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1、请同学们画一个四边形，请同学们画一个四边形，要求它既是要求它既是矩形矩形又是又是菱形菱形。 正方形正方形 数学数学八年级八年级 ( (上册上册) )19.2.219.2.2北京市大望路中学北京市大望路中学 丁博丁博定义：有一组邻边相等定义：有一组邻边相等并且并且有一个角是直角的有一个角是直角的平行四边形平行四边形 叫做正方形。叫做正方形。一个角是直角一个角是直角一个角是直角一个角是直角一个角是直角，一组邻边相等一个角是直角，一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补
2、平行四边形的邻角互补平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分性质：性质：特有性质：特有性质：矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等矩形的对角线相等特有性质：特有性质：菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等菱形的两条对角线互菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条相垂直，并且每一条对角线平分一组对角对角线平分一组对角性质：性质：正方形两组对边平行，正方形两组对边平行，四条边都相等四条边都相等正方形的四个角都是直角正方形的四个角都是直角正方形的对角线相等，互正方形的对角线相等，互相平分且垂直，并且每一相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角条对角线平分一组对角探究小结探究
3、小结矩 形正方形邻边邻边相等相等发现：发现： 一组邻边相等的矩形一组邻边相等的矩形 是正方形是正方形 菱菱 形形一个角一个角是直角是直角正方形发现：发现： 一个角为直角的菱形一个角为直角的菱形是正方形是正方形正方形定义正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形A AB BC CD DO O正方形中正方形中：（：（按组说）按组说）1 1、相等的边有哪些？、相等的边有哪些？2 2、相等的角有哪些？、相等的角有哪些？3 3、等腰三角形有哪些？、等腰三角形有哪些？4 4、直角三角形有哪些？、直角三角形有哪些？5 5、全等三角形有哪
4、些？、全等三角形有哪些？平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正正方方形形平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图 求证求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形的等腰直角三角形.这是一道文字证明题这是一道文字证明题,该怎么做该怎么做?你会做吗你会做吗?第一步第一步:根据题意画出图形根据题意画出图形第二步第二步:写出已知、求证写出已知、求证第三步第三步：进行证明进行证明ADCBO 已知已知:如图如图,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,对对 角线角线AC、BD相交于点相交于点O. 求证求证:ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全
5、等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形.证明证明: 四边形四边形ABCD是正方形是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都都是等腰直角三角形是等腰直角三角形,并且并且 ABO BCO CDO DAO分析分析:利用正方形的性质利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相对角线互相垂直平分且相等等,每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角.平分平分可以产生可以产生线段等量线段等量关系关系,垂直垂直可以产生可以产生直角直角,于是可以得到四个全等的等于是可以得到四个全等的等腰直角三角形腰直角三角形.ADCBO 正方形对角线把正方形分成多少个等腰
6、直角三角形？正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论拓展讨论:结论：结论： 分成八个等腰直角三角形，分别是分成八个等腰直角三角形，分别是ABC、 ADC、 ABD、 BCD ；AOB、 BOC、 COD、 DOA.例题解析 1.已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?定义：有一组邻边相等定义：有一组邻边相等并且并且有一个角是直角的有一个角是直角的平行四边形平行四边形 叫做正方形。叫做正方形。例例2如图如图(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O， 分析：分析：要证明要证明BM
7、CN，大家观察，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。 你能完成证明吗你能完成证明吗?ABBC，1245 条件够吗？条件够吗？还需要的条件是还需要的条件是 AMBNABM BCN你所要证明的两个三角形已经满足你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：由正方形可以得到的条件有：例例2如图如图(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交相交于于O，MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。 证明：证明：四边形四边形AB
8、CD是正方形是正方形 OAOB ,12345 又又MNAB OMN13ONM45 OMON OAOMOBON 即即AMBN下面大家自己完成证明下面大家自己完成证明练习练习1已知：正方形已知：正方形ABCD对角线对角线AC、BD相相交于点交于点O，且，且ABacm，如图，如图(2)。求：求：AC的长及正方形的面积的长及正方形的面积S。 练习练习2已知：在正方形已知：在正方形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，且，且AC6 cm，如图，如图求：正方形的面积求：正方形的面积S。 2例例3已知：如图已知：如图(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线延长线 上一点，上
9、一点，CEAF于于E，交，交AD于于M， 求证：求证：MFD45分析：分析：欲证欲证MFD45，由于，由于MDF是直角三角形是直角三角形,只须证只须证MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要证即只要证 _=_要证要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等，大家只须证得哪两个三角形全等? 试一试试一试看能不能完成证明看能不能完成证明?CMD ADF例3已知：如图已知：如图(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线上一点，延长线上一点，CEAF于于E，交，交AD于于M，求证：求证：MFD45证明：证明：CEAF ADCAEM90 又又CMDAME 12又又CDAD，ADFMDCRtCDM
10、 RtADF(AAS) DM=DF 下面的证明请大家完成下面的证明请大家完成练习练习如图如图(5)，在，在AB上取一点上取一点C，以，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正为正方形的一边在同一侧作正方形方形AEDC和和BCFG连结连结AF、BD延长延长BD交交AF于于H。求证：求证：(1) ACF DCB (2) BHAF 证明：证明： 例例4如图如图(6)，ABC的外面作正方形的外面作正方形ABDE和和ACFG，连，连结结BG、CE，交点为，交点为N。求证：求证：CEAABG 分析：分析：欲证欲证CEAABG，大家想一想证明两个角相等的方法，大家想一想证明两个角相等的方法，你有办法了吗？通过
11、自己的努力，看能不能解决问题？你有办法了吗？通过自己的努力，看能不能解决问题？证明：证明：四边形四边形ABDE和四边形和四边形ACFG是正方形。是正方形。AEABAGAC1290又又EAC1BAC90BAC BAG2BAC90BACEACBAGAEC ABG(SAS) CEAABG 2.已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?求证：矩形的四个角的平分线所求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形围成的四边形是正方形例题赏析例题赏析在正方形在正方形ABCDABCD中中,AC,AC是对角线是对角线,AE,AE平分平分BAC,BAC,试猜想试猜想ABAB、ACAC、BEBE之间的关系，并之间的关系，并证明你的猜想证明你的猜想GFEDABC