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1、10.710.7相互独立事件相互独立事件同时发生的概率同时发生的概率一一. .新课引人新课引人 甲坛子里有甲坛子里有3 3个白球，个白球，2 2个黑球，乙坛子里有个黑球，乙坛子里有2 2个白球，个白球，2 2个黑球，个黑球，从这两个坛子里分别摸出从这两个坛子里分别摸出1 1个球，它们都是白球的概率是多少个球，它们都是白球的概率是多少？问题：问题：乙乙甲甲53)(AP42)(BP把把“从甲坛子里摸出从甲坛子里摸出1 1个个球，得到白球球，得到白球”叫做事件叫做事件A A 把把“从乙坛子里摸出从乙坛子里摸出 1 1个个球，得到白球球，得到白球”叫做事件叫做事件B B 没有影响没有影响二二. .新课
2、新课1. 1.独立事件的定义独立事件的定义 事件事件A(A(或或B)B)是否发生对事件是否发生对事件B(B(或或A)A)发生的概率发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事相互独立事件件？：是否也相互独立与与，与与相互独立，那么如果事件 想一想想一想 2. 2.独立事件同时发生的概率独立事件同时发生的概率“从两个坛子里分别摸出从两个坛子里分别摸出1 1个球，都是个球，都是白球白球”是一个事件，它的发生，就是事是一个事件，它的发生，就是事件件A A，B B同时发生，我们将它记作同时发生，我们将它记作A AB B想一想，上面两个相互独立事件想一想，上面两个相互独立
3、事件A A，B B同时发生的概率同时发生的概率P(AP(AB)B)是多少？是多少？从甲坛子里摸出从甲坛子里摸出1 1个球，有个球，有 种等可能的结果；从乙坛子种等可能的结果；从乙坛子里摸出里摸出1 1个球，有个球，有 种等可能的结果于是从两个坛子种等可能的结果于是从两个坛子里各摸出里各摸出1 1个球，共有个球，共有 种等可能的结果种等可能的结果. .5 54 45 5 4 4 (白，白白，白)(白，白白，白)(白，白，黑黑)(白，白，黑黑)(白，白白，白)(白，白白，白)(白，白，黑黑)(白，白，黑黑)(白，白白，白)(白，白白，白)(白，白，黑黑)(白，白，黑黑)(黑，黑，白白)(黑，黑，白
4、白)(黑，黑黑，黑)(黑，黑黑，黑)(黑，黑，白白)(黑，黑，白白)(黑，黑黑，黑)(黑，黑黑，黑)甲甲乙乙同时摸出白球的同时摸出白球的结果有结果有3 32 2种种 4523B)P(A.42P(B)，53P(A)又)()()(BPAPBAP 这就是说，两个相互独立事件同时发这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的生的概率，等于每个事件发生的概率的积积 一般地，如果事件一般地，如果事件A A1 1，A A2 2，A An n相互独立，那么这相互独立，那么这n n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积， 即即 P
5、(AP(A1 1A A2 2A An n)=P(A)=P(A1 1) )P(AP(A2 2) )P(AP(An n) ) 想一想？想一想？ 如果如果A A、B B是两个相互独立的事是两个相互独立的事件，那么件，那么1-P1-P（A A）P P（B B）表示什么？）表示什么？表示相互独立事件表示相互独立事件A A、B B中中至少有一个不发生的概率至少有一个不发生的概率即即)()()(1BAPBPAP三三. .例题分析：例题分析：例例1 1 甲、乙甲、乙2 2人各进行人各进行1 1次射击，如果次射击，如果2 2人击中目标的概率都是人击中目标的概率都是0.60.6，计算：计算：(1) 2(1) 2人
6、都击中目标的概率；人都击中目标的概率；(2)(2)其中恰有其中恰有1 1人击中目标的概率；人击中目标的概率；(3)(3)至少有至少有1 1人击中目标的概率人击中目标的概率 解：解：(1)(1)记记“甲射击甲射击1 1次，击中目标次，击中目标”为事件为事件A A，“乙射乙射击击1 1次，击中目标次，击中目标”为事件为事件B B由于甲由于甲( (或乙或乙) )是否击中，对是否击中，对乙乙( (或甲或甲) )击中的概率是没有影响的，因此击中的概率是没有影响的，因此A A与与B B是相互独立是相互独立事件事件 又又“两人各射击两人各射击1 1次，都击中目标次，都击中目标”就是事件就是事件A AB B发
7、生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到：到：P(AP(AB)=P(A)B)=P(A)P(B)=0.6P(B)=0.60.6=0.360.6=0.36 答：答：B发生）B发生）A A未击中、乙击中（事件未击中、乙击中（事件发生），另一种是甲发生），另一种是甲B B中（事件A中（事件A一种是甲击中、乙未击一种是甲击中、乙未击”包括两种情况：”包括两种情况：次，恰有1人击中目标次，恰有1人击中目标（2）“两人各射击1（2）“两人各射击1B B互互斥斥. .A A与与B B同同时时发发生生，即即事事件件A A各各射射击击一一次次时时不不可可能能由由题题意意，这
8、这两两种种情情况况在在 B）B）A AB B故所求概率为P（A故所求概率为P（A0.48.0.48.0.240.240.240.240.60.60.6)0.6)(1 (10.6)0.6)(1 (10.60.6P（B）P（B）A AP（P（）B BP（P（P（A）P（A）B）B）A AP（P（）B BP（AP（A答：答：例例1 1 甲、乙甲、乙2 2人各进行人各进行1 1次射击，如果次射击，如果2 2人击中目标的概率都是人击中目标的概率都是0.60.6，计算：计算：(2)(2)其中恰有其中恰有1 1人击中目标的概率；人击中目标的概率；例例1 1 甲、乙甲、乙2 2人各进行人各进行1 1次射击，如
9、果次射击，如果2 2人击中目标的概率都是人击中目标的概率都是0.60.6，计算：，计算：(3)(3)至少有至少有1 1人击中目标的概率人击中目标的概率0.840.840.480.480.360.36B）B）A AB BP（AP（AB）B）P（AP（A解法1：P解法1：P解法解法2: 2:两人都未击中目标的概率是两人都未击中目标的概率是0.16,0.16,0.40.40.40.40.6)0.6)(1 (10.6)0.6)（1（1）B BP（P（）A AP（P（）B BA AP（P（因此因此, ,至少有至少有1 1人击中目标的概率人击中目标的概率0.84.0.84.0.160.161 1) )B
10、BA AP(P(1 1P P答：答：例例2 2：制造一种零件，甲机床的正品率是：制造一种零件，甲机床的正品率是0 09 9，乙机床的正品率是乙机床的正品率是0 09595，从它们制造的产品中，从它们制造的产品中各任抽一件，（各任抽一件，（1 1）两件都是正品的概率是多少）两件都是正品的概率是多少？（？（2 2）恰有一件是正品的概率是多少？）恰有一件是正品的概率是多少？解：设解：设A=A=从甲机床制造的产品中任意抽出一件从甲机床制造的产品中任意抽出一件是正品；是正品；B=B=从乙机床制造的产品中任意抽出一件从乙机床制造的产品中任意抽出一件是正品，则是正品，则A A与与B B是独立事件是独立事件P
11、 P（A AB B）=P=P（A A）P P（B B）=0=09 90 095=095=0855855P P（A A B B）+P+P（A A B)=P(A) B)=P(A) P(B)+P(A) P(B)+P(A) P(B)P(B) =0 =09 9(1- 0(1- 095)+(1 - 095)+(1 - 09) 9) 0 095 =095 =01414另解：另解：1 - P1 - P（A AB B） -P-P（A AB B）=1 - 0=1 - 0855 - 855 - （1 - 01 - 09595）（1 - 01 - 09 9）=0=01414答：两件都是正品的概率是答：两件都是正品的概
12、率是0 0855855恰有一件是正品概率恰有一件是正品概率是是0 01414三三. .例题分析：例题分析： 例例3 3 在一段线路中并联着在一段线路中并联着3 3个自动控制的常开开关，只要其中有个自动控制的常开开关，只要其中有1 1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是能够闭合的概率都是0.70.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率，计算在这段时间内线路正常工作的概率 分析：根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指分析：根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指3 3个开关中个开关中至少有至少有1 1个
13、能够闭合，这可以包括恰有其中某个能够闭合，这可以包括恰有其中某1 1个开关闭合、恰有其个开关闭合、恰有其中某中某2 2个开关闭合、恰好个开关闭合、恰好3 3个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求其概率较为麻烦，为此，我们转而先求其概率较为麻烦，为此，我们转而先求3 3个开关都不能闭合的概率，个开关都不能闭合的概率，从而求得其对立事件从而求得其对立事件3 3个开关中至少有个开关中至少有1 1个能够闭合的概率个能够闭合的概率解：分别记这段时间内开关解：分别记这段时间内开关J JA A，J JB B，J JC C能够能够闭合为事件闭合为事件A A，B B，C(C(如
14、图如图) )由题意，这段由题意，这段时间内时间内3 3个开关是否能够闭合相互之间没有个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内这段时间内3 3个开关都不能闭合的概率是个开关都不能闭合的概率是0.0270.0270.7)0.7)0.7)(10.7)(10.7)(10.7)(1(1 (1P(C)P(C)1 1P(B)P(B)1 1P(A)P(A)1 1) )C CP(P() )B BP(P() )A AP(P() )C CB BA AP(P( 于是这段时间内至少有于是这段时间内至少有1 1个开关能够个开关能够闭合，从而使线路能正
15、常工作的概率是闭合，从而使线路能正常工作的概率是 0.973.0.973.0.0270.0271 1) )C CB BA AP(P(1 1答：答：注注 上面例上面例1 1第第(3)(3)小题的解法小题的解法2 2和例和例2 2的解法，都是解应用题的的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法有时可使问题的解答变得简逆向思考方法采用这种方法有时可使问题的解答变得简便便 还有什么做法？还有什么做法？C)BP(AC)BAP(C)BP(A)CBP(AC)BAP()CBAP()CBP(AC C) )B BP P( (A A显然太烦显然太烦例例4 4：有甲、乙两批种子，发芽率分别是：有甲、乙两批种子，发
16、芽率分别是0 08 8和和 0 07 7，在两批种子中各取一粒，在两批种子中各取一粒，A=A=由甲批中由甲批中 取出一个能发芽的种子，取出一个能发芽的种子，B=B=由乙批中抽出一由乙批中抽出一 个能发芽的种子，问个能发芽的种子，问A A、B B两事件是否互斥两事件是否互斥 ？是否互相独立？是否互相独立？两粒种子都能发芽的概两粒种子都能发芽的概 率？率？至少有一粒种子发芽的概率？至少有一粒种子发芽的概率？恰好恰好 有一粒种子发芽的概率？有一粒种子发芽的概率？解：解：A A、B B两事件不互斥，是互相独立事件两事件不互斥，是互相独立事件A AB=B=两粒种子都能发芽两粒种子都能发芽 P P（A A
17、B B）=P=P（A A）P P（B B） =0=08 80 07=07=056561 P1 P（A A B B）=1- P=1- P（A A）P P（B B）=1-=1-（1-01-08 8）（）（1-01-07 7） =0=09494P P（A A B B）+P+P（A AB B）=P=P（A A）P P（B B）+P+P（A A）P P（B B）=0=08 8（1-01-07 7）+ +（1-01-06 6）0 07=07=03838四四. .思考题思考题: :1. 1.一工人看管三台机床，在一小时内甲，乙，丙三台机床需工人照一工人看管三台机床，在一小时内甲，乙，丙三台机床需工人照看的概
18、率分别是看的概率分别是0.90.9，0.80.8和和0.850.85，求在一小时中，求在一小时中，没有一台机床需要照看的概率；没有一台机床需要照看的概率；至少有一台机床不需要照看的概率；至少有一台机床不需要照看的概率；至多只有一台机床需要照看的概率至多只有一台机床需要照看的概率2. 2.从从5 5双不同的鞋中任取双不同的鞋中任取4 4只，求这只，求这4 4只只鞋中至少有两只能配成一双的概率鞋中至少有两只能配成一双的概率 3. 3.将六个相同的元件接入电路，每个将六个相同的元件接入电路，每个元件能正常工作的概率为元件能正常工作的概率为0.80.8如图，三种接法哪种使电路不发生故如图，三种接法哪种
19、使电路不发生故障障( (有通路就算正常有通路就算正常) )的概率最大？的概率最大？4. 4.甲乙两人比赛射击，甲每次击中概率为甲乙两人比赛射击，甲每次击中概率为0.60.6，乙每次击中概率，乙每次击中概率为为0.80.8如果甲，乙都击中算平如果甲乙都不中则射击继续进如果甲，乙都击中算平如果甲乙都不中则射击继续进行；若甲中乙不中或乙中甲不中，比赛就停止求甲得胜的概行；若甲中乙不中或乙中甲不中，比赛就停止求甲得胜的概率率互斥事件互斥事件相互独立事件相互独立事件 概念概念 符号符号 计算公式计算公式不可能同时发生不可能同时发生的两个事件叫做的两个事件叫做互斥事件互斥事件.如果事件如果事件A A（或（或B B）是）是否发生对事件否发生对事件B B（或（或A A）发生的概率没有影响，发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做这样的两个事件叫做相互独立事件相互独立事件 . .P(A+B)=P(A)+P(B)P（AB）= P（A）P（B） 互斥事件互斥事件A A、B B中中有一个发生，记有一个发生，记作作 A +BA +B相互独立事件相互独立事件A A、B B同同时发生记作时发生记作 A A B B