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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑五成群，聚在大树下，或站着
2、，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑强子，别跑了，快来我给你扇扇了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你你看热的，跑什么？看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国
3、已有三千年多年的历史。取材的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过
4、了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅道，袅2 2 转动转动（rotation）：刚体中所有的点都绕同一直线：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动和做圆周运动。转动又分定轴转动和定点定点转动。转动。一一 转动动能转动动能M222221)(2121 iiiiiirmrmvm 刚体的动能：刚体的动能：212221)(2121 niiiiinikrmrmEivimr i任一小质元动能：任一小质元动能：Mivimr iI转动惯量转动惯量（rotational inertia）2
5、21021limiininmkrmEi22221)(21 Idmr 质量连续分布质量连续分布0imdmrI2令221 IEk 转动惯量的计算转动惯量的计算 1 1 计算公式计算公式 dmrrmIiii22质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布 dVdsdldm 线分布线分布m/l面分布面分布m/S体分布体分布m/ /V2 2 决定决定 I 的三要素的三要素: : (1) (1)总质量总质量 (2)(2)质量分布质量分布 (3)(3)转轴的位置转轴的位置线分布线分布面分布面分布体分布体分布lO O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴OO 为为 处的质量
6、元处的质量元 rrmdd lrrI02d rd32/02121d2lrrIl 231mlrrrmrIddd22 例例1 1 一质量为一质量为 、长为、长为 的均匀细长棒，求的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .mlrd2l2lO O2121ml 如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒例例2 2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量例例3 3 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlO RLlRmRI20202dd 2320222dmRRmRlRR mROmrdrrrsd 2d smdd RmRmrrRmmrI0
7、232022d2drRmrrrRmd2d222R2mhIIC 3 3 平行轴公式平行轴公式P 质量为质量为m的刚体，如果对的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行，相距为对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CIhhCOm2221mRmRIP 圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量：RmO212/1MLIz 22312MLLMIIZZ 均匀细棒的转动惯量均匀细棒的转动惯量 4 4 正交轴定理：（仅适用于薄正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）板状刚体）yxzIII zMLz 例例4 求对圆盘的一直径的转动惯量求对圆盘的一直径的转动惯量22
8、1mRIz yxzIII yxII 已知已知:241mRIIyx yx z 圆盘圆盘 R C mx,y轴在薄板内；轴在薄板内；z 轴垂直薄板。轴垂直薄板。zxyAm, m,R 例例5 系统由一个细杆和一个小球组成，求绕过系统由一个细杆和一个小球组成，求绕过A点的轴转动时的转动惯量。点的轴转动时的转动惯量。球球杆杆解解：IIIA 231mlI 杆杆2)(lRmIIOA 球球球球由由平平行行轴轴定定理理：252mRIO 球球222)(5231lRmmRmlIA 3-3 力矩力矩 转动定律转动定律Frp FrM矢量式：矢量式：sinrFM力矩：力矩：说明说明：单位：米单位：米.牛顿牛顿1）力）力 必
9、须在转动平面内：必须在转动平面内：FFrM 一、力矩一、力矩FF2）若力）若力 不在转动平面内，不在转动平面内， 分解成分解成zOkFrF/FF/F,FrM3）若刚体受）若刚体受N个外力作用，个外力作用，NFFF,21力是连续的力是连续的FdrM合iiiNNiiFrFrFrFrMM2211合力不连续力不连续iiiiFrM合例例1: 一均匀细杆，在平面内以角速度一均匀细杆，在平面内以角速度转动，转动，求求M摩擦力摩擦力。rrdrdm解解力是连续的力是连续的 FdrM合合其中：其中：drlmggdmdF 所以所以mglrdrlmgrdFMl 2110 合合F 要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找
10、到一个要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个类似于牛顿定律的规律类似于牛顿定律的规律转动定律。转动定律。二、转动定律二、转动定律第一定律：一个定轴转动的刚体，当它所受的第一定律：一个定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该转轴而言）等于零时，它将保合外力矩（对该转轴而言）等于零时，它将保持原有的转动状态不变即原来静止的仍然静止，持原有的转动状态不变即原来静止的仍然静止，原来转动的则仍保持原来的角速度转动。原来转动的则仍保持原来的角速度转动。 第二定律：一个定轴转动的刚体，当它所受的第二定律：一个定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该转轴而言）不等于零时，它将合外力矩（对该转轴而言）不等
11、于零时，它将获得角加速度，角加速度的方向与合外力矩的获得角加速度，角加速度的方向与合外力矩的方向相同；角加速度方向相同；角加速度的量值与合外力矩的量值与合外力矩M的的量值成正比，并与转动惯量量值成正比，并与转动惯量I成反比成反比 .IM定轴转动定律定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体，所受：绕某定轴转动的刚体，所受合外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的合外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积。转动惯量与角加速度的乘积。IM 或或说明说明：1）定律是瞬时对应关系；定律是瞬时对应关系；如图可将力分解为两个如图可将力分解为两个力，只求那个垂直于轴力，只求那个垂直于轴的力的力矩就可以
12、了。的力的力矩就可以了。ZFF F ZMr2）,IM应是对同应是对同一轴而言的一轴而言的如何求力对轴的力矩呢？如何求力对轴的力矩呢？3 3）转动定律说明了）转动定律说明了I I是物体转动惯性大小的量是物体转动惯性大小的量度。因为：度。因为：IM一定时I如一个外径和质量相同的实心圆柱与如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若空心圆筒，若 受力和力矩一样，谁转受力和力矩一样，谁转动得快些呢？动得快些呢？IMMM刚体定轴转动的转动定律与牛顿定律的对比刚体定轴转动的转动定律与牛顿定律的对比牛顿定律牛顿定律转动定律转动定律FrMdmrI2FamFmIM IL vmPdtLdMdtPdFFOr(1)
13、(1) 飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2) (2) 如以重量如以重量P =98 N的物体挂在绳端，的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速试计算飞轮的角加速解解 (1) IFr 2rad/s 2 .395 . 02 . 098 IFr maTmg (2) ITr ra 两者区别两者区别mgT例例2 2求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘的飞轮边缘，在绳端施以在绳端施以F=98 N 的拉力的拉力，飞轮的转动惯量飞轮的转动惯量 I=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦飞轮与转轴间的摩擦不计不计， ( (见图见图) )2mrImgr 22rad/s 8212010502098.圆
14、盘以圆盘以 0 0 在桌面上转动在桌面上转动, ,受摩擦力而静止受摩擦力而静止解解rrsmd2ddmgrfrMdddmgRMMR 32-d-0 tIMdd tmRmgRdd2132-2 d43d000gRttgRt430例例3 3求求 到圆盘静止所需时间到圆盘静止所需时间取一质元取一质元由转动定律由转动定律摩擦力矩摩擦力矩R3.4 3.4 力矩的功力矩的功 转动动能定理转动动能定理力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功, ,动能动能, ,动能定理动能定理.v0Rf力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功, ,转动动能转动动能, , 动能定理动能定理.摩擦力做功：摩擦力做功
15、：sfdsrfdAAd frdOzFrsdd一、力矩的功一、力矩的功cosdddsFsFAcosddsFsFAsinsindFrdsFA090MddFrsin力矩的功力矩的功MdArdds MddA MtMtAN dddd 力矩的功率：力矩的功率：(2) (2) 力矩的功就是力的功力矩的功就是力的功(3) (3) 内力矩作功之和为零内力矩作功之和为零说明说明(1) (1) 合力矩的功合力矩的功 iiiiiiAMMA2121dd 当输出功率一定时当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。力矩与角速度成反比。转动动能与角动量的关系转动动能与角动量的关系2ILE 2k 2mpE 2k 2kmv21E 二
16、、转动动能二、转动动能22n1i2ii22in1iikI21rm21rm21E )(2kI21E 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。速度平方乘积的一半。三、刚体转动动能定理三、刚体转动动能定理 21d MA定轴转动刚体的动能定理：定轴转动刚体的动能定理：合外力矩对绕定轴合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 .2122212121IIMd力矩的功定义力矩的功定义MddA dI ddtdI dI此称刚体转动此称刚体转动的动能定理的动能定理21 dI四、刚体转动时
17、的机械能守恒定律四、刚体转动时的机械能守恒定律222121cCCImvmghE机械机械能：机械能：若刚体系统若刚体系统 ，则刚体的机械，则刚体的机械能守恒能守恒E1E2。0非保守外AA例例1 设一细杆的质量为设一细杆的质量为m，长为，长为L，一端支以枢，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：当杆过铅直位置时的角加速度当杆过铅直位置时的角加速度、角速度以及角速度以及此时此时A A和和C C点的线速度量值。点的线速度量值。1）以杆为研究对象）以杆为研究对象 受力：受力： mg，N（不产生（不产生对轴的力矩）对轴的力矩）建立建立OXYZ坐标系坐
18、标系 ZNmgYX OL解解(一一)CAM建立建立OXYZOXYZ坐标系（并以坐标系（并以Z Z轴为转动量的正方向）轴为转动量的正方向）sin2LmgM sin2331sin2LgmLmgIM231mLI ZmgYX ON) 1 (rLg 2/32/00则则 L故取正值。故取正值。Fr沿沿Z轴正向，轴正向，2） =？dtddddtd)2sin(23LgdLgdcos23两边积分：两边积分：dLgdcos232/00 sin23LgZmgYX ONr dd2） =？ZmgYXONr dLgcos232/00dLgLg23sin23212/02Lg3gLLgLLvc32132121 gLLgLLv
19、A33 CA解解( (二二) )：考虑杆从水平静止转到铅直方向：考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，重力做功，角速度从的过程，重力做功，角速度从 0 - 0 - 依动能定理依动能定理2022121IIA力矩 YXO220LmgLmg ）（ZmgNr 12)(pppEEEA 力力矩矩可得可得Lg3231mLI CA例例2，劲度系数为，劲度系数为k的轻弹簧，一端固定另一端通的轻弹簧，一端固定另一端通过一定滑轮系一质量为过一定滑轮系一质量为m的物体，滑轮半径为的物体，滑轮半径为R，转动惯量为转动惯量为I，绳与滑轮无相对滑动，求物体从弹，绳与滑轮无相对滑动，求物体从弹簧原长时开始簧原长时开始(静止静止
20、)下落到下落到h距离时的速度？距离时的速度？kmI,Rh解解机械能守恒机械能守恒222212121 Imvkhmgh Rv 解之，可得解之，可得222RImkhmghv 一、角动量一、角动量3 35 5 角动量守恒定律角动量守恒定律PrL质点：IL 刚体：t dMH角冲量（冲量矩）：ImrrmrvmrPrL2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理. . 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理. . 二、二、定轴转动的角动量定理积分形式定轴转动的角动量定理积分形式dtIddtdIIM)(122121IILdd
21、tMLLtt定轴转动的角动量定理积分形式定轴转动的角动量定理积分形式dtLdM 角动量定理微分形式角动量定理微分形式设设 时间内，刚体角速度由时间内，刚体角速度由2121tt FZMZ定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同一定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同一转轴合力矩的角冲量（冲量矩）转轴合力矩的角冲量（冲量矩）注意：该定理也适应于刚体的一般运动中转轴通过注意：该定理也适应于刚体的一般运动中转轴通过质心的运动。质心的运动。Cv2C1Cm、ICm、IC1221CCttCIIdtM122121IILddtMLLtt例：一长为l、质量为m的均匀细杆，可绕轴O轴转动。桌面与细杆间的滑动摩擦系
22、数为，杆初始转速为0 ，求：（1）细杆受的摩擦力矩；（2）从0到停止转动共经历的时间；（3）从0到停止转动共转了多少圈（如图）。Ox0 图gdxgdmdflm,mgllggdxxxdfdMMl2120解解：（1） 00IIIMtglmglmlMIt 3221310020 （2）（一）用动量矩定律：）（一）用动量矩定律： lgIM23t0glt3200（二）亦可用转动定律：（二）亦可用转动定律： （3）（一）用运动学方法：）（一）用运动学方法：glgllgglttN 6202230223213202222102 或 22002 gl 322020 gln 6220 （二）动能定理：（二）动能定理
23、： 20210 IM glmgLmlMI 3213121212020220 glN 6220 外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律对轴的角动量守恒定律：外力对某轴的力矩之对轴的角动量守恒定律：外力对某轴的力矩之和和( )为零，则该物体对同一轴的角为零，则该物体对同一轴的角动量守恒。动量守恒。0M 12LL 1122121 2IILLdLMdtLLtt12II ,0iiMdtLdM 注意：角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对注意：角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非非 刚体也成立。刚体也成立。一般有三种
24、情况：一般有三种情况：A A：I I不变，不变， 也不变，保持匀速转动。也不变，保持匀速转动。B B：I I发生变化，但发生变化，但I I 不变，则不变，则 要发生改变。要发生改变。C C：开始不旋转的物体，当其一开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分部分旋转时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。朝另一反方向旋转。例例1 1：质量为：质量为M M、半径为、半径为R R的转台，可绕通过中心的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。质量为的竖直轴转动。质量为m m的人站在边沿上，人和转的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言
25、，人和转台各转动了多少角度？地而言，人和转台各转动了多少角度？已知已知：0,RmM求求：台人,解解：以：以M。m为研究对象为研究对象 0外力矩M故角动量守恒故角动量守恒以地面为参照，建立轴以地面为参照，建立轴的正方向如图：的正方向如图：+MXm)1(0 台台人人 II02122台人MRmR)2(2台人mMttdtmMdt002台人因人和台原来都静止故因人和台原来都静止故角动量角动量台人,（2）式）式dt积分：积分：+MXm若人和转台的角速度分别为若人和转台的角速度分别为人台ttdtmMdt002台人) 3(2台人mM)4(2 台人mMm4台mMM2人人+MX台mAAm人台子弹射入之前子弹射入之
26、前子弹射入之后子弹射入之后MmvMM+mgNOM+NOmg已知已知：vmlM,求求：?解解：例例2 2：一木杆长：一木杆长 可绕光滑端轴可绕光滑端轴O O旋转。设这旋转。设这时有一质量为时有一质量为m m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 射入杆射入杆端并箝端并箝 入杆内，求杆偏转的角度。入杆内，求杆偏转的角度。vl射入前后的过程射入前后的过程角角 动动 量量 守守 恒！恒！在此过程中在此过程中N和和mg的力矩的角冲量可视为零的力矩的角冲量可视为零m1ZL2ZLmlvL 1 )31(222mlMlIL 系统在子弹射入之后的角动量系统在子弹射入之后的角动量：系统在子弹射入之前的角动量系统在子弹射入
27、之前的角动量：) 1 ()31(lmMmv)31(22mlMlmlv依角动量守恒定理：依角动量守恒定理：子弹射入之前子弹射入之前mvMM+O1ZL以以M、m为研究对象，建立轴的正方向。为研究对象，建立轴的正方向。子弹射入之后子弹射入之后O2ZL以以M、m、地球地球为研究对象，为研究对象，以杆端为势能零点以杆端为势能零点初态的机械能初态的机械能22121lMgIE 末态的机械能末态的机械能)cos1 (2202llMgE)cos1 ( mgl子子弹弹射射入入之之后后NOmg2ZLMM+lO22121lMgIE )cos1 (2202llMgE)cos1 ( mgl依机械能守恒：依机械能守恒：)2
28、(21EE MM+联立（联立（1 1）、（、（2）式可得式可得glmMmMvm)2)(3(31arccos22例例3：质量为：质量为M20kg，半径为，半径为R2m的转台（可看作的转台（可看作匀质圆盘）绕中心竖直轴以匀速匀质圆盘）绕中心竖直轴以匀速0 匀速转动，今有沙匀速转动，今有沙粒以每秒粒以每秒2kg的速率（的速率（dm/dt=2kg/s）垂直落到转台上，）垂直落到转台上，在转台上粘附成一半径为在转台上粘附成一半径为r1m的圆环。求的圆环。求试写出转试写出转台的转动惯量台的转动惯量I I随时间随时间t t的变化关系式；的变化关系式； 求当沙粒落求当沙粒落到转台上使转台转速减到到转台上使转台
29、转速减到0/2 时所需要的时间。时所需要的时间。解解（1）沙粒下落使转台的转动惯量发生变化）沙粒下落使转台的转动惯量发生变化)1.(20mrII )2.(2ttdtdmm 其中其中).(240221222mkgttrMRI 所所以以例例3：质量为：质量为M20kg，半径为，半径为R2m的转台（可看作的转台（可看作匀质圆盘）绕中心竖直轴以匀速匀质圆盘）绕中心竖直轴以匀速0 匀速转动，今有沙匀速转动，今有沙粒以每秒粒以每秒2kg的速率（的速率（dm/dt=2kg/s）垂直落到转台上，）垂直落到转台上，在转台上粘附成一半径为在转台上粘附成一半径为r1m的圆环。求的圆环。求试写出转试写出转台的转动惯量
30、台的转动惯量I I随时间随时间t t的变化关系式；的变化关系式； 求当沙粒落求当沙粒落到转台上使转台转速减到到转台上使转台转速减到0/2 时所需要的时间。时所需要的时间。解解（2）由角动量守恒，有）由角动量守恒，有2)2(02000 trIII srIIt2024022200 解之，得解之，得).(4021220mkgMRI 其其中中例例4） 在光滑的水平桌面上开一小孔。今有质量在光滑的水平桌面上开一小孔。今有质量m的的 小球以细轻绳系着，绳穿过小孔下垂，如图。小球以细轻绳系着，绳穿过小孔下垂，如图。小球原以速率小球原以速率V0沿半径沿半径R在桌面回转。在回转过程在桌面回转。在回转过程中将绳缓缓下拖，当小球的回转半径缩短为中将绳缓缓下拖，当小球的回转半径缩短为R/2时，时，此时小球的回转角速度此时小球的回转角速度 （1） ，在此过程中外，在此过程中外力做的功为力做的功为A= （2） 。mFRRV0044 2023mVA（1）（2）； 解解练习六，七练习六，七