奇开拓
5、到x：x0上；第 3 页,共 7 页记开拓后的函数为x ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xx,x,x优秀学习资料欢迎下载x,x,x0 ,0 .0 ,xx0 ,x此时解为U x t1xtxt1x td.22x t问题（ II）对应的柯西问题的解,可由齐次化原理给出：由于 sin是奇函数,故（v 2x t1txtsind d.x t；20xtII）的解奇延拓到全空间后即为v 2因此原问题的解为当xu x tt1xtxtd1x td1txtsind d.dd22x t20xtt时,xtxt1xtd1txtux,t1sindd当 022xt20xt1 2x
6、txt1x td1 2sin 2xsinxtsinxt;2x txt 时,xttx1xtd1t0xxtdd1ttxxtux ,t1sinsin如22tx2t2xtx1 2xtx1x t1 2sin 2xsinxtsinxt.C1,2tx00,就u x t C2,00并且满意相容性条件：是此半无界问题的经典解；0 得 分名师归纳总结 三、（u30 分）求解下面的初边值问题：l,第 4 页,共 7 页2u02uu0,t0,0,xt2x2xt0,t0sint u2lux00,xl0.x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：第一分别变量；令u x,tX优秀学习
7、资料欢迎下载xTt,将它代入方程得X x T X x T t 0.就存在常数使得X x 0,X T T t 0.由边界条件得：X 0,X x 0,X l 0.1 X0求问题 1的非平凡解,分以下三种情形争论；名师归纳总结 10时,方程的通解为第 5 页,共 7 页Xxc 1exc2ex由X00得c 1c20由Xl0得c 1elc2el0解以上方程组,得c10,c20,故0时得不到非平凡解；20 时,方程的通解为Xx c 1c2x由边值X00得1c0,再由Xl0得c20,仍得不到非平凡解；30 时,方程的通解为Xxc1cosxc2sinx由X0 0得c10,再由Xl0得c 2cosl0；为了使c
8、20,必需cosl0,于是n2 n12n0,1,22 l且相应地得到X nxsin2 n1xn0 2,1,2 l将代入方程TtTt0,解得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - T ntAn2 c o sn1t优秀学习资料1欢迎下载n0 ,1,2B n2 s i nnt2 l2 l于是ux,tn0Ancos2n1tB nsin2nl1tsin2n1x2 l22 l再由初始条件得解得0n0 xA nsin 2 n2 l2 n 11x2 n1xsinBnsin2 ln02 l2 lA n02 lsin2 n1d 2 n41lsinB n02 l2 l,n00 ,
9、n0故原问题的解为u x t , 2lsin2tsin2x.u x t , 是该初边值问题的经典解；ll将此表达式代入方程以及初边值条件中验算,可知得 分四、（15 分）论述并举例说明惠更斯原理以及波的弥散现象；要点： 由波方程柯西问题的解的泊松公式可知,（波的弥散）取决于空间维数的奇偶性；波的无后效现象 （惠更斯原理） 和有后效现象（1）惠更斯原理：奇数维空间（一维除外）中的球面波,传过之后不会留下后续效应；如波方程的行波解的速度为 a,就由泊松公式可知,在离声源 M 0 距离为 r 的一点M 1,只有在时间 t=r/a 的时候才受到初始时刻在 M 0发出的瞬时扰动的影响,而过后立刻回复到扰
10、动前的状态；在现实中,假如初始扰动发生在某个有界区域,就一段时间后,影响的区域是一个半径一样的球面簇,其前后阵面（包络面）可以名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载被简单地观看到；例子：三维的声波；从某个声源发出声波后,过一段时间传入耳中,并且声音的长短和发出的声音是一样的；（2）波的弥散：在偶数维空间或一维空间中,波的传播有后续效应；由泊松公式可知,声源 M 0 的影响区域是一个 M 0 为中心的球（二维时为圆）,所以在离声源 M 0 距离为 r 的一点 M 1, 在某时刻开头受到初始时刻在 M 0发出的瞬时扰动的影响,此后仍会连续受到影响,但会减弱（由于泊松公式的分母中有时间t）；假如初始扰动发生在某个有界区域,就简单观看到波传播的前阵面,但观看不到后阵面；例子：二维的水波；把垂直石头扔进水中,会产生连续的波纹,并且在某个固定点的波纹会从清楚变得模糊；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页