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1、常见递推数列通项公式的求法常见递推数列通项公式的求法类型一：类型一：方法归纳：方法归纳：累加累加 的通项公式。求数列，中，：数列例nnnnannaaaa)3 , 2 , 1(22111)(1nfaann即)()2() 1 (:(的和是可求的条件nfff分析：由已知易得naann21）1(2, 32, 22, 21342312naaaaaaaann),1()1(321 21nnnaan上面各式相加得), 3 , 2 , 1(22nnnan故可求和可求和变式训练：变式训练： 的通项公式为列，则数且满足中，已知数列：例nnnnannaaaa21 2 1111645342312:13423121nna
2、aaaaaaannaannnn得分析) 1(21) 1(2111nnaannaann累乘的积是可求的，且若) 1()2() 1 (),(1nfffnfaann该题型方法归纳：该题型方法归纳：na累乘法求得类型二：类型二：变式训练：变式训练：22*11a 1aaaa0(),a .nnnnnnnN设数列是首项为 的正项数列，且（n+1）n求数列的通项公式的通项公式求，且满足项和的前列各项均正数的数重庆：例nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(61)07( 3 nnnSana知与及 的关系式，求通项类型三：类型三：2362nnnaaS分析：由题意得2366112111aaSan时，当21
3、2111111aSaaa故又或解得由整理得由整理得2361211nnnaaS且有300)3)(1111nnnnnnnnaaaaaaaa又 13) 1( 3232nnaaannn的通项为故的等差数列，公差为是首项为故11nnnaSS的关系与可找出nnaa1解。两项的关系式再分析求式两式相减，得出相邻得另一式子，与原关系，代替或方法总结：可考虑用 )2( 11nnnn），再求的关系式，先求出与得消（有时用nnnnnnnnaSSSanSSa11)2( 的通项公式，求数列项和的前数列福建nnnnnaNnaSaSna)(2 , 1,)07 ( 1.11变式训练：两式相减整理得解：,2 21nnaS，而3
4、212aa)2(32) 1( 12nnann故312nnaa232nna类型四：待定系数法（构造法）求递推数列的通项：类型四：待定系数法（构造法）求递推数列的通项：满足与若数列相邻两项一nnaa1)( ,)q p为常数则可考虑待定系数法设则可考虑待定系数法设 1nnatq at( t其中 为待定系数，)qtp满足t构造新的辅助数列构造新的辅助数列 nat是首项为是首项为 1at公比为公比为q的等比数列，求出的等比数列，求出 nat ,再进一步求通项再进一步求通项 na 的通项公式求数列，满足项和为的前：数列例nnnnnaNnnaSSna )( 1241211nnaa两式相减整理得，且解析：由3
5、2,2312111naSanaSnnnn的等比数列，公比为是首项为故数列2121221aannnnnaa212212121故)2(2121nnaa1nnaqap:)(22:11得由解Nnaannn1221221111nnnnnnnnaaaannann1) 1(12nnna2变式探究一：变式探究一：例例5变式探究二：变式探究二： 的通项公式，求数列的数列nnnnnaNnaaaa)(24, 2111例例6 的通项公式，求数列的数列nnnnnaNnaaaa)(24, 21111124nnnaa1112144nnnnnaa可化为为什么类型呢？，转化同除以14nnnnnnaa214411其他解法探究：其
6、他解法探究：nnnnnaaaaaa2144,2144,214411322332122nnnaa21212144321nnnna21121212121432nnna24 上面各式相加可得上面各式相加可得几个式子？122211nnnnaa可化为的等比数列，公比为是首项为故数列 2 2121212aannnnnnnnaa24222121直接应用。怎么办？不是常数，不能12n构造新数列，同除以12n1221211nnnnaa都是常数与相邻两项，是其、，新数列2 1 22211nnnnnnaaa 的通项公式，求数列的数列nnnnnaNnaaaa)(24, 21111124nnnaa(2)若若qb , 则
7、可 化为则可 化为dbabqbannnn11,进而 转化为型 如进而 转化为型 如dqbbnn1的数列的数列,从而从而运用构造法可求运用构造法可求通项通项.探究归纳探究归纳,总结提升总结提升:(3)若若qb ,则可化为则可化为,1111nnnnnqddqqaqa，进而转化为进而转化为型如型如11nnnqbb的数列的数列,从而通项从而通项可求可求.nnnnaa21222122321, 21naann解解：:2 1可得等式两边同除以n11112222nnnnnnaa111222nnnnnnaa各式相加可得，,2122,2222212211322332122nnnnnnaaaaaann212221S
8、32令14321222221S21nnnn1132212121212121S21nnnnn12211Snnnannnnna2122121nann累加由得由得的通项公式。求数列中，在数列山东nnnnaNnnaaaa)( ,2, 2)06(11练练,2144,2244214411322332122nnnnnnaaaaaa各式相加得，nnnnaa21222124321:24:11得由略解nnnnaa111111244244nnnnnnnnnnnaanaa变式训练：变式训练：nn212221S32令nnnna2) 1(461答案错位相减求和法错位相减求和法11a :a4,321(2),nnnnaann
9、a例：设数列求1()3( (1)nnaAnBaA nB解：设32331AABBA11AB 231nnan2( )nnf nnaAnBnC若为 的二次式，则可设b类型五：类型五：1(0,0)rnnnapapa11pnpnara两边同时取对数：则loglog1nnapaq就转化为了的形式2n11*a a3,nnaa例：已知数列中，且（nN ）,则数列的通项公式为_),(1均不为零均不为零rqprqapaannn .,; ,:则构造法求通项若通项则化为等差数列求若倒数法求法rprp类型六类型六：.,12, 1,111的通项公式的通项公式求求中中已知数列已知数列nnnnnaSSSaa 例例7.)2(:
10、)1(), 4 , 3)(2(31, 2, 112121nnnnnnnnaaaanaaaaaa的通项公式的通项公式求数列求数列是等比数列；是等比数列；数列数列求证求证满足满足设数列设数列 例例8其它类型其它类型类型七：类型七： 的通项公式。求数列满足例：已知数列nnnnnaNnaaaaaa)(23, 3, 11221的两根是方程与023212 ttnnnnaaaa22112可得是故21nnaa121nnaa），（即取12yx常数数列122121aaaann) 1(211nnaa122211nnnnaannnaaa2312即由（选讲）变式探究：（选讲）变式探究：若已知数列相邻三项的递推关系式若已
11、知数列相邻三项的递推关系式,又又如何求其通项公式呢如何求其通项公式呢?nnnnnnnxyaayxaxaayxaa12112)()(设2112232312yxyxxyyxaaannn或对比系数得与02312nnnaaa可化为（三）若数列相邻三项的关系满足若数列相邻三项的关系满足012nnnCaBaa, 0 2有解且方程CBttCyxByxyx,则有与若设解为则可得则可得)(112nnnnxaayxaa，且若0012yxaa为公比的辅助等比数列则可构造以 y,1nnxaa转化为转化为相邻两项的类型相邻两项的类型再分析求解再分析求解问题：问题：知道连续三项满足这样的递推关系的知道连续三项满足这样的递推关系的数列的通项，在什么条件下，你才会求其通数列的通项，在什么条件下，你才会求其通项公式呢？项公式呢？有解即方程02CBtt0)()(12112nnnnnnnxyaayxaxaayxaa设有解对比系数得与CxyByxCaBaannn012探究归纳：探究归纳：