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1、4.4解三角形探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.正弦定理与余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2019课标,17,12分正弦定理、余弦定理三角恒等变换2018课标,6,5分余弦定理二倍角公式2.解三角形及其综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2017课标,17,12分余弦定理及三角形面积公式二倍角公式和同角三角函数的平方关系2017课标,17,12分正弦定理、余弦定理和三角形面积公式两角和的余弦公式2018课标,9,5分余弦定理和三角形面积公式特殊角的函数值2016课标,17
2、,12分正弦、余弦定理和三角形面积公式两角和的正弦公式分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用这两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.本节内容是全国卷的必考内容,题型为一个小题或一个大题,难度中等、分值为5分或12分.破考点 练考向【考点集训】考点一正弦定理与余弦定理1.(2018广东百校联盟联考,6)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=5,且cos C=56,则a=()A.22B.3C.32D.4答案B2.(2020
3、届广东惠州第一次调研,14)在ABC中,B=4,AB=2,BC=3,则sin A=.答案310103.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则sin(A+B)sin2A=.答案1考点二解三角形及其综合应用1.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b+csinA+sinB+sinC=233,A=3,b=1,则ABC的面积为()A.32B.34C.12D.14答案B2.(2019山西实验中学4月月考,10)设锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
4、c=1,A=2C,则ABC周长的取值范围为()A.(0,2+2)B.(0,3+3)C.(2+2,3+3)D.(2+2,3+3答案C3.(2020届安徽合肥调研,16)在ABC中,A=2B,AB=73,BC=4,CD平分ACB交AB于点D,则线段AD的长为.答案1炼技法 提能力【方法集训】方法1利用正弦、余弦定理解三角形1.(2019广东七校第二次联考,11)已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sin2A+sin2B-sin2Cc=sinAsinBacosB+bcosA,若a+b=4,则c的取值范围为()A.(0,4)B.2,4)C.1,4)D.(2,4答案B2.(2019河北唐
5、山一模,7)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为h,则h=()A.152B.112C.3154D.3158答案D3.(2018湖南永州二模,15)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=3c,则角C的大小为.答案3方法2利用正弦、余弦定理判断三角形的形状1.(2018江西南城一中期中,6)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanA-tanBtanA+tanB=c-bc,则这个三角形必含有()A.90的内角B.60的内角C.45的内角D.30的内角答案B2.(2019山西太原五中
6、月考,8)在ABC中,已知2acos B=c,sin Asin B(2-cos C)=sin2C2+12,则ABC为()A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案D方法3与面积、范围有关的问题1.(2019河南郑州一模,5)在ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为1314,则这个三角形的面积为()A.1534B.154C.2134D.3534答案A2.(2018吉林长春一模,15)在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若12b-sinCcos A=sin Acos C,且a=23,则ABC面积的最大值为.答案33【五年高考】A组统一命题
7、课标卷题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2018课标,6,5分)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25答案A2.(2016课标,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.答案21133.(2019课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查
8、的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin C,即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=6+24.思路分析(1)先借助正弦定理
9、将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C.4.(2018课标,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余
10、弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.考点二解三角形及其综合应用1.(2018课标,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D.6答案C2.(2019课标,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.答案633.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案(6-2,6+2)4.(2019课标,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分
11、别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.解析本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因为sin A0,所以sinA+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,故sinB2=12,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=34a.
12、由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,从而38SABC0,由cos B求sin B仅有一正解.6.(2019北京,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.解析本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心素养.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
13、得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5.所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=32.由正弦定理得sin C=cbsin B=5314.在ABC中,B是钝角,所以C为锐角.所以cos C=1-sin2C=1114.所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=437.7.(2019江苏,15,14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=2,cos B=23,求c的值;(2)若sinAa=cosB2b,求sinB+2的值.解析本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角
14、函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为a=3c,b=2,cos B=23,由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac,得23=(3c)2+c2-(2)223cc,即c2=13.所以c=33.(2)因为sinAa=cosB2b,由正弦定理asinA=bsinB,得cosB2b=sinBb,所以cos B=2sin B.从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=45.因为sin B0,所以cos B=2sin B0,从而cos B=255.因此sinB+2=cos B=255.8.(2018天津,15,13分)在ABC中,内角A,
15、B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acosB-6,得asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,可得tan B=3.又因为B(0,),可得B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accos B=
16、7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin A=37.又ac,故cos A=27.因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=43712-1732=3314.解题关键(1)利用正弦定理合理转化bsin A=acosB-6是求解第(1)问的关键;(2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a0是求解第(2)问的关键.失分警示(1)忽略ac这一条件,从而导致cos A有两个值,最终结果出现增解;(2)不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果出错.考点二解
17、三角形及其综合应用1.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.答案92.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案152;1043.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.解析(1)在ABC中,因为cos B=-17,所以sin B=1-cos2B=437.由正弦定理得sin A=asinBb=32.由题
18、设知2B,所以0Ab,a=5,c=6,sin B=35.(1)求b和sin A的值;(2)求sin2A+4的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在ABC中,因为ab,故由sin B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=13.由正弦定理asinA=bsinB,得sin A=asinBb=31313.所以,b的值为13,sin A的值为31313.(2)由(1)及a0,则B0,2.又A(0,),故-2A-B.所以,B=-(A-B)
19、或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=a24得12absin C=a24,故有sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcos B,因sin B0,得sin C=cos B.又B0,2,C(0,),所以C=2B.当B+C=2时,A=2;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或A=4.评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.9.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理
20、得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sin B=bsinBACa=3310=1010,由题设知0B4,所以cos B=1-sin2B=1-110=31010.在ABD中,由正弦定理得AD=ABsinBsin(-2B)=6sinB2sinBcosB=3cosB=10.考点二解三角形及其综合应用1.(2014课标,16,5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.答案32.(2016课标,1
21、7,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.因为A+B+C=,故2cos Csin C=sin C.(4分)可得cos C=12,又C(0,),所以C=3.(6分)(2)由已知,得12absin C=332.又C=3,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从
22、而(a+b)2=25.a+b=5.(10分)所以ABC的周长为5+7.(12分)3.(2017北京,15,13分)在ABC中,A=60,c=37a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在ABC中,因为A=60,c=37a,所以由正弦定理得sin C=csinAa=3732=3314.(2)因为a=7,所以c=377=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b312,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=12bcsin A=128332=63.解后反思根据所给等式的结构特点,利
23、用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.4.(2016山东,16,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=tanAcosB+tanBcosA.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.解析(1)证明:由题意知2sinAcosA+sinBcosB=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B.因为A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin
24、C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+b2,所以cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+b222ab=38ab+ba-1412,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为12.5.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0B,所以B=4.(6分)(2)由(1)知A+C=34.2cos A+cos C=2cos A+cos34-A=2cos A-22cos A+22sin A=22co
25、s A+22sin A=cosA-4.(11分)因为0A34,所以当A=4时,2cos A+cos C取得最大值1.(13分)6.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解析(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD
26、2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.+2得AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.7.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asin B-3bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=3,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsin A=332.解法二:由正
27、弦定理,得7sin3=2sinB,从而sin B=217.又由ab,知AB,所以cos B=277.因为A+B+C=,故sin C=sin(A+B)=sinB+3=sin Bcos3+cos Bsin3=32114.所以ABC的面积为12absin C=332.8.(2015湖南,17,12分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范围.解析(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A,即sin B=sin2+A.又B为钝角,因
28、此2+A2,故B=2+A,即B-A=2.(2)由(1)知,C=-(A+B)=-2A+2=2-2A0,所以A0,4.于是sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98.因为0A4,所以0sin A22,因此22c,则bc=()A.32B.2C.3D.52答案B3.(2020届四川成都毕业班摸底考试,7)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、c.若向量m=(a,-cos A),n=(cos C,2b-c),且mn=0,则角A的大小为()A.6B.4C.3D.2答案B4.(2019山西3月质检,9)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,a(2sin B-3cos C)=3ccos A,点G是ABC的重心,且AG=133,则ABC的面积为()A.3B.32C.3或23D.334或3答案D5.(2019河南六市3月联考,10)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,则ABC的面积的最大值为()A.43B.23C.33D.3答案A6.(2020届湖北部分重点中学新起点考试,11)在ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且cosAa+co