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1、湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06常见递推数列通项公式的求法常见递推数列通项公式的求法湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 061.an的前项和的前项和Sn=2n21，求通项，求通项an 公式法公式法（利用（利用an与与Sn的关系的关系 或利用等差、等比数列的通项公式）或利用等差、等比数列的通项公式）an=S1 (n=1) SnSn1(n2)解：当解：当n2时，时，an=SnSn1=(2n21) 2(n1)21 =4n2不要遗漏不要遗漏n=1的情形哦！的情形哦！当当n=1时时, a1=1 不满足上式不满足上式 因此因此 an=1 (n=1
2、)4n 2(n2, )*nN湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06 已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是： 注意：要先分n=1和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。)2() 1(11nssnsannn2n例已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。（1） （2）nanannsn32212 nsn湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06例已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。（1） （2）nanannsn32212 nsn解： （1） ，当 时 由于 也适合于此等式 111 sa2n54)1( 3)
3、 1( 2 )32 (221nnnnnssannn1a54 nan（2） ，当 时 由于 不适合于此等式011 sa2n12 1) 1() 1(221nnnssannn1a)2(12) 1(0nnnan湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 062.已知已知an中，中，a1+2a2+3a3+ +nan=3n+1,求通项求通项an解解: a1+2a2+3a3+nan=3n+1 (n1)注意注意n的范围的范围 a1+2a2+3a3+(n1)an1=3n（n2） nan=3n+13n=23n23nnan= 而而n=1时时,a1=9 （n2）两式相减得：两式相减得：an=9 (n
4、=1)23nn（n2, ）*nN湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)(1nfaann 类型类型1湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)(1nfaann 类型类型1求法：累加法求法：累加法湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)(1nfaann 类型类型1求法：累加法求法：累加法.),2( 12,2, 1,11的通项公式的通项公式求数列求数列有有时时当当已知已知中中在数列在数列 nnaanaannn例例1湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 063.已知已知an中中, an+1=an
5、+ n (nN*),a1=1,求通项求通项an解解:由由an+1=an+ n (nN*) 得得a2 a1 = 1a3 a2 = 2a4 a3 = 3anan1 = n 1an=( anan1)+(an1an2)+ + (a2 a1)+ a1 =(n 1)+(n 2)2)+ + +2+1+1212122nnnn 演练：累加法演练：累加法(递推公式形如形如an+1=an+ f(n)型型的数列)n个等式相加得a1 = 1 4.已知已知an中中, a1=1, an= 3n1+an1(n2),求通项求通项an 练练 一一 练练an+1 an= n (nN*)湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校201
6、0年上学期制作 06)(1nfaann 类型类型2湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)(1nfaann 类型类型2求法：累乘法求法：累乘法湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)(1nfaann 类型类型2求法：累乘法求法：累乘法.),2,()1(, 1,11的通项公式的通项公式求数列求数列有有已知已知中中在数列在数列nnnnanNnannaaa 例例2湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06演练：演练： 累乘法累乘法 (形如形如an+1 =f(n)an型型)6.已知已知an是首项为是首项为1的正项数列的正项
7、数列,且且(n+1)an+12 +an+1annan2=0, 求求an的通项公式的通项公式解解: (n+1)an+12 +an+1annan2=0 ( an+1+ an)(n+1) an+1 nan=0 an+1+ an0 (n1)11nnaann1213223121.nnnnnnn1 an= .112aaa211nnnnaaaa 注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得 (n+1) an+1 = nan湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)1, 0(1 ppqpaann类型类型3湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)1,
8、 0(1 ppqpaann.,),(.:1求通项求通项化为等比数列化为等比数列为待定系数为待定系数其中其中令令待定系数法待定系数法求法求法 nnna apa类型类型3湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)1, 0(1 ppqpaann.),1(32, 1,11的通项公式的通项公式求数列求数列若若中中已知数列已知数列nnnnanaaaa 例例3.,),(.:1求通项求通项化为等比数列化为等比数列为待定系数为待定系数其中其中令令待定系数法待定系数法求法求法 nnna apa类型类型3湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)(nnafS 类型
9、类型4湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)(nnafS .,2:1的递推关系求解的递推关系求解或或化为化为时时利用利用求法求法nnnnnSa SSan 类型类型4湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)(nnafS .,N),2()1(6, 11的通项公式的通项公式求求且且满足满足项和项和的前的前列列已知各项均为正数的数已知各项均为正数的数nnnnnnanaaSSSna 例例4.,2:1的递推关系求解的递推关系求解或或化为化为时时利用利用求法求法nnnnnSa SSan 类型类型4湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学
10、期制作 06., 12通项公式通项公式的的求求项和项和的前的前是是其中其中满足满足已知数列已知数列nnnnnnanaSnaSa 例例湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)1, 0)(1 ppnfpaann类型类型5湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)1, 0)(1 ppnfpaann.)(:111后累加法求解后累加法求解待定系数法或化为待定系数法或化为求法求法 pnfpapannnnn 类型类型5湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06)1, 0)(1 ppnfpaann.),(22, 111的通项公式的通
11、项公式求数列求数列中中在数列在数列nnnnnaNnaaaa 例例5.)(:111后累加法求解后累加法求解待定系数法或化为待定系数法或化为求法求法 pnfpapannnnn 类型类型5湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06),(1均不为零均不为零rqprqapaannn 类型类型6湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06),(1均不为零均不为零rqprqapaannn .3,;,:求通项求通项则化为类型则化为类型若若通项通项则化为等差数列求则化为等差数列求若若倒数法倒数法求法求法rp rp 类型类型6湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2
12、010年上学期制作 06),(1均不为零均不为零rqprqapaannn .,12, 1,111的通项公式的通项公式求求中中已知数列已知数列nnnnnaSSSaa 例例7.3,;,:求通项求通项则化为类型则化为类型若若通项通项则化为等差数列求则化为等差数列求若若倒数法倒数法求法求法rp rp 类型类型6湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06类型类型7 其它类型其它类型湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06类型类型7 其它类型其它类型求法：按题中指明方向求解求法：按题中指明方向求解.湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制
13、作 06.)2(:)1(), 4 , 3)(2(31, 2, 112121nnnnnnnnaaaanaaaaaa的通项公式的通项公式求数列求数列是等比数列；是等比数列；数列数列求证求证满足满足设数列设数列 例例8类型类型7 其它类型其它类型求法：按题中指明方向求解求法：按题中指明方向求解.1naad解解：是是等等差差数数列列，设设首首项项为为 ，公公差差为为2111222()()nn nddSnadnan 213()pnpnp1365pda 1116()naandn 待定系数法：待定系数法： 2143.()nnnnanSpnpnpapa已已知知数数列列的的前前 项项和和若若数数列列为为等等差差
14、数数列列，求求 和和例例2dp 112dap03p小结：小结：由由递推公式递推公式求数列的通项公式：求数列的通项公式：112()( )( )( )nnnnaad daaf nf n (1)(1)为为常常数数 ，其其中中为为等等差差或或等等比比数数列列11412()( )( ),( ) ( )( )nnnnaa q qaf n afff n (3)(3)为为常常数数其其中中可可求求即即可可(5)an+1=pan+q（p,q为常数）为常数）1610( )( )( ,)nnapaf n q ppq 为为常常数数 且且1710( )( ,)nnnapaqq ppq 为为常常数数 且且18( ), ,n
15、nnmaam p qpaq （为为常常数数）湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06例 9 ， 已 知 数 列 的 递 推 关 系 为 ，且 ， ，求通项公式 。na4212nnnaaa11a32ana解： 4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令 则数列 是以4为公差的等差数列 nnnaab1nb2) 1(1211aabdnbbn241naabnnn21412 aa22423 aa23434 aa2) 1(41naann两边分别相加得： ) 1( 2)1(321 41nnaan3422naan湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作
16、 06例10，已知 ， ，且 ，求 。 21a0na)(211Nnaaaannnnna解： 即 0211nnnnnaaaaa且2111nnaa7111nnaa 令 ，则数列 是公差为-2的等差数列 因此nnab1nbdnbbn) 1(1 245)1(2111nnaannan452湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06常见的拆项公式常见的拆项公式111)1(1. 1 nnnn)11(1)(1.2knnkknn )121121(21)12)(12(1. 3 nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.4 nnnnnnn)(11. 5bababa 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作 06作业作业2.已知已知an中中, an+1=an+ (nN*),a1=1,求通项求通项an12121nn1.已知已知an中中,a1a2a3an=n2+n (nN*),求通项求通项an4.已知已知an中中,a1=3,且且an+1=an2 (nN*),则则 an的通项的通项 公式公式an=_3.已知已知an中中,a1=1,an= n(an+1 an ) )(nN*), 求求an 的通项公式的通项公式an5.已知已知an中中,a1=1, , 求通项求通项annnnnaaa11(提示:作倒数变换)