2022年数学物理方程与特殊函数模拟试题及参考答案 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思成都理工大学数学物理方程模拟试题一、填空题( 3 分 10=30 分)1.说明物理现象初始状态的条件叫() ,说明边界上的约束情况的条件叫() ,二者统称为(). 2.三维热传导齐次方程的一般形式是: () . 3 .在平面极坐标系下,拉普拉斯方程算符为() . 4.边界条件funuS)(是第()类边界条件,其中S为边界. 5.设函数),(txu的傅立叶变换式为),(tU,则方程22222xuatu的傅立叶变换为 () . 6.由贝塞尔函数的递推公式有)(0 xJdxd() . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202xPxP= (). 8.计算

2、积分dxxP2112)(() . 9.勒让德多项式)(1xP的微分表达式为() . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是() . 二、试用分离变量法求以下定解问题(30 分) :1.30,0,3,000, 30,200322222, 0 xtuxxtxxututtxuuu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2.xtxxutuuuutxx2, 0, 00, 40,040223. 20, 0, 8, 00,20,162002022222xtutxxututtxxuuu三、用达朗贝尔公式求解

3、下列一维波动方程的初值问题(10 分)0,2sin0,cos0022222tttuxutxxxuatu四、用积分变换法求解下列定解问题(10 分) :, 1, 10, 0, 1002yxuyuyxyxu五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式(10 分) :)(1)()(0 02xJxxJxJ六 、 在 半 径 为1 的 球 内 求 调 和 函 数u, 使 它 在 球 面 上满 足21cosru,即所提问题归结为以下定解问题(10 分): 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思.0, 1

4、2cos3,0, 10,0)(sinsin1)(11222rururrurrr(本题的u只与, r有关,与无关) 数学物理方程模拟试题参考答案一、 填空题:1.初始条件,边值条件,定解条件. 2.)(2222222zuyuxuatu3.01)(1222uu. 4. 三. 5.UadtUd2222. 6.)(1xJ. 7.2x. 8.52. 9.)1(212xdxd. 10.2020)()(1lnyyxxu. 二、试用分离变量法求以下定解问题1.解 令)()(),(tTxXtxu,代入原方程中得到两个常微分方程:0)()(2 tTatT,0)()( xXxX,由边界条件得到0)3()0(XX,对

5、的 情 况讨论 , 只 有当0时才 有 非 零解, 令2,得 到22223n为特征值,特征函数3sin)(nBxXnn,再解)(tT,得到32sin32cos)(;tnDtnCtTnnn,于是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思,3sin)32sin32cos(),(1xntnDtnCtxunnn再 由 初 始 条 件 得 到0,) 1(183sin332130nnnDnxdxnxC, 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为,3sin)32cos) 1(18(),(11xntnnt

6、xunn2. 解 令)()(),(tTxXtxu,代入原方程中得到两个常微分方程:0)()(tTtT,0)()( xXxX,由边界条件得到0)4()0(XX,对的情况讨论,只有当0时才有非零解,令2, 得到22224n为特征值,特征函数4sin)(nBxXnn,再解)(tT,得到16;22)(tnnneCtT,于是,4sin(),(16122xneCtxutnnn再由初始条件得到140) 1(164sin242nnnxdxnxC, 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为,4sin) 1(16),(161122xnentxutnnn3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关,令)(),(),(xw

7、txvtxu,代入原 方 程 中 , 将 方 程 与 边 界 条 件 同 时 齐 次 化 。 因 此212 22222)(16)(416)(4cxcxxwxwxwxvtv,再由边界条件有8)2(,0)0(ww,于是0, 821cc,xxxw82)(2.再求定解问题20,0),(,000,20,200322222, 0 xtvxwxtxxvtvttxvvv用分离变量法求以上定解问题的解为,2sincos)1) 1(32)1(16(),(331xntnnntxvnnn故,2sincos)1)1(32) 1(16(28),(3312xntnnnxxtxunnn三. 解:令)(),(),(xwtxvt

8、xu, 代 入 原 方 程 中 , 将 方 程 齐 次 化 , 因 此xaxwxxwaxxwxvatvc o s1)(0c o s)(c o s)(2 2 22222, 再求定解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思问题,0),(cos12sin0,02022222tttvxxwaxtxvatvv由达朗贝尔公式得到以上问题的解为atxaatxatxaatxataaatxtxvcoscos1cossin0)cos(1)(2sin)cos(1)(2sin21),(222故.cos1cos

9、cos1cossin),(22xaatxaatxtxu四. 解 :对 y 取拉普拉斯变换),(),(pxUyxuL,对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到ppUpdxdUpx11,120,解这个微分方程得到ppxppxU111),(22,再取拉普拉斯逆变换有1),(yyxyxu所以原问题的解为1),(yyxyxu. 五. 证明:由公式)()(1xJxxJxdxdnnnn有)()()(1xJxxnJxxJnnn,令1n有)()()(211xxJxJxxJ,所以)(1)()(112xJxxJxJ,又)()(),()(10 10 xJxJxJxJ,所以)(1)()(00 2xJxxJxJ. 六解:由分离变量法,令)()(),(rRru, 得到0)(cos),(nnnnPrCru,由 边 界 条 件 有01)(cos12cos3nnnrPCu, 令xc o s,)()()(261)12(322110022xPcxPcxPcxx,) 13(212622102xcxccx,4, 0,0210ccc,故222222cos6)1cos3(214),(rrrru精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页

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