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1、2第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布9(X, Y)是二维离散型的随机变量是二维离散型的随机变量如果二维随机变量如果二维随机变量(X, Y)全部可能取到的全部可能取到的不相同的值不相同的值 是有限对或可列无限多对是有限对或可列无限多对, 则称则称(X, Y)是是离散型的随机变量离散型的随机变量.设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X, Y)所有可能取所有可能取的值为的值为(xi, yj), i, j=1, 2, ., 记记PX=xi, Y=yj=pij, i, j=1, 2, ., 则由概率的定义有则由概率的定义有. 1, 011ijijijpp10称称PX=xi, Y
2、=yj=pij, i, j=1, 2, ., 为二维离散为二维离散型随机变量型随机变量X和和Y的的分布律分布律, 或随机变量或随机变量X和和Y的的联合分布律联合分布律.也可用表格表示也可用表格表示X和和Y的联合分布律的联合分布律:Y Xx1x2.xi.y1p11p21.pi1.y2p12p22.pi2.yjp1jp2j.pij.11例例1 设随机变量设随机变量X在在1, 2, 3, 4四个整数中等可四个整数中等可能地取一个值能地取一个值, 另一个随机变量另一个随机变量Y在在1X中等中等可能地取一整数值可能地取一整数值. 试求试求(X, Y)的分布律的分布律.解解 由乘法公式容易求得由乘法公式容
3、易求得(X, Y)的分布律的分布律, 易知易知X=i, Y=j的取值情况是的取值情况是: i=1, 2, 3, 4, j取不大取不大于于i的正整数的正整数, 且且., 4 , 3 , 2 , 1,141|,ijiiiXjYPiXPjYiXP12于是于是(X, Y)的分布律为的分布律为., 4 , 3 , 2 , 1,141|,ijiiiXjYPiXPjYiXPY X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/1613将将(X, Y)看成一个随机点的坐标看成一个随机点的坐标, 则离散型随则离散型随机变量机变量X和和Y的联合分布函数为的联合分布
4、函数为( , ),(1.2)ijijxx yyF x yp其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足xi x, yj y的的i, j来求和来求和的的. 补充例题补充例题: 求例求例1中随机变量中随机变量X和和Y的联合分布函数的联合分布函数.解解:由例由例1 所求的随机变量所求的随机变量X和和Y的联合分布律的联合分布律得随机变量得随机变量X和和Y的联合分布函数为的联合分布函数为:1401112143328,4328114224164324xyxyxyF X Yxyxyxy当或当1且当2且1当2且当3且1当3且218424412,42343444xxyF X Yxyxyxy当3且y325当且4838
5、当且4845当且481当且15二二. (X, Y)是二维连续型的随机变量是二维连续型的随机变量 与一维随机变量相似与一维随机变量相似, 对于二维随机变量对于二维随机变量(X, Y)的分布函数的分布函数F(x, y), 如果存在非负的函数如果存在非负的函数f(x, y)使对使对于任意于任意x, y有有,dd),(),( yxvuvufyxF则称则称(X, Y)是是连续型的二维随机变量连续型的二维随机变量, 函数函数f(x, y)称为二维随机变量称为二维随机变量(X, Y)的的概率密度概率密度, 或称或称为随机变量为随机变量X和和Y的的联合概率密度联合概率密度.16按定义按定义, 概率密度概率密度
6、f(x, y)具有以下性质具有以下性质:1: f(x, y) 0.( ,d.2)d1f x yxy ：)3 . 1 (.dd),(),(GyxyxfGYXP3: 设设G是是xOy平面上的区域平面上的区域, 点点(X, Y)落在落在G内的概率为内的概率为4: 若f(x, y)在点(x, y)连续, 则有).,(),(2yxfyxyxF17由性质由性质4, 在在f(x, y)的连续点处有的连续点处有).,(),(),(),(),(),(1lim,lim20000yxfyxyxFyxFyyxFyxxFyyxxFyxyxyyYyxxXxPyxyx18这表示若这表示若f(x, y)在点在点(x, y)处
7、连续处连续, 则当则当D Dx, D Dy 很小时很小时PxX x+D Dx, y2)维随机变量的情况维随机变量的情况. 一般一般, 设设E是一个是一个随机变量随机变量, 它的样本空间是它的样本空间是S=e, 设设X1=X1(e), X2=X2(e), ., Xn=Xn(e)是定义在是定义在S上的随机变上的随机变量量, 由它们构成的一个由它们构成的一个n维随机向量维随机向量(X1, X2, ., Xn)叫做叫做n维随机向量维随机向量或或n维随机变量维随机变量.任给任给n个实数个实数x1, x2, ., xn, n元函数元函数F(x1, x2, ., xn)=PX1 x1, X2 x2, .,
8、Xn xn称为称为n维随机变量维随机变量(X1, X2, ., Xn的分布函数或的分布函数或联合分布函数联合分布函数. 它具有类似于二维随机变量的它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质分布函数的性质.242 边缘分布边缘分布25二维随机变量二维随机变量(X, Y)作为一个整体作为一个整体, 具有分布具有分布函数函数F(x, y). 而而X和和Y都是随机变量都是随机变量, 分别也有分别也有分布函数分布函数, 将它们分别记为将它们分别记为FX(x), FY(y), 依依次称为二维随机变量次称为二维随机变量(X, Y)关于关于X和关于和关于Y的的边缘分布函数边缘分布函数. 边缘分布函数可以由边缘分
9、布函数可以由(X, Y)的的分布函数分布函数F(x, y)所确定所确定, 事实上事实上, FX(x)=PX x=PX x, Y0, 20, | |0, 考虑在事件考虑在事件Y=yj条件下事件条件下事件X=xi发生的发生的概率概率, 也就是求条件概率也就是求条件概率PX=xi|Y=yj, i=1, 2, .39由条件概率公式由条件概率公式, 可得可得, 2 , 1,|ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji111:|0;2:|1.ijijjijiijjP Xx YyppP Xx Yypp易知上述条件概率具有分布律的性质易知上述条件概率具有分布律的性质:40定义定义 设设(X, Y)是二维
10、离散型随机变量是二维离散型随机变量, 对于对于固定的固定的j, 若若PY=yj0, 则称则称) 1 . 3(, 2 , 1,|ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji)2 . 3(, 2 , 1,|jppxXyYPiijij为在为在Y=yj条件下的随机变量条件下的随机变量X的的条件分布律条件分布律.同样同样, 对于固定的对于固定的i, 若若PX=xi0, 则称则称为在为在X=xi条件下随机变量条件下随机变量Y的的条件分布律条件分布律41例例1 在一汽车工厂中在一汽车工厂中, 一辆汽车有两道工序是一辆汽车有两道工序是由机器人完成的由机器人完成的. 其一是紧固其一是紧固3只螺栓只螺栓, 其
11、二是其二是焊接焊接2处焊点处焊点. 以以X表示螺栓紧固得不良的数目表示螺栓紧固得不良的数目, Y表示焊接点不良数目表示焊接点不良数目. 已知已知(X, Y)的分布律的分布律:Y X0123PY=j00.8400.0300.0200.0100.90010.0600.0100.0080.0020.08020.0100.0050.0040.0010.020PX=i0.9100.0450.0320.0131.000(1)求在求在X=1的条件下的条件下, Y的条件分布律的条件分布律;(2)求求在在Y=0的条件下的条件下, X的条件分布律的条件分布律.42解解Y X0123PY=j00.8400.0300
12、.0200.0100.90010.0600.0100.0080.0020.08020.0100.0050.0040.0010.020PX=i0.9100.0450.0320.0131.000Y=k012PY=k|X=16/92/91/9X=k0123PX=k|Y=084/903/902/901/9043例例2 一射手进行射击一射手进行射击, 击中目标的概率为击中目标的概率为p (0p1), 射击直至击中目标两次为止射击直至击中目标两次为止. 设以设以X表示首次击中目标所进行的射击次数表示首次击中目标所进行的射击次数, 以以Y表表示总共进行的射击次数示总共进行的射击次数, 试求试求X和和Y的联合
13、分的联合分布律及条件分布律布律及条件分布律.222(1).nnppqqqp qqp 个这里解解 按题意按题意Y=n表示在第表示在第n次射击时击中目标次射击时击中目标, 且在且在第第1次次, 第第2次次, ., 第第n-1次射击中恰有一次击中目标次射击中恰有一次击中目标. 已知各次射击是相互独立的已知各次射击是相互独立的, 于是不管于是不管m(m0, 如如Py0, )3 . 3(d)(),()(d),(d)(dd),(,|xYYxyyYxyyuyfyufyfuyufvvfuvvufyYyPyYyxXPyYyxXPeeeeeee47定义定义 设二维随机变量设二维随机变量(X, Y)的概率密度为的概
14、率密度为f(x, y), (X, Y)关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为fY(y).)4 . 3(.)(),()|(,)(),(, 0)(,|yfyxfyxfXyYyfyxfyfyYYXYY记为条件概率密度的条件下为在则称若对于固定的48|( , )( | )dd( ),|( | ),( , )( | )|d . (3.5)( )xxX YYX YxX YYf x yfx yxxfyYyXP Xx YyFx yf x yFx yP Xx Yyxfy称:为在条件下的条件分布函数记为:或即:49 |0,( , )( | )( )( , )( | )d( )|( | )d( | ).Y XX
15、yY XXxX YX YxXxf x yfy xfxf x yFy xyfxP Xx yYyfx yxFx yeX类似地可以定义:对于固定的x,f在条件下Y的条件概率密度为:条件分布函数为:且有50例例3 设设G是平面上的有界区域是平面上的有界区域, 其面积为其面积为A. 若若二维随机变量二维随机变量(X, Y)具有概率密度具有概率密度, 0,),(,1),(其它GyxAyxf则称则称(X, Y)在在G上服从上服从均匀分布均匀分布. 现设二维随现设二维随机变量机变量(X, Y)在圆域在圆域x2+y2 1上服从均匀分布上服从均匀分布, 求条件概率密度求条件概率密度fX|Y(x|y).51解解 由
16、假设知随机变量由假设知随机变量(X, Y)具有概率密度具有概率密度, 0, 1,1),(22其它yxyxf |,( | )X YYf x yfx yfy因为因为52而而y的边缘概率密度为的边缘概率密度为: y 0 x22121( )( , )d12d1,11,0,.Yyyfyf x yxxyy 其它221xy21 y21 y53于是当于是当 1y1时有时有 22|221/ 1,22 11,( | )(11),0,X YYyyf x yfx yyxyfy其它54例例4 设数设数X在区间在区间(0, 1)上随机地取值上随机地取值, 当观察当观察到到X=x(0 x1)时时, 数数Y在区间在区间(x,
17、 1)上随机地上随机地取值取值. 求求Y的概率密度的概率密度fY(y).解解 按题意按题意X具有概率密度具有概率密度., 0, 10, 1)(其它xxfX., 0, 1,11)|(|其它yxxxyfXY对任意给定的值对任意给定的值x(0 x1), 在在X=x条件下条件下, Y的条件概率密度为的条件概率密度为55由由(3.4)式式得得X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为., 0, 10,11)|()(),(|其它yxxxyfxfyxfXYX., 0, 10),1ln(d11d),()(0其它yyxxxyxfyfyY于是得关于于是得关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 564 相互独立的随机
18、变量相互独立的随机变量57定义定义 设设F(x, y)及及FX(x), FY(y)分别是二维随机分别是二维随机变量变量(X, Y)的分布函数及边缘分布函数的分布函数及边缘分布函数. 若对若对于所有于所有x, y有有PX x, Y y=PX xPY y, (4.1)即即 F(x, y)=FX(x)FY(y), (4.2)则称随机变量则称随机变量X和和Y是是相互独立相互独立的的.58设设(X, Y)是是连续型连续型随机变量随机变量, f(x, y), fX(x), fY(y)分别为分别为(X, Y)的概率密度和边缘概率密度的概率密度和边缘概率密度, 则则X和和Y相互独立的条件相互独立的条件(4.2
19、)等价于等价于 f(x, y)=fX(x)fY(y)(4.3)几乎处处几乎处处1成立成立.注注1: 此处此处几乎处处成立几乎处处成立的含义是的含义是: 在平面在平面上除去上除去面积面积为零的集合以外为零的集合以外, 处处成立处处成立.59当当(X, Y)是是离散型离散型随机变量时随机变量时, X和和Y相互独立相互独立的条件的条件(4.2)式等价于式等价于: 对于对于(X, Y)的的所有可能所有可能取的值取的值(xi, yj)有有PX=xi, Y=yj=PX=xiPY=yj. (4.4)60例例1 设随机变量设随机变量X和和Y的概率密度为的概率密度为(2)220202e,0,0,( ,)0,.2
20、2e,0,( )0,2e,0,( )0,xyxyxXxyyYxyf x yedyxfxedxyfy其它求证X与Y相互独立.证:因为其它其它故有故有 f(x, y)=fX(x)fY(y), 因而因而X, Y是相互独立是相互独立的的.61例例2 若若X, Y具有联合分布律具有联合分布律Y X01PY=j11/62/61/221/62/61/2PX=i1/32/31求证: X、Y是相互独立的.62例例3 求证求证: 2例例1中的随机变量中的随机变量F和和D, 不相互独立不相互独立证：证： D和和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示的联合分布律及边缘分布律如下表所示: 证由于证由于PD=1, F=0=
21、1/10 PD=1PF=0=(1/10)(1/10). 因而因而F和和D不是相互独立的不是相互独立的. D F1234PF=j01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10PD=i 1/104/102/103/10163例例4: 问二维正态随机变量问二维正态随机变量X和和Y是否相互独立？是否相互独立？ 解：解：(X, Y)的概率密度为的概率密度为其边缘概率密度其边缘概率密度 的乘积为的乘积为:2122211221222122()11( , )exp2(1)21()()()2.xf x yxyy 22122212()()112212221222121211(
22、 )( )22()()11exp.22xyXYfx fyeexy . ,XYfxfy64 由此可以看出由此可以看出, 如果如果 =0, 则对于所有的则对于所有的x, y 都有都有f(x,y)=fX(x)fY(y), 即有即有X和和Y相互独立相互独立 反之反之, 如果如果 X和和Y相互独立相互独立, 由于由于f(x,y), fX(x), fY(y) 都是连续函数都是连续函数, 故对于所有的故对于所有的x, y 都有都有 f(x,y)=fX(x)fY(y), 从而从而 2,222,11y 111我们特别令:x=则就这一等式有122065由此得出结论：由此得出结论：二维正态随机变量二维正态随机变量X
23、和和Y相互独立相互独立的充要条件是的充要条件是 =066例例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分他的秘书到达办公室的时间均匀分布在布在79时时, 设他们到达的时间相互独立设他们到达的时间相互独立, 求求他们到达时间相差不超过他们到达时间相差不超过5分钟分钟(1/12小时小时)的的概率概率.解解 设设X和和Y分别是负责人和他的秘书到达办分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间公室的时间, 由假设由假设X和和Y的概率密度分别为的概率密度分别为其它其它, 0, 97, 2/1)(, 0,128, 4/1)(yyfxxfYX6
24、7因为因为X, Y相互独立相互独立, 故故(X, Y)的概率密度为的概率密度为., 0, 97 ,128, 8/1)()(),(其它yxyfxfyxfYX按题意需要求概率按题意需要求概率P|X Y| 1/12. 画出区域画出区域: |x y| 1/12, 以及长方形以及长方形8x12; 7y9, 它它们的公共部分是四边形们的公共部分是四边形BCCB, 记为记为G. 显然显然仅当仅当(X, Y)取值于取值于G内内, 他们两人到达的时间他们两人到达的时间相差才不超过相差才不超过1/12小时小时. 因此因此, 所求的概率为所求的概率为68y=xyx1/12yx1/1278910111289BBCCA
25、G69而而G的面积的面积=D DABC的面积的面积 D DABC的面积的面积).(81dd),(12/1|的面积GyxyxfYXPG.6112112112132122即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过不超过5分钟的概率为分钟的概率为1/48.70以上关于二维随机变量的一些概念以上关于二维随机变量的一些概念, 容易推容易推广到广到n维随机变量的情况维随机变量的情况.n维维随机变量随机变量(X1, X2, ., Xn)的的分布函数分布函数的定义的定义为为F(x1, x2, ., xn)=PX1 x1, X2 x2, ., Xn xn其中其中x1, x
26、2, ., xn为任意实数为任意实数.71若存在非负函数若存在非负函数f(x1, x2, ., xn), 使得对于任意使得对于任意实数实数x1, x2, ., xn有有 nnxxxnnnttttttfxxxF11ddd),(),(212121则称则称f(x1, x2, ., xn)为为(X1, X2, ., Xn)的的概率密概率密度函数度函数.72设设(X1, X2, ., Xn)的分布函数的分布函数F(x1, x2, ., xn)为为已知已知, 则则(X1, X2, ., Xn)的的k(1 k0时时, Z=X1+X2的概率密度为的概率密度为12121212121212121211/()/01
27、2/110121/1111/012( )( )()d11e()ed()()e()d()() ()e(1)de() ()ZXXzxz xzzzzfzfx fzxxxzxxxzxxxztztttAzaabbaabaaaaaabaaaabaabababaabaaGGGGGG令92现计算现计算A, 由概率密度的性质得到由概率密度的性质得到:)0( ,e)(/121zAzzfzZbaa.)(1),()/d(e)/(d)(121210/1021212121aaGbaaGbbbbaaaabaaaaAAzzAzzfz即有93于是于是.0, 0,e)(1)(/1212121其它zzzfzZbaaaaaaGb亦即
28、亦即Z= X1+X2服从参数为服从参数为a a1+a a2, b b的的G G分布分布, 即即X1+X2G G(a a1+a a2, b b).上述结论还能推广到上述结论还能推广到n个相互独立的个相互独立的G G分布变分布变量之和的情况量之和的情况. 即若即若X1, X2, ., Xn相互独立相互独立, 且且Xi服从参数为服从参数为a ai, b b(i=1, 2, ., n)的的G G分布分布, 则则X1+X2+.+Xn服从参数为服从参数为a a1+.+a an, b b的的G G分布分布.(二二) Z=YX, Z=XY的分布的分布( )( ,).Y Xfzx f x xz dx1( )(
29、,).XYzfzf xdxxx设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y)，则，则Z=YX, Z=XY的密度函数分别为的密度函数分别为当当 X, Y 独立时独立时,1( )( )( ).XYXYzfzfx fdxxx( )( )().Y XXYfzx fx fxz dx95(三三) M=max(X, Y)及及N=min(X, Y)的分布的分布 设设X, Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函它们的分布函数分别为数分别为FX(x)和和FY(y). 现在来求现在来求M=max(X, Y)及及N=min(X, Y)的分布函数的分布函数.由于由于M=max(X, Y)
30、不大于不大于z等价于等价于X和和Y都不大都不大于于z, 故有故有PM z=PX z, Y z.又由于又由于X和和Y相互独立相互独立, 得到得到M=max(X, Y)的的分布函数为分布函数为Fmax(z)=PM z=PX z, Y z=PX zPY z96即有即有Fmax(z)=FX(z)FY(z)(5.11)类似地类似地, 可得可得N=min(X, Y)的分布函数为的分布函数为Fmin(z)=PN z=1 PNz=1 PXz, Yz=1 P(XzPYz即即Fmin(z)=1 1 FX(z)1 FY(z).(5.12)以上结果容易推广到以上结果容易推广到n个相互独立的随机变个相互独立的随机变量的
31、情况量的情况.97设设X1, X2, ., Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量, 它们它们12121212maxmin()(1,2, ),max(,)min(,)( )( )( )( ),(5.13)( )1 1( )1( )1( ).(5.14)innXinnXXXXXXFxinXXXXNXXXFzFz FzFzFzFzFzFz 的分布函数分别为则及的分布函数分别为98特别特别, 当当X1, X2, ., Xn相互独立且具有相同分相互独立且具有相同分布函数时有布函数时有Fmax(z)=F(z)n, (5.15)Fmin(z)=1 1 F(z)n.(5.16)例例4XYL1L2
32、XYL1L2XYL1L2XYXXYXYXYXYXYXYXYXYXXY99设系统设系统L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L1, L2联接联接而成而成, 联接的方式分别为联接的方式分别为(1)串联串联, (2)并联并联, (3)备用备用(当系统当系统L1损坏时损坏时, 系统系统L2开始工作开始工作). 设设L1, L2的寿命分别为的寿命分别为X, Y, 已知它们的概率密已知它们的概率密度分别为度分别为e,0,( )(5.17)0,0,e,0,( )(5.18)0,0,xXyYxfxxyfyyabab其中其中a a0, b b0且且a a b b. 试分别就以上三种连接试分别就以上三种连
33、接方式写出方式写出L的寿命的寿命Z的概率密度的概率密度.100解解 (1)串联的情况串联的情况.由于当由于当L1, L2中有一个损坏时中有一个损坏时, 系统系统L就停止就停止工作工作, 所以这时所以这时L的寿命为的寿命为Z=min(X, Y).由由(5.17), (5.18)式式X, Y的分布函数分别为的分布函数分别为. 0, 0, 0,e1)(, 0, 0, 0,e1)(yyyFxxxFyYxXba101由由(5.12)式得式得Z=min(X, Y)的分布函数为的分布函数为. 0, 0, 0,e1)()(minzzzFzba. 0, 0, 0,e)()()(minzzzfzbaba于是于是Z
34、=min(X, Y)的概率密度为的概率密度为102(2)并联的情况并联的情况由于当由于当L1, L2都损坏时都损坏时, 系统系统L才停止工作才停止工作, 所所以这时以这时L的寿命的寿命Z为为: Z=max(X, Y)按按(5.11)式得式得Z的分布函数为的分布函数为. 0, 0, 0),e1)(e1 ()()()(maxzzzFzFzFzzYXba. 0, 0, 0,e)(ee)()(maxzzzfzzzbabababa于是于是Z的概率密度为的概率密度为103(3)备用的情况备用的情况.由于这时当系统由于这时当系统L1损坏时系统损坏时系统L2才开始工作才开始工作, 因此整个系统因此整个系统L的
35、寿命的寿命Z是是L1, L2两者寿命之两者寿命之和和, 即即: Z=X+Y按按(5.3)式式, 当当z0时时Z=X+Y的概率密度为的概率密度为.eedeedeed)()()(0)()(zzzyzyyzYXyyyyfyzfzfbaababaabababba104当当z 0时时, f(z)=0, 于是于是Z=X+Y的概率密度为的概率密度为. 0, 0, 0,ee)(zzzfzzbaabab105补充例题补充例题:一个仪器由两个主要部件组成一个仪器由两个主要部件组成, 其总长度为此二其总长度为此二部件长度的和部件长度的和.这两个部件的长度这两个部件的长度X和和Y为两个相为两个相互独立的随机变量互独立
36、的随机变量, 其分布律如下表其分布律如下表, 求此仪器求此仪器的分布律的分布律X91011P0.30.50.2Y67P0.40.6106解：设仪器总长度为解：设仪器总长度为Z=X+Y, 其可能取值如下表：其可能取值如下表： 9,6960.3 0.40.129,71060.3 0.6 0.5 0.40.3810,71160.5 0.6 0.2 0.40.3811,71170.2 0.60.12ZP XYP XP YP XYP XP YP XYP XP YP XYP XP Y所以 的可能取值为:15,16,17,18.如上表得:P X=15P X=16P X=17P X=18X9910101111Y676767Z=X+Y151616171718107则则Z=X+Y的分布律为的分布律为:z15161718P0.120.380.380.12108作业作业 第三章习题第三章习题 第第84页开始页开始第第2(1)、6、8题题第第24、29题题