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1、中档题专练(一) 1.(2018江苏盐城高三(上)期中)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,cos B=79,且BABC=7.(1)求b的值;(2)求sin(A-B)的值.2.(2019苏州1月月考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ABBC,E,F分别是A1C1,BC的中点.求证:(1)平面ABE平面B1BCC1;(2)C1F平面ABE.3.(2018南京师大附中高三年级模拟)如图,A,B,C三个警亭有直道相通,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向63千米处.(1)警员甲从C出发,沿CA行至点P处,此时CBP=45,求PB的长;(2)警员甲从C出发
2、沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发,甲的速度为3千米/小时,乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达B后原地等待,直到甲到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长.4.在数列an中,a1=1,且对任意的kN*,a2k-1,a2k,a2k+1成等比数列,其公比为qk.(1)若qk=2(kN*),求a1+a3+a5+a2k-1;(2)若对任意的kN*,a2k,a2k+1,a2k+2成等差数列,其公差为dk,设bk=1qk-1.证明bk成等差数列,并指出其公差;若d1=2,试求数列dk的前k项和Dk.答案精解精析1
3、.解析(1)在ABC中,由BABC=7,得accos B=7,即3c79=7,解得c=3.在ABC中,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=9+9-1879=4,所以b=2.(2)因为cos B=79,所以B为锐角,故sin B=429.又由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=22+32-32223=13,所以A为锐角,且sin A=223.所以sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=22379-13429=10227.2.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC.因为AB平面ABC,所以BB1AB.又因为ABBC,BB1BC=
4、B,BB1,BC平面B1BCC1,所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE,所以平面ABE平面B1BCC1.(2)取AB的中点G,连接EG,FG,如图.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FG=12AC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.3.解析(1)易知在ABC中,AB=6,A=60,APB=75,由正弦定理得,ABsinAPB=BPsinA,则BP=6322+64=1236+2=123(6-2)4
5、=33(6-2)=92-36,故PB的长是(92-36)千米.(2)甲从C到A需要4小时,乙从A到B需要1小时.设甲、乙之间的距离为f(t),要保持通话则需要f(t)9.当0t1时,f(t)=(6t)2+(12-3t)2-26t(12-3t)cos60=37t2-16t+169,即7t2-16t+70,解得8-157t8+157,又t0,1,所以8-157t1, 所以时长为15-17小时.当1t4时, f(t)=36+(12-3t)2-26(12-3t)cos60=3t2-6t+129, 即t2-6t+30,解得3-6t3+6,又t(1,4,所以1t4, 所以时长为3小时.综上,总时长为3+1
6、5-17=15+207(小时).答:两人通过对讲机能保持联系的总时长是15+207小时.4.解析(1)证明:因为qk=2,所以a2k+1a2k-1=4,故a1,a3,a5,a2k-1是首项a1=1,公比为4的等比数列,所以a1+a3+a5+a2k-1=1-4k1-4=13(4k-1).(2)因为a2k,a2k+1,a2k+2成等差数列,所以2a2k+1=a2k+a2k+2,而a2k=a2k+1qk,a2k+2=a2k+1qk+1,所以1qk+qk+1=2,所以bk+1=1qk+1-1=qkqk-1=bk+1,即bk+1-bk=1,所以bk成等差数列,其公差为1.因为d1=2,所以a3=a2+2
7、,即a22=a1a3=a2+2,所以a2=2或a2=-1.(i)当a2=2时,q1=a2a1=2,所以b1=1q1-1=1,所以bk=1+(k-1)1=k,即1qk-1=k,得qk=k+1k.所以a2k+1a2k-1=qk2=k+1k2,a2k+1=k+1k2kk-12212a1=(k+1)2,a2k=a2k+1qk=k(k+1),所以dk=a2k+1-a2k=k+1,Dk=k(2+k+1)2=k(k+3)2.(ii)当a2=-1时,q1=a2a1=-1,所以b1=1q1-1=-12,bk=-12+(k-1)1=k-32,即1qk-1=k-32,得qk=k-12k-32.所以a2k+1a2k-1=qk2=k-12k-322,a2k+1=k-12k-322k-32k-5221-121-322a1=(2k-1)2,a2k=a2k+1qk=(2k-1)(2k-3),所以dk=a2k+1-a2k=4k-2,Dk=k(2+4k-2)2=2k2.综上所述,Dk=k(k+3)2或Dk=2k2.