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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑五成群，聚在大树下，或站着
2、，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑强子，别跑了，快来我给你扇扇了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你你看热的，跑什么？看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国
3、已有三千年多年的历史。取材的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过
4、了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅道，袅两个问题1.1.求变速直线运动的瞬时速度问题求变速直线运动的瞬时速度问题0sss 0s0在直线上引入坐标原点在直线上引入坐标原点 0 和单位长度和单位长度)(00tfs 设动点于时刻设动点于时刻 t 在数轴上的位置的坐标为在数轴上的位置的坐标为 s: )(tfs )(tfs )(00ttfss s 如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻 的速度的速度0t考虑质点在时段考虑质点在时段,00ttt 上的平均速度
5、上的平均速度所所花花的的时时间间经经过过的的路路程程 vts ttfttf )()(003.1 导数导数( )yf xI如果函数在开区间 内的每点 ,( ).f xI处都可导 就称函数在开区间 内可导,( )xIf x对于任一都对应着的一个确定的.( ).f x导数值这个函数叫做函数的导函数.)(),(,dxxdfdxdyxfy或或记记作作 注意注意: :.)()(00 xxxfxf 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度00)()(lim|00tttftfvtttt 其中，其中， s = f (t) 为关于时间为关于时间 t 的位置函数的位置函数 切线的斜率切线的斜率.)()(lim0
6、00 xxxfxfkxx 其中，其中， y = f (x) 为曲线的方程。为曲线的方程。);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限由定义求导数步骤由定义求导数步骤: :例例1 1 求函数求函数 的导数的导数解解: : (1)(1)求增量求增量: : (2)(2)算比值算比值: : (3)(3)取极限取极限: : 2xy ()( )yf xxf x 222()2()xxxx xx xxxy2xxxxyyxx2)2(limlim00例例2 2.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解：解：hxfh
7、xfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解：解：hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 hhhxh2sin)2cos(2lim0 例例4 4.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解：解：hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1R
8、xx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x )(21 x)1( x例例5 5.)1, 0()(的的导导数数求求函函数数 aaaxfx解：解：haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例6 6.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解：解：hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .ln1ax hxhaxhx)1(limlog10 (2) ( )n
9、f xx 1(). ()xxR (1) ( )f xC ( )0.C (sin )cos .xx (3) ( )sinf xx (4) ( )cosf xx (cos )sin .xx (5)( )(0,1)xf xaaa ()ln .xxaaa .)(xxee (6)log(0,1)ayx aa (log)1 ( ln ).axxa (ln )1.xx 2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:0000()()()lim;xf xxf xf xx 0000()()()lim;xf xxf xf xx 如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf
10、都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.的的讨讨论论在在点点设设函函数数000,),(),()(xxxxxxxxf xxfxxfxfx )()(lim)(0000 xxxxx )()(lim000 xxfxxfxfx )()(lim)(0000 xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 若若(存在且相等），存在且相等），,)(0axf 则则.可导性可导性例例7 7.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0
11、()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy2sin,0,( )( ).,0,xxf xfxxx 例例设设试试8 8求求解:0( )(sin )xf xx 当当时时，cosx 20( )()xfxx 当当时时，,2x xfxffxx)0()(lim)0(,00 时时当当, 10sinlim0 xxxxfxffx)0()(lim)0(0 200lim0 xxx (0)f 故故不不存存在在. .cos,0,( )02 ,0.xxfxxxx 不不存存在在，表表示示)(0 xf 特别地特别地: :)( ,tan)(0为倾角为倾角 xf)(xfy 曲线曲线
12、,)(,(00切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点xfxM即即导数的几何意义导数的几何意义0 x xyO)(xfy CT M;),(,()(, 0)()1(000轴轴的的切切线线平平行行于于在在点点则则曲曲线线若若Oxxfxxfyxf ).)(000 xxxfyy .0)()()(10000 xfxxxfyy,)()2(0 xf若若)(,()(00 xfxxfy在在点点则则曲曲线线 .轴轴的切线垂直于的切线垂直于Ox:)(,()(00处的切线方程为处的切线方程为在点在点曲线曲线xfxxfy :)(,()(00的的法法线线方方程程为为在在点点曲曲线线xfxxfy 例例9 9.,)2 ,21(1方
13、方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线xy 解解: :由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即解解: : （1）因为点）因为点 ( 1 , 1 ) 在曲线上，由导数的在曲线上，由导数的几何意义几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为1 xyk13)( xx123 xx. 3 所求切线方程为所求切线方程为),1(
14、31 xy. 023 yx即即例例10 已知曲线已知曲线,3xy （1）求过点）求过点 ( 1 , 1 ) 的切线方程；的切线方程；（2）确定）确定 b 的值，使直线的值，使直线 y = 3x + b 为曲线的切线；为曲线的切线；（3）求过点）求过点 ( 0 , 3 ) 的切线方程。的切线方程。例例10 已知曲线已知曲线,3xy （1）求过点）求过点 ( 1 , 1 ) 的切线方程；的切线方程；（2）确定）确定 b 的值，使直线的值，使直线 y = 3x + b 为曲线的切线；为曲线的切线；（3）求过点）求过点 ( 0 , 3 ) 的切线方程。的切线方程。解解: : （2）关键要确定切点。）关
15、键要确定切点。),(00yx设切点为设切点为0 xxyk 0)(3xxx 023xxx 203x 切线方程为切线方程为),(30200 xxxyy ,3303020yxxxy 即即,33330030020 xybxyx. 2, 1, 1)1(00 byx. 2, 1, 1)2(00 byx例例10：已知曲线：已知曲线,3xy （1）求过点）求过点 ( 1 , 1 ) 的切线方程；的切线方程；（2）确定）确定 b 的值，使直线的值，使直线 y = 3x + b 为曲线的切线；为曲线的切线；（3）求过点）求过点 ( 0 , 16 ) 的切线方程。的切线方程。解解: : （3）注意点）注意点 (0
16、, 16 ) 不在曲线上。不在曲线上。),(00yx设切点为设切点为0 xxyk 0)(3xxx 023xxx 203x 切线方程为切线方程为),(30200 xxxyy ,3303020yxxxy 即即,163300300 xyxy, 8, 200 yx1612 xy可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证:,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x 0 xy2xy xy 例如例如,0,0,)(2
17、xxxxxf.)(0,0的的连连续续点点为为但但处处不不可可导导在在xfxx 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.xfxffx )0()0(lim)0(0 xxx 0)(lim200 xfxffx )0()0(lim)0(0 xxx 0lim01 例例1111.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解: :,1sin是是有有界界函函数数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和
18、和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxfxxxfxx1sinlim)(lim00 ),0(0f 设函数设函数u(u(x) )与与v(v(x) ) 在点在点x处均可导，则处均可导，则: :定理定理1 1(1) ( )( )( )( );u xv xu xv x(2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),u x v xu x v xu x v x( )(,( )v xC CCuCu为常数）则2( )( ) ( )( ) ( )(3),( ( )0)( ) ( )u xu x v xu x v xv xv xv x( )1,u x （一）导数的四则运算法则（一）导数的四则运
19、算法则特别地特别地,如果如果可得公式可得公式特别地特别地,21( )( ) ( )v xv xv xwvuwvu )(注：法则（注：法则（1）（）（2）均可推广到有限）均可推广到有限多个可导函数的情形多个可导函数的情形wuvwvuvwuuvw )(例：例：设设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点在点x处均处均可导，则可导，则)3lnsin(3 xexyx解：解： )3(ln)(sin)()(3 xexxxexxcos32 例例13 设设52,xyxy 求求)(52)(5 xx2xx解：解：)25( xxy2ln25225xxxx yxexyx ，求求设设3lnsin3例例12)(tan
20、 xy)cossin( xx解：解：xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 即即 类似可得类似可得例例14 求求y = tanx 的导数的导数2(cot )csc xx2(tan )secxx )cos1( xxx2cossin )(sec xy解：解：xxtancos1 xx tansec 即即类似可得类似可得例例15 求求 y = secx 的导数的导数(csc )csccotxxx (sec )sectanxxx 定理定理2 2)(xu 如果函数如果函数在在x处可导，而函数处可导，而函数y=f(u)在对应的在对应的u处可
21、导，处可导， 那么复合函数那么复合函数 ( )yfx在在x处可导，且有处可导，且有dydy dudxdu dx或或xuxyyu对于多次复合的函数，其求导公式类似，对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法此法则也称链导法注：注：（二）复合函数的导数（二）复合函数的导数xuxuy)1()(sin2 xu 2cos )1cos(22xx 例例17yxy 求求,2lnsin222lncos22 xxxxxxxy2221212lncos222 解：解：解：解：复复合合而而成成可可看看作作221,sin)1sin(xuuyxy yxy 求求),1sin(2例例16.:求求下下列列函函数数的的微
22、微商商练练习习(1)cosyx 3(3)tan2xyex 2sin(4)10 xy 2sin()(5)xye (2)cot2xy 对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, , 然后两边分别求导，求然后两边分别求导，求出导数出导数. .-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu例例1818解：解：.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1si
23、nlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx yxexy 的导数的导数求求)4)(3()2)(1( xxxxy例例19 这函数的定义域这函数的定义域 解：解：1, 32, 4xxx4 x若若两边取对数得两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy两边对两边对 x 求导得求导得41312111211 xxxxyy413121112xxxxyy1x若)4)(3()2)(1(xxxxy 两边取对数得两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 两边对两边对 x 求导得求导得41312111211xxx
24、xyy 413121112xxxxyy同理同理413121112xxxxyy23x若例例:20:20解：解： 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设)(tss 速度速度即即sv加速度加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即即)( sa引例：引例：变速直线运动变速直线运动定义定义若函数若函数)(xfy 的导数的导数)(xfy可导可导,或或,dd22xy即即)( yy或或)
25、dd(dddd22xyxxy类似地类似地 , 二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为三阶导数三阶导数 ,1n阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的的二阶导数二阶导数 , 记作记作y )(xf 的导数为的导数为依次类推依次类推 ,分别记作分别记作则称则称高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则都有都有 n 阶导数阶导数 , 则则)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C为常数为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(
26、kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式)(xuu 及及)(xvv 设函数设函数vunn) 1(设设,2210nnxaxaxaay求求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(nnxann依次类推依次类推 ,nnany!)(233xa例例21思考思考: 设设, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问问可得可得nx)1 ( ,3xaeay 例例22 设设求求解解:特别有特别有:解解:! ) 1( n规定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee
27、)()(例例23 设设, )1(lnxy求求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax 0 xx,x. 时时的的高高阶阶无无穷穷小小 当当很很小小时时可可忽忽略略:)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长
28、由一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由 变到变到 （如图），问此薄片的面积改变了多少？（如图），问此薄片的面积改变了多少？0 xxx 0引例引例：02Axx再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x 203.yxx ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数( (改变量的主要部分改变量的主要部分) )是否是否所有函数的改变量都有所有
29、函数的改变量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?定义定义000000000( ),()()()(),( ),( ),(),.x xx xyf xxxxyf xxf xAxoxAxyf xxAxyf xxxdydf xdyAx 设函数在某区间内有定义及在这区间内 如果成立 其中 是与无关的常数则称函数在点可微 并且称为函数在点相应于自变量增量的微分记作或即.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy ( (微分的实质微分的实质) )0o()lim0 xxx 是指满足的量由定义知由定义知: :(1);dyx是自变量的改变量的线性函数0(2)()lim;xydyydyo
30、xxx 是比高阶无穷小(=0)0(3),( );Axf xx是与无关的常数 但与和 有关(4),().xydy 当很小时线性主部).()()()(000 xodyxoxAxfxxfyxx 例例2424解：解：.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy ( ).dydxfx 即即函函数数的的微微分分与与自自变变量量的的微微分分之之商商等等于于该该函函数数
31、的的导导数数导导数数也也叫叫“微微商商”基本初等函数的微分公式及微分运算法则基本初等函数的微分公式及微分运算法则dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 2222()ln()11(log)(ln )ln11(arcsin )(arccos )1111(arctan )(arccot )
32、11xxxxad aaadxd ee dxdxdxdxdxxaxdxdxdxdxxxdxdxdxdxxx 2. 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处. .3. 设设 及及 都可导都可导, 则复合函数则复合函数 的的微分为微分为)(ufy )(xfy )(xu dd( )( )yfuxx d( )fuu 1 ( ),( );udyfu du 若若 是是自自变变量量时时2( ),( ),uxux 若若 是是
33、中中间间变变量量时时 即即另另一一变变量量的的可可微微函函数数则则( )( ),yf ufu 设设函函数数有有导导数数,( )xyf x 无无论论 是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量函函数数的的微微分分形形式式总总是是复合函数的微分法则复合函数的微分法则由复合函数的微分法则由复合函数的微分法则( );dyfu du 结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 注注2222211111()()xxxxdyeeeded x 21ln().xye 求求函函数数的的微微分分22121,xxyexe 222212211xxxxxedyy dxexdxdxee 21ln ,vyuue
34、vx 而而222212211xxxxxeexdxdxeeydx 用用复复合合函函数数导导数数法法则则求求出出导导数数 后后，再再乘乘以以法一法一法二法二 利用微分形式不变性利用微分形式不变性21111ln (ln)(dyxdx 211 21( )( )arctanln()yxyx 211( )ux 21dydx 2212 11 ()dxx 例例25 25 求下列函数的微分求下列函数的微分2222 11xxdxdxxx11ln(),uxvx 22111ln ()()dxxxx (2)解：解：解：解：例例2626.,sindybxeyax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedya
35、xax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 解解例例2727.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 例例2727解：解：在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)
36、sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 定理定理 : 函数函数证证: “必要性必要性” 已知已知)(xfy 在点在点 可微可微 ,则则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点在点 的可导的可导,0 x且且)(xfy 在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导,0 x且且, )(0 xfA即即xxfy)(d00 x“充分性充分性”已知已知)(lim00 x
37、fxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 x0()yfxxx 故)()(0 xoxxf 线性主部即即xxfy)(d0在点在点 的可导的可导,0 x)0)(0时 xf则则定理定理 : 函数函数)(xfy 在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导,且且, )(0 xfA即即xxfy)(d00 x若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间a, b上连续，在开区间上连续，在开区间 (a, b) 内可导，且在区间端点处的函数值相等，即内可导，且在区间端点处的函数值相等，即 ( )( ),f af b 则在开区间则在开区间(a, b)内至少存在一点内至少存
38、在一点 , 使得使得 ( )0.f 3.2 用导数研究函数用导数研究函数证：证： ( ), f xa b因因在在上连续，故在上连续，故在 a , b 上取得最上取得最大值和最小值大值和最小值. 于是于是, 有两种可能情形：有两种可能情形：(1) .Mm f(x) 在区间在区间a, b上恒为常数上恒为常数 因此因此( , ),( )0.a bf (2) .Mm 那么，在开那么，在开 0()( )( )limxfxffx 0()lim,xfxMx 因此因此( )0.f 注意注意1) 当定理条件不全具备时当定理条件不全具备时, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如,01,( )0,1.xxf x
39、x x1yo( ) 1,1f xxx ( )0,1f xxx x1yo1 x1yo2) 满足定理中三个条件的函数满足定理中三个条件的函数 f(x), 函数函数 ( )yfx 必定有零点，零点的个数可能有多个必定有零点，零点的个数可能有多个3) 罗尔定理的几何意义：罗尔定理的几何意义： 函数函数 f(x) 在闭区间在闭区间a, b上满上满足定理条件时足定理条件时, 在在(a, b)内的曲内的曲例例28 验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数 3( )3f xxx线弧线弧 f(x)上必存在水平切线上必存在水平切线ab1 2 xyo)(xfy C解：解： 函数函数 3( )3f xxx显然在显然在 3
40、, 3 上连续，上连续， ( 3)(3)0.ff 而而 2( )333(1)(1)fxxxx ( )0.f 例例29( ),( ) = 0 0( )( ) =.f xf xcf cfcc设设在在 0 0, ,+ +连连续续 可可导导 且且有有一一正正根根, , 证证明明存存在在, , 使使分析分析 利用中值定理证明存在点满足等式利用中值定理证明存在点满足等式, , 通常的通常的( )( )0,cf cf c 若证( )( )0.cf cf c 方法用方法用还原法还原法:即即: 改写结论为改写结论为( )( )0,xfxf x 还原成有根( )0.xf x 即有解. 由罗尔定理得证把等式还原成把
41、等式还原成x的方程的方程.因此，函数因此，函数 g(x) 在区间在区间 0, a上满足罗尔定理的上满足罗尔定理的三个条件，则至少有点三个条件，则至少有点 (0,),ca 使使 ( )0,g c 即即 ( )( )0,cf cf c 也即也即 ( )( ).f cfcc 证证 令令 ( )( ),g xxf x 设设 g(x) = 0 的正根为的正根为 x=a, 则则(0)( )0,gg a （2）拉格朗日中值定理）拉格朗日中值定理 若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间a, b上连续，在开区间上连续，在开区间 (a, b) 内可导，内可导， 则在开区间则在开区间(a, b)内至少存在一点内至
42、少存在一点 , 使得使得 ( )( )( )().f bf afba 证证: 如图如图，直线直线AB的方程为的方程为( )( )( )(),f bf ayf axaba ab1 xoy)(xfy ABCab1 xoy)(xfy ABC构造辅助函数构造辅助函数( )( )( )( ) ( )(),f bf axf xf axaba 由罗尔定理，则在开区间由罗尔定理，则在开区间 (a, b) ( )0, 即即( )( )( )0,f bf afba 所以所以 ( )( )( )().f bf afba 注注 1) 在拉格朗日中值定理中，若加上条件在拉格朗日中值定理中，若加上条件 ( )( ),f
43、af b 则结论变成则结论变成 ( )0,f 因此，因此，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形2) 拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中值定理的几何意义： 有不垂直于有不垂直于 x 轴的切线，那么曲线弧轴的切线，那么曲线弧 AB上至少上至少 有一点有一点 C, 使曲线在点使曲线在点C 处的切线平行弦处的切线平行弦 AB . ab1 2 xoy)(xfy ABCD为为拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式显然，公式对显然，公式对 b 0，x ( ( 1, 1) )时，时，f (x) 0，所以所以( ( , - -1) )和和( (1, )是是 f (x) 的递增区
44、间，的递增区间， (- (-1, , 1) )是是 f (x) 的递减区间的递减区间. .为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为如下的表格：为如下的表格：x( ( , - - 1) )(-(- 1, ,1) ) ( (1, ) ) f (x) f (x)其中箭头其中箭头 ， 分别分表示函数在指定区间递增和分别分表示函数在指定区间递增和递减递减. .解：解：( (1) )该函数该函数的定义区间为的定义区间为 ( ( ， ) )；.325)1(32)() )2( (313231xxxxxxf .)1()(32的的单单调调性性讨讨论论函函数数xxxf 例例31
45、31,520)( xxf得得令令 此外，显然此外，显然 x = 0 为为 f ( (x) )的不可导点，的不可导点，52,0 xx于是于是 分定义区间为三分定义区间为三个子区间个子区间( ( , 0) )，,52, 0 .,52 , 0)(,52)0 ,()3( xfx时时和和因因为为, 0)(,52, 0 xfx时时和和在在所所以以)0 ,()( xf,52内内单单调调递递增增 . 52, 0内单调递减内单调递减在在 亦可如例亦可如例 1 那样，以下表表示那样，以下表表示 f ( (x) ) 的单调性：的单调性：x( , 0)f (x) 52, 0 ,52 f (x)设函数设函数 y=f(x
46、) 在在 a, b 上连续上连续. 若对于一点若对于一点 存在它的某一邻域存在它的某一邻域 使得使得则称则称 是函数是函数 f(x)的的极大值极大值, 是是 f(x)的的极大值点极大值点.0( , ),xa b 00(,) (0),xx 000( )(),(,),1f xf xxxx 0()f x0 x则称则称 是函数是函数 f(x)的的极小值极小值, 是是 f(x)的的极小值点极小值点.000( )(),(,),2f xf xxxx 0()f x0 x0000( )( )( )()0f xxf xxf xxfx设在 附近有定义，若在 达到极值，且在 可导，则切线是水平的（平行于X轴）0 x0
47、 x0 x0 x0 x0 xOOxxyy 费马定理证明证明: :达到极大值证明。在只就0)(xxf),()(,),()(0000 xfxxfbaxxxxf就有内在达到极大值，所以只要在由于, 0)()( 00 xfxxf即;0, 0 )()( 00时时当当从从而而 xxxfxxf;0, 0 )()(00时时当当 xxxfxxf0 )()( lim0)(000 x0 xxfxxfxf这这样样. 0 )()( lim0)(000 x0 xxfxxfxf0)(0 xf所所以以xyo)(xfy ab1 2 ba几何解释几何解释: :.0位位于于水水平平位位置置的的那那一一点点续续滑滑动动时时，就就必必
48、然然经经过过，当当切切线线沿沿曲曲线线连连率率为为显显然然有有水水平平切切线线，其其斜斜曲曲线线在在最最高高点点和和最最低低点点换句话说，若函数换句话说，若函数f f( (x x) )在其极值点处可微，则在该点处在其极值点处可微，则在该点处必存在唯一的一条平行于必存在唯一的一条平行于x x轴的切线。轴的切线。注意：注意：当当f(x)可微时，条件可微时，条件“f (x)=0”只是只是f(x)存在极值的必要存在极值的必要条件，而非充分条件。即导数等于零的点不一定都是极值点。条件，而非充分条件。即导数等于零的点不一定都是极值点。定理定理 ( (函数极值的第一充分条件函数极值的第一充分条件) ) 00
49、0001,fxxxxxxx 如如果果有有，而而 00.xxxff 有有，则则在在处处取取得得极极大大值值 000002,fxxxxxxx 如如果果有有，而而 00.xxxff 有有，则则在在处处取取得得极极小小值值 00003,xxxxxfx 如如果果当当和和时时，的的符符号号 0fxx相相同同，则则在在处处无无极极值值. . 00 ,fxxU x 设设在在临临界界点点连连续续，在在可可导导. .xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点
50、左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例例3232解解:.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得得驻驻点点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx定理定理 ( ( 极值的第二充分条件极值的第二充分条件 ) )( (1) )当当 f (x0) 0 时时，则则 x0 为极小值点为极小值点，f (x0)为极小值为极小值；( (2) )