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1、学习必备欢迎下载1已知数列 an的前 n 项和 Sn12n2kn(其中 kN+)，且 Sn的最大值为8. (1)确定常数k，并求 an；(2)求数列92an2n的前 n 项和 Tn. 解： (1)当 nk N时， Sn12n2kn 取最大值，即 8Sk12k2k212k2，故 k216，因此 k4，从而 anSnSn 192n(n2)又因为 a1S172，所以 an92 n. (2)因为 bn92an2nn2n1，Tn b1b2bn122322n12n2n2n1，2Tn2232422 n2n2. 所以 Tn2TnTn2112 12n2n2n1412n2n2n14n22n1. 2(2012 郑州
2、模拟 )已知等差数列an满足： a59，a2a614. (1)求an的通项公式；(2)若 bnanqan(q0)，求数列 bn的前 n 项和 Sn. 解：(1)设数列 an的首项为a1，公差为 d，则由 a59，a2 a614，得a1 4d9，2a16d14，解得a11，d 2，所以 an的通项 an2n1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载(2)由 an2n 1得 bn2n1q2n1. 当q0 且 q1 时， Sn 1 35 (2n 1) (q1 q3q5 q2n1) n2q 1q2n1 q2；当
3、 q1 时， bn2n，则 Snn(n 1)所以数列 bn的前 n 项和Snn n1 ，q1n2q 1q2n1q2，q0且q1.3(2012 武汉模拟 )已知前 n 项和为 Sn的等差数列 an的公差不为零，且a23，又 a4，a5，a8成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)是否存在正整数对(n，k)，使得nankSn？若存在，求出所有的正整数对(n， k)；若不存在，请说明理由解： (1)因为 a4，a5，a8成等比数列，所以a25 a4a8. 设数列 an的公差为d，则(a23d)2(a2 2d)(a2 6d)将 a23 代入上式化简整理得d22d0. 又因为 d0，所以 d 2.
4、 于是 ana2(n2)d 2n 7，即数列 an的通项公式为an 2n7. (2)假设存在正整数对(n，k)，使得 nankSn，则由 (1)知 Snn a1an26n n2. 于是 knanSnn 72n6nn22n7n625n6. 因为 k 为正整数， 所以 n 65，即 n11，且 5 能被 n 6整除， 故当且仅当n6 5，或 n61 时， k 为正整数即当 n1 时， k 1；n11时， k3；n7 时， k7. 故存在正整数对(1,1)，(11,3)， (7,7)，使得 nankSn成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
5、2 页，共 5 页学习必备欢迎下载4(2012 嘉兴模拟 )甲、乙两容器中分别盛有浓度为10% 、20% 的某种溶液500 mL ，同时从甲、 乙两个容器中各取出100 mL 溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和经n1(n 2，nN+)次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为an、bn.记 a110% ，b120%. (1)试用 an1，bn1表示 an，bn；(2)求证：数列 anbn是等比数列，数列anbn是常数数列；(3)求数列 an，bn的通项公式解： (1)由题意知，an400an1 100bn150045an115bn1，bn400bn1 100an150045bn115a
6、n1. (2)证明：由 (1)知， anbn35(an1bn 1)，又因为 a1b10，所以数列 anbn是等比数列；anbnan1bn1a1 b130% ，所以数列 an bn是常数数列(3)因为 a1b1 10%，数列 an bn是公比为35的等比数列， 所以 an bn 10%35n1. 又因为 anbn30% ，所以 an 5%35n115% ，bn5% 35n1 15%. 5已知正项等比数列an满足： log3a1 log3a3 4，log3a5log3a712. (1)求数列 an的通项公式；(2)记 Tn log3a1 log3a2 log3an，数列 bn满足： bn12Tn；
7、若存在nN*，使不等式 mf(3)f(4)， f(n)f(1)38. 故 m 的取值范围是 ，38. 6已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1 2,3Sn5anan13Sn1(n2)(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn(2n1)an，求数列 bn的前 n 项和 Tn；(3)若 cntnlg(2 t)nlg an2(0t1)，且数列 cn中的每一项总小于它后面的项，求实数t 的取值范围解： (1) 3Sn3Sn15anan1， 2anan1，即anan112. 数列an是公比为12的等比数列 a12， an 212n122n. (2) bn(2n1) 22n， Tn12320 (
8、2n 3)23n(2n1)22n，等式两边同乘以12，得12Tn1203 21 (2n3) 22n(2n1)21n，可得12Tn22 (20 2122n)(2n1)21n221 21 n11 21(2n1)21n. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载 Tn12 (2n3)22n. (3)由题知， cntn(nlg 2nlg tlg 2n)ntn lg t. cncn1， ntnlg ttn1(n1)lg t. 0t1， nlg tt(n1)lg t. lg tt(n1)，即 tnn 1. n N*，nn1111n12， 0t12. 即 t 的取值范围是0，12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页