大学文科数学第三章.ppt

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1、第三章第三章 导数及其应用导数及其应用3.1 3.1 导数导数3.2 3.2 用导数研究函数用导数研究函数3.3 3.3 应用应用两个问题1.1.求变速直线运动的瞬时速度问题求变速直线运动的瞬时速度问题在直线上引入坐标原点在直线上引入坐标原点 0 和单位长度和单位长度设动点于时刻设动点于时刻 t 在数轴上的位置的坐标为在数轴上的位置的坐标为 s:如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻 的速度的速度考虑质点在时段考虑质点在时段上的平均速度上的平均速度3.1 导数导数（1）若质点作匀速直线运动，则上述比值恒为一常数）若质点作匀速直线运动，则上述比值恒为一常数（

2、2）若质点作非匀速直线运动，则上述比值与）若质点作非匀速直线运动，则上述比值与 t 有关有关考虑质点在时段考虑质点在时段上的平均速度上的平均速度它仅为质点在它仅为质点在时刻速度的近似值。时刻速度的近似值。，即为质点在，即为质点在 时刻的（瞬时）速度。时刻的（瞬时）速度。考虑质点在时段考虑质点在时段上的平均速度上的平均速度若记若记 点点P P处的切线处的切线割线PQ切线PT切点2.2.曲线的切线问题曲线的切线问题 如图如图,如果割线如果割线 MN 绕点绕点 M 旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置 MT,直线直线 MT 就称为曲就称为曲线线 C 在点在点 M 处的处的切线切线.极限位置即极限位置

3、即存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数 y=f(x)在点在点 处的处的导数导数,有时也称函数有时也称函数 y=f(x)在点在点 处处可导可导.可记为可记为定义定义 设函数设函数 y=f(x)在点在点 的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,如果如果3.1.1 导数的定义导数的定义或或 或或 或或（1 1）导数定义的两种常见形式）导数定义的两种常见形式（2 2）关于导数的说明：）关于导数的说明：注意注意:变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度其中，其中，s=f(t)为关于时间为关于时间 t 的位置函数的位置函数 切线的斜率切线的斜率其中，其中，y=f(x)为曲线的方程。为曲线的方程。由

4、定义求导数步骤由定义求导数步骤:例例1求函数求函数的的导数数解解:(1)求增量求增量:(2)算比算比值:(3)取极限取极限:例例2 2解：解：例例3 3解：解：例例4 4解：解：更一般地更一般地例如例如,例例5 5解：解：例例6 6解：解：基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:(存在且相等），存在且相等），例例7 7解解特别地特别地:即即导数的几何意义导数的几何意义例例9 9解解:由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为解解:（1）因为点）因为点(1,1)在曲线上，由导数的几

5、在曲线上，由导数的几何意义何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为例例10 已知曲线已知曲线（1）求过点）求过点(1,1)的切线方程；的切线方程；（2）确定）确定 b 的值，使直线的值，使直线 y=3x+b 为曲线的切线；为曲线的切线；（3）求过点）求过点(0,3)的切线方程。的切线方程。例例10 已知曲线已知曲线（1）求过点）求过点(1,1)的切线方程；的切线方程；（2）确定）确定 b 的值，使直线的值，使直线 y=3x+b 为曲线的切线；为曲线的切线；（3）求过点）求过点(0,3)的切线方程。的切线方程。解解:（2）关键要确定切点。）关键要确定切点。切线方程为切线方程为

6、例例10：已知曲线：已知曲线（1）求过点）求过点(1,1)的切线方程；的切线方程；（2）确定）确定 b 的值，使直线的值，使直线 y=3x+b 为曲线的切线；为曲线的切线；（3）求过点）求过点(0,16)的切线方程。的切线方程。解解:（3）注意点）注意点(0,16)不在曲线上。不在曲线上。切线方程为切线方程为可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证:0例如例如,注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.例例1111解解:设函数函数u(x)与与v(x)在点在点x处均可均可导，则:定理定理1 1（一）导数的四则运算法则（一）导数的四则运算法则特别地特别

7、地,如果如果可得公式可得公式3.1.2 求导法则求导法则特别地特别地,注：法注：法则（1）（）（2）均可推广到有限）均可推广到有限多个可多个可导函数的情形函数的情形例：例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点在点x处均均可可导，则解：解：例例13 设解：解：例例12解：解：即即 类似可得似可得例例14 求求y=tanx 的的导数数解：解：即即类似可得似可得例例15 求求 y=secx 的的导数数 定理定理2 2如果函数如果函数在在x处可可导，而函数，而函数y=f(u)在在对应的的u处可可导，那么复合函数那么复合函数在在x处可可导，且有，且有或或对于多次复合的函数，其求导公式类似，对于

8、多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法此法则也称链导法注：注：（二）复合函数的导数（二）复合函数的导数例例17解：解：解：解：例例16对数求导法观察函数观察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后两边分别求导，求然后两边分别求导，求出导数出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:例例1818解：解：等式两边取对数得等式两边取对数得例例19 这函数的定义域这函数的定义域 解：解：两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导得求导得两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导得求导得同理同理例例:20:20解：解：等式两边取对数得等式两边取对数得速度速度即即加速

9、度加速度即即引例：引例：变速直线运动变速直线运动3.1.3 高阶导数高阶导数定义定义若函数若函数的导数的导数可导可导,或或即即或或类似地类似地,二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为三阶导数三阶导数,阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数,或或的的二阶导数二阶导数,记作记作的导数为的导数为依次类推依次类推,分别记作分别记作则称则称高高阶导数的运算法数的运算法则都有都有 n 阶导数阶导数,则则(C为常数为常数)莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式及及设函数设函数设设求求解解:依次类推依次类推,例例21思考思考:设设问问可得可得例例22 设求求解解:特别有特别有:解解:规定 0!=

10、1思考思考:例例23 设设求求 一一块正方形金属薄片受温度正方形金属薄片受温度变化的影响，其化的影响，其边长由由变到到（如（如图），），问此薄片的面此薄片的面积改改变了多少？了多少？引例引例：3.1.4 微分的概念微分的概念再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题:这个个线性函数性函数(改改变量的主要部分量的主要部分)是否是否所有函数的改所有函数的改变量都有量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?定义定义(微分的实质微分的实质)由定义知由定义知:例例2424解：解：基本初等函数的微分公式及微分运算法则基本初等函数的微分公式及微分运算法则求法求法:计算函数的导数计算

11、函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2.2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处.3.设设 及及 都可导都可导,则复合函数则复合函数 的的微分为微分为复合函数的微分法则复合函数的微分法则由复合函数的微分法则由复合函数的微分法则结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性注注法一法一法二法二 利用微分形式不变性利用微分形式不变性例例25 25 求下列函数的微分求下列函数的微分(2)解：解：解：解：例例2626解解例例2727例例272

12、7解：解：在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.定理定理:函数函数证证:“必要性必要性”已知已知在点在点 可微可微,则则故故在点在点 的可导的可导,且且在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是在点在点 处可导处可导,且且即即“充分性充分性”已知已知即即在点在点 的可导的可导,则则定理定理:函数函数在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是在点在点 处可导处可导,且且即即（1 1 1 1）罗尔定理）罗尔定理）罗尔定理）罗尔定理 若函数若函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点处的

13、函数值相等，即内可导，且在区间端点处的函数值相等，即 则在开区间则在开区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 使得使得 3.2 用导数研究函数用导数研究函数3.2.1 中值定理中值定理证：证：上连续，故在上连续，故在 a,b 上取得最上取得最大值和最小值大值和最小值.于是于是,有两种可能情形：有两种可能情形：(1)f(x)在区间在区间a,b上恒为常数上恒为常数 因此因此(2)那么，在开那么，在开 因此因此注意注意1)当定理条件不全具备时当定理条件不全具备时,结论不一定成立结论不一定成立.例如例如2)满足定理中三个条件的函数满足定理中三个条件的函数 f(x),函数函数 必定有零点，零点的个数

14、可能有多个必定有零点，零点的个数可能有多个3)罗尔定理的几何意义：罗尔定理的几何意义：函数函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上满上满足定理条件时足定理条件时,在在(a,b)内的曲内的曲例例28 验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数 线弧线弧 f(x)上必存在水平切线上必存在水平切线解：解：函数函数 显然在显然在 上连续，上连续，而而 例例29分析分析利用中值定理证明存在点满足等式利用中值定理证明存在点满足等式,通常的通常的方法用方法用还原法还原法:即即:改写结论为改写结论为把等式还原成把等式还原成x的方程的方程.因此，函数因此，函数 g(x)在区间在区间 0,a上满足罗尔定理的上满足罗尔定理

15、的三个条件，则至少有点三个条件，则至少有点 使使 即即 也即也即 证证 令令 设设 g(x)=0 的正根为的正根为 x=a,则则（2）拉格朗日中值定理）拉格朗日中值定理 若函数若函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导，内可导，则在开区间则在开区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 使得使得 证证:如图如图，直线直线AB的方程为的方程为构造辅助函数构造辅助函数由罗尔定理，则在开区间由罗尔定理，则在开区间(a,b)即即所以所以 注注 1)在拉格朗日中值定理中，若加上条件在拉格朗日中值定理中，若加上条件 则结论变成则结论变成 因此，因此，罗尔定理是拉

16、格朗日中值定理的特殊情形罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形2)拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中值定理的几何意义：有不垂直于有不垂直于 x 轴的切线，那么曲线弧轴的切线，那么曲线弧 上至少上至少 有一点有一点 C,使曲线在点使曲线在点C 处的切线平行弦处的切线平行弦 AB.为为拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式显然，公式对显然，公式对 b 0，x (1,1)时，时，f (x)0，所以所以(,-1)和和(1,)是是 f(x)的递增区间，的递增区间，(-(-1,1)是是 f(x)的递减区间的递减区间.为为简简便便直直观观起起见见，我我们们通通常常将将上上述述讨讨论论归归纳纳为如下的表格：为如下

17、的表格：x(,-1)(-(-1,1)(1,)f (x)f(x)其其中中箭箭头头 ，分分别别分分表表示示函函数数在在指指定定区区间间递递增增和和递减递减.解：解：(1)该函数该函数的定义区间为的定义区间为(，)；.325)1(32)()2(313231xxxxxxf=例例3131 此外，显然此外，显然 x=0 为为 f(x)的不可导点，的不可导点，分分定定义义区区间间为为三三个子区间个子区间(,0)，亦可如例亦可如例 1 那样，以下表表示那样，以下表表示 f(x)的单调性：的单调性：x(,0)f (x)f(x)3.2.3 函数的极值函数的极值设函数设函数 y=f(x)在在 a,b 上连续上连续.

18、若对于一点若对于一点 存在它的某一邻域存在它的某一邻域 使得使得则称则称 是函数是函数 f(x)的的极大值极大值,是是 f(x)的的极大值点极大值点.则称则称 是函数是函数 f(x)的的极小值极小值,是是 f(x)的的极小值点极小值点.切线是水平的（平行于X轴）OOxxyy 费马定理证明证明:几何解释几何解释:换句话说，若函数换句话说，若函数f f(x x)在其极值点处可微，则在该点处在其极值点处可微，则在该点处必存在唯一的一条平行于必存在唯一的一条平行于x x轴的切线。轴的切线。注意：注意：当当f(x)可微时，条件可微时，条件“f(x)=0”只是只是f(x)存在极值的必要存在极值的必要条件，

19、而非充分条件。即导数等于零的点不一定都是极值点。条件，而非充分条件。即导数等于零的点不一定都是极值点。定理定理 (函数极值的第一充分条件函数极值的第一充分条件)求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)例例3232解解:列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值定理定理(极值的第二充分条件极值的第二充分条件 )(1)当当 f (x0)0 时时，则则 x0 为为极极小小值值点点，f(x0)为极小值为极小值；(2)当当 f (x0)0 时时，则则 x0 为极大值点为极大值点，f(x0)为极大值为极大值.若若 f (x0)=0，且且 f (x0)0，则则 x0 是是函函数数的的极极值值

20、点点，f(x0)为函数的极值为函数的极值，并且并且设函数设函数 y=f(x)在在 x0 处的二阶导数存在处的二阶导数存在，求函数极值的一般步骤是：求函数极值的一般步骤是：(1)确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；(2)(2)考考察察函函数数的的二二阶阶导导数数在在驻驻点点处处的的符符号号，确确定极值点；定极值点；(3)(3)求出极值点处的函数值，得到极值求出极值点处的函数值，得到极值.例例 33 求函数求函数 f(x)=x4 10 x2+5 的极值的极值.因为因为解解:(1)定义域为定义域为(-,+).f (x)=4x3 20 x=4x(x2-5)，所以

21、，由所以，由 f f (x)=(x)=0 0 可得该函数的三个驻点可得该函数的三个驻点所以有所以有则：则：(2)因为因为 f (x)=12x2 20，(3)计算极值：计算极值：求函数的最值求函数的最值(1)(1)求驻点和不可导点求驻点和不可导点(2)(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值 设设 f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，求函数最值的步骤：求函数最值的步骤：(3)(3)比较大小比较大小,最大者就是最大值最大者就是最大值,最小者就是最小者就是 最小值最小值;比较这些值的大小可得比较这些值的大小可得例例34证证:将所证问题转化为求函数将所证问题

22、转化为求函数在区间在区间0，1上的上的最大值最大值和和最小值最小值.将区间将区间端点端点与与驻点驻点处的函数值进行比较：处的函数值进行比较：例例35 求证求证例例36 要做一个容积为要做一个容积为V0的圆柱形储油罐，怎的圆柱形储油罐，怎样设计才能使用材料最省？样设计才能使用材料最省？解解:要使用料最少，就是要使要使用料最少，就是要使故故 储油罐的储油罐的表面积表面积S为：为：xyh储油罐的表面积最小储油罐的表面积最小.令令 S=0,得唯一的得唯一的驻点驻点处取得处取得极小值极小值，由于只有，由于只有一个极值，所以也为最小值一个极值，所以也为最小值.这时储油罐的高为这时储油罐的高为所以，当储油罐

23、的所以，当储油罐的高和底面直径相等高和底面直径相等时，所用材料最省时，所用材料最省.问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位 于所张弦的下方于所张弦的下方3.2.4 凹凸性与拐点凹凸性与拐点定义定义 设设 在区间在区间 内可导，如果曲线内可导，如果曲线 上上的每一点处的切线都位于曲线的上方的每一点处的切线都位于曲线的上方(下方下方)，则称曲线，则称曲线 在在 内是凸的内是凸的(凹的凹的).).定理定理 (凹凸判定法凹凸判定法)(1)在 内则 在 内图形是凹的;(2)在 内则 在 内图形是

24、凸的.设函数在区间 上有二阶导数例例37 判断曲线的凹凸性.解解:故曲线在上是向上凹的.说明说明:1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在 两侧异号异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,例例38 求曲线的拐点.解解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸无渐近线.点 M与某一直线 L 的距离趋于 0,1.曲曲线的的渐近近线定义 若曲线C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L为曲线C的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”3.2.5 函数作图函数作图1.1 水平与垂直水平与垂直

25、渐近近线若若则曲线则曲线有水平渐近线有水平渐近线则曲线则曲线有垂直渐近线有垂直渐近线例例39 39 求曲线求曲线的渐近线的渐近线 .解解:为水平渐近线为水平渐近线;为垂直渐近线为垂直渐近线.若若1.2 1.2 斜渐近线斜渐近线斜渐近线若例例39 39 求曲线的渐近线.解解:所以有垂直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.2.2.函数图形的描绘函数图形的描绘步骤步骤 :1.1.确定函数确定函数的定义域的定义域 ,期性期性 ;2.2.求求并求出并求出及及3.3.列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间 ,求出极值和拐点求出极值和拐点 ;4.4.求渐近线求渐近线 ;5.5.确定某些特殊点确定某些特殊点

26、,描绘函数图形描绘函数图形 .为为0 0和不存在和不存在的点的点 ;并考察其对称性及周并考察其对称性及周例例40 40 描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)例例41 描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于 y 轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)(极大极大)(拐点拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线利润函数利润函数利利润是生是生产中中获得的得的总收益与投入的收益与投入的总成本之成本之差，即差，即例例42 已知某已知某产品价格品价格为 P，需求函数，需求函数为 成本函数成本函数为，求，求产量量 Q 为多少多少时利利润L 最大？最大利最大？最大利润是多少？是多少？解：解：由需求函数由需求函数，可得，可得于是，收益函数于是，收益函数为3.2 应用应用因此，因此，时，最大利，最大利润为30。这样，利，利润函数函数为