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1、4.4解三角形探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点正弦定理与余弦定理理解正弦定理与余弦定理的推导过程;掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形的度量问题2019课标全国,15,5分正弦定理的应用同角三角函数基本关系2018课标全国,16,5分正弦定理与余弦定理的应用三角形的面积公式2017课标全国,11,5分正弦定理的应用诱导公式,两角和的正弦公式2019课标全国,11,5分正弦定理与余弦定理的应用解三角形及其应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2018课标全国,11,5分解三角形及三角形的面积2019课
2、标全国,18,12分解三角形及三角形的面积二倍角公式及诱导公式2016课标全国,15,5分解三角形同角三角函数基本关系分析解读从近几年的高考试题来看,本节内容一直是高考考查的重点和热点,命题呈现出如下特点:1.利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题时,要能在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再利用数形结合法求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式之间的联系,会用方程和函数思想解决三角形的最值问题,常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值为5分或12分.破考点 练考向【考点集训】考点一正弦定理与
3、余弦定理1.(2020届四川成都摸底考试,7)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量m=(a,-cos A),n=(cos C,2b-c),且mn=0,则角A的大小为()A.6 B.4 C.3 D.2答案B2.(2019河北衡水中学三调,7)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,若sin Bsin C=sin2A,则ABC的形状是()A.等腰非等边三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案C3.(2018河南中原名校第三次联考,7)ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b=3,则c=()A.1 B
4、.2 C.2 D.23答案C考点二解三角形及其应用答案C2.(2016课标全国,9,5分)在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则sin A=()A.310 B.1010C.55 D.31010答案D3.(2019广西南宁二中高三第一次月考,17)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,m=(cos B,2a-b),n=(cos C,c),且mn.(1)求角C的大小;(2)若c=1,当ABC的面积取得最大值时,求ABC内切圆的半径.答案(1)由mn得ccos B=(2a-b)cos C,由正弦定理得sin Ccos B=2sin Acos C-sin Bcos C,(2分)得
5、sin(B+C)=2sin Acos C,在ABC中,sin(B+C)=sin A,且sin A0,cos C=12,又C(0,),C=3.(4分)(2)由余弦定理知c2=1=a2+b2-2abcos3,即1=a2+b2-ab,a2+b2-ab=12ab-ab,ab1,当且仅当a=b时,等号成立,(7分)SABC=12absin C=34ab34.(10分)当SABC=34时,ABC为等边三角形,设ABC内切圆半径为r内,则SABC=12(a+b+c)r内,34=32r内,r内=36,即当ABC的面积取得最大值34时,ABC内切圆半径为36.(12分)炼技法 提能力【方法集训】方法1利用正、余
6、弦定理判断三角形形状的方法1.(2020届皖南八校第一次联考,6)在ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形答案B2.(2018千校联盟12月模拟,10)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cos A+cos B),则ABC为()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案D3.给出下列命题:若tan Atan B1,则ABC一定是钝角三角形;若sin2A+sin2B=sin2C,则ABC一定是直角三角形;若
7、cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则ABC一定是等边三角形.以上正确命题的序号为.答案方法2求解三角形实际问题的方法1.(2020届吉林第一中学第一次调研考试,7)某船从A处向东偏北30方向航行23千米到达B处,然后朝西偏南60的方向航行6千米到达C处,则A处与C处之间的距离为()A.3千米B.23千米C.3千米 D.6千米答案B2.(2019宁夏顶级名校联考,17)风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树,记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离,现可测得A,B两点间的距离为100 m,PAB=75,QAB=45,PBA=6
8、0,QBA=90,如图所示,求P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离各为多少.答案在PAB中,APB=180-(75+60)=45,由正弦定理得APsin60=100sin45AP=506.在QAB中,ABQ=90,AB=100,QAB=45,AQ=1002,又知PAQ=75-45=30,则由余弦定理得PQ2=(506)2+(1002)2-25061002cos 30=5 000,PQ=502.因此,P,Q两棵树之间的距离为502 m,A,P两棵树之间的距离为506 m.3.(2018河南商丘九校12月联考,20)如图所示,某公路AB一侧有一块空地OAB,其中OA=3 km,OB=33 km,A
9、OB=90,当地政府拟在中间开挖一个人工湖OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且MON=30.(1)若M在距离A点2 km处,求点M,N之间的距离;(2)为节省投入资金,人工湖OMN的面积要尽可能小,试确定M的位置,使OMN的面积最小,并求出最小面积.答案(1)在OAB中,因为OA=3,OB=33,AOB=90,所以A=60.在OAM中,由已知及余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AOAMcos A=7,所以OM=7,所以cosAOM=OA2+OM2-AM22OAOM=277.在OAN中,sinONA=sin(A+AON)=sin(AOM+90)=cosAO
10、M=277.在OMN中,由MNsin30=OMsinONA得MN=727712=74.故点M,N之间的距离为74 km.(2)设AOM=,03.在OAM中,由OMsinOAB=OAsinOMA得OM=332sin+3.在OAN中,由ONsinOAB=OAsinONA得ON=332sin+2=332cos.所以SOMN=12OMONsinMON=12332sin+3332cos12=2716sin+3cos=278sincos+83cos2=274sin2+43cos2+43=278sin2+3+43,因为03,所以2+33,所以当2+3=2,即=12时,SOMN取最小值,为27(2-3)4.所
11、以设计AOM=12时,OMN的面积最小,最小面积是27(2-3)4 km2.【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2019课标全国,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc=()A.6 B.5 C.4 D.3答案A2.(2018课标全国,7,5分)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42 B.30 C.29 D.25答案A3.(2017课标全国,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos
12、 C)=0,a=2,c=2,则C=()A.12 B.6C.4 D.3答案B4.(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,则b=()A.2 B.3C.2 D.3答案D5.(2019课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=.答案346.(2018课标全国,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.答案233考点二解三角形及其应用1.(2016课标
13、全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.答案21132.(2019课标全国,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.答案本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因为sin A0,所以sinA+C2=sin
14、 B.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,故sinB2=12,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=34a.由已知及(1)利用正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,从而38SABC0,所以cos B=2sin B0,从而cos B=255.因此sinB+2=cos B=255.4.(2018天津,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,
15、c.已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.答案(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acosB-6,得asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,可得tan B=3.又因为B(0,),可得B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin A=37.因为ac,故cos A=27.因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2
16、cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=43712-1732=3314.5.(2017山东,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,ABAC=-6,SABC=3,求A和a.答案因为ABAC=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A,所以A=34.又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2322-22=29,所以a=29.C组教师专用题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2015广东,5,5分)设ABC的内
17、角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cos A=32且bc,则b=()A.3 B.22 C.2 D.3答案C2.(2013课标,10,5分)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10 B.9 C.8 D.5答案D3.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60,则sin B=,c=.答案217;34.(2015重庆,13,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-14,3sin A=2sin B,则c
18、=.答案45.(2015福建,14,4分)若ABC中,AC=3,A=45,C=75,则BC=.答案26.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积. (1)因为mn,所以asin B-3bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=3,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsin A=332.解法二:由正弦定理,得7sin 3=2sinB,从而sin B=217,又由ab,知
19、AB,所以cos B=277.故sin C=sin(A+B)=sinB+3=sin Bcos 3+cos Bsin 3=32114.所以ABC的面积为12absin C=332.7.(2015天津,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为315,b-c=2,cos A=-14.(1)求a和sin C的值;(2)求cos2A+6的值.答案(1)在ABC中,由cos A=-14,可得sin A=154.由SABC=12bcsin A=315,得bc=24,又由b-c=2,解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8.由asinA=
20、csinC,得sin C=158.(2)cos2A+6=cos 2Acos6-sin 2Asin6=32(2cos2A-1)-122sin Acos A=15-7316.8.(2012课标全国,17,12分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,c=3asin C-ccos A.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面积为3,求b,c.答案(1)由c=3asin C-ccos A及正弦定理得3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.由于sin C0,所以sinA-6=12.又0A,故A=3.(2)ABC的面积S=12bcsin A=3,故bc=4.而a2=b2+
21、c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.9.(2011全国,18,12分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,asin A+csin C-2asin C=bsin B.(1)求B;(2)若A=75,b=2,求a,c.答案(1)由正弦定理得a2+c2-2ac=b2.又b2=a2+c2-2accos B.故cos B=22,又0B180,因此B=45.(2)sin A=sin(30+45)=sin 30cos 45+cos 30sin 45=2+64.故a=bsinAsinB=2+62=1+3,c=bsinCsinB=2sin60sin45=6.10.(2010全国,1
22、8,12分)已知ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acot A+bcot B,求内角C.答案由a+b=acot A+bcot B及正弦定理得sin A+sin B=cos A+cos B,sin A-cos A=cos B-sin B,从而sin Acos 4-cos Asin 4=cos Bsin 4-sin Bcos 4,sinA-4=sin4-B.又0A+B,故A-4=4-B,A+B=2,所以C=2.考点二解三角形及其应用1.(2013课标,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=6,C=4,则ABC的面积为()A.23+2 B.3+1 C.23
23、-2 D.3-1答案B2.(2015湖北,15,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.答案10063.(2014课标,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.答案1504.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2aco
24、s B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.答案(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由cos B=23得sin B=53,cos 2B=2cos2B-1=-19,故cos A=-19,sin A=459,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin
25、 B=2227.5.(2016天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=3bsin A.(1)求B;(2)若cos A=13,求sin C的值.答案(1)在ABC中,由asinA=bsinB,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=3bsin A,得2asin Bcos B=3bsin A=3asin B,所以cos B=32,得B=6.(2)由cos A=13,可得sin A=223,则sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinA+6=32sin A+12cos A=26+16.6.(2015山东,17,12分)AB
26、C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=33,sin(A+B)=69,ac=23,求sin A和c的值.答案在ABC中,由cos B=33,得sin B=63,因为A+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=69.因为sin Csin B,所以C3,ab=sinAsin2C,则关于ABC的两个结论:一定是锐角三角形;一定是等腰三角形,下列判断正确的是()A.错误,正确 B.正确,错误 C.都正确 D.都错误答案C3.(2019湖南怀化一模,7)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若2S=(a+b)2-c2,则tan C的值是()A.43 B
27、.34 C.-43 D.-34答案C4.(2020届广东佛山实验中学第一次联考,9)如图,在ABC中,D为BC上一点,AB=15,BD=10,ADC=120,则cosBAD=()A.33 B.223 C.-63或63 D.63答案D5.(2019江西临川、南康九校联考,10)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos C+ccos A=2bcos B,且cos 2B+2sin Asin C=1,则a-2b+c=()A.22 B.2 C.2 D.0答案D6.(2018山西晋城一模,9)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csinB+3=32a,CACB=20,c
28、=7,则ABC的内切圆的半径为()A.2 B.1 C.3 D.3答案D7.(2020届河北枣强中学9月月考,12)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,c=3,且2sin(B+C)cos C=1-2cos Asin C,则ABC的面积是()A.34 B.12 C.34或32 D.14或12答案C二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2020届山西康杰中学等四校9月联考,16)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为ABC的面积,sin(A+C)=2Sb2-c2,且A,B,C成等差数列,则C的大小为.答案69.(2018豫北、豫南精英对抗赛,16)已知锐角A
29、BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其外接圆半径为233,b=2,则ABC的周长的取值范围是.答案(2+23,6三、解答题(共35分)答案(1)(2c-a)cos B-bcos A=0,由正弦定理得(2sin C-sin A)cos B-sin Bcos A=0,2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A,即2sin Ccos B=sin(A+B)=sin C.C0,2,sin C0,cos B=12,B0,2,B=3.(2)S=12acsinABC=12BDb,将c=2,BD=3217,sinABC=32代入,得b=73a.由余弦定理得,b2=a2+c2-2a
30、ccosABC=a2+4-2a.将b=73a代入上式,整理得a2-9a+18=0,解得a=3或6.当a=3时,b=7;当a=6时,b=27.又ABC是锐角三角形,a2c2+b2,故a=3,b=7.S=122332=332.11.(2019福建福州质检,17)在RtABC中,ACB=90,点D,E分别在边AB,BC上,CD=5,CE=3,且EDC的面积为36.(1)求边DE的长;(2)若AD=3,求sin A的值.答案(1)如图,在ECD中,SECD=12CECDsinDCE=1235sinDCE=36,(1分)所以sinDCE=265,(2分)因为0DCE90,所以cosDCE=1-2652=
31、15.(4分)所以DE2=CE2+CD2-2CDCEcosDCE=9+25-25315=28,所以DE=27.(7分)(2)因为ACB=90,所以sinACD=sin(90-DCE)=cosDCE=15,(9分)在ADC中,由正弦定理得ADsinACD=CDsinA,即315=5sinA,(11分)所以sin A=13.(12分)12.(2020届河南中原名校9月联考,20)如图,某市欲建一个圆形的公园,规划设立A,B,C,D四个出入口(在圆周上),并以直路顺次连通,其中A,B,C的位置已确定,且AB=2,BC=6(单位:百米),记ABC=,且已知圆的内接四边形对角互补.请你为规划部门解决下列问题:(1)如果DC=DA=4,求四边形ABCD的区域面积;(2)如果圆形公园的面积为283万平方米,求cos 的值.答案(1)