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1、5.4解三角形及其综合应用基础篇固本夯基【基础集训】考点一正弦定理和余弦定理1.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=5,且cos C=56,则a=()A.22B.3C.32D.4答案B2.若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab等于()A.32B.43C.2D.3答案D3.在ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-3bc=a2,bc=3a2,则角C的大小是()A.6或23B.3C.23D.6答案A4.若ABC的面积为34(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;ca
2、的取值范围是.答案3;(2,+)5.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断ABC的形状.解析(1)由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.又a2=b2+c2-2bccos A,所以bc=-2bccos A,即cos A=-12.由于A为三角形的内角,所以A=23.(2)已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,结合正弦定理,得2sin2A=(2sin B+sin C)sin B+(2
3、sin C+sin B)sin C,即sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin223=34.又由sin B+sin C=1,得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1,解得sin B=sin C=12,因为0B,0C,0B+C,所以B=C=6,所以ABC是等腰三角形.考点二解三角形及其综合应用6.在ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为1314,则这个三角形的面积为()A.1534B.154C.2134D.3534 答案A7.如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小张以D为观测点,测得A,B分别在D处的北偏西30、北偏东30方向,再往正
4、东方向行驶40海里到C处,测得B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60方向,则A,B两处岛屿间的距离为()A.203 海里B.403 海里C.20(1+3)海里D.40海里答案B8.设锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2C,则ABC周长的取值范围为()A.(0,2+2)B.(0,3+3)C.(2+2,3+3)D.(2+2,3+3答案C9.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.答案1006综合篇知能转换【综合集训】考
5、法一利用正、余弦定理解三角形1.(2019湖南四校调研联考,10)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinAsinB+sinC+ba+c=1,则C=()A.6B.3C.23D.56答案B2.(2020届福建建瓯芝华中学高三暑假学习效果检测,7)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D.6答案C3.(2019上海金山二模,7)已知ABC中,tan A=14,tan B=35,AB=17.求:(1)角C的大小;(2)ABC中最短边的边长.解析(1)tan C=tan-(A+B)=-tan(A+B)=-tanA+t
6、anB1-tanAtanB=-14+351-1435=-1,所以C=34.(2)因为tan Atan B,所以最小角为A.又因为tan A=14,所以sin A=1717.又BCsinA=ABsinC,所以BC=ABsinAsinC=17171722=2.故ABC中最短边的边长为2.考法二三角形形状的判断4.(2020届山东济宁二中10月月考,8)在ABC中,若sin A=2sin Bcos C,a2=b2+c2-bc,则ABC的形状是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案A5.(2018湖南师大附中12月月考,6)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c
7、,若bcosCccosB=1+cos2C1+cos2B,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D6.(2018江西南城一中期中,6)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanA-tanBtanA+tanB=c-bc,则这个三角形必含有()A.90的内角B.60的内角C.45的内角D.30的内角答案B考法三与三角形的面积、范围有关的问题7.(2020届内蒙古杭锦后旗奋斗中学第一次月考,18)在ABC中,A=60,c=37a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解析(1)在ABC中,因为A=60,c=37a,
8、所以由正弦定理得sin C=csinAa=3732=3314.(2)因为a=7,所以c=377=3.由余弦定理a2=b2+c2-2cbcos A得72=b2+32-2b312,得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=12bcsin A=128332=63.8.(2019江西临川一中12月月考,17)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2csin B=3atan A.(1)求b2+c2a2的值;(2)若a=2,求ABC的面积的最大值.解析(1)2csin B=3atan A2csin Bcos A=3asin A2bccos A=3a2,即2bcb2+c2-a22bc=3a2
9、,b2+c2=4a2,则b2+c2a2=4.(2)a=2,b2+c2=16,cos A=b2+c2-a22bc=6bc.又b2+c22bc,即8bc,当且仅当b=c时,取等号,cos A68=34.由cos A=6bc得bc=6cosA,则A0,2,SABC=12bcsin A=3tan A.1+tan2A=1+sin2Acos2A=cos2A+sin2Acos2A=1cos2A,tan A=1cos2A-1169-1=73,SABC=3tan A7,故ABC的面积的最大值为7.考法四解三角形的实际应用9.(2018福建莆田月考,8)A在塔底D的正西面,在A处测得塔顶C的仰角为45,B在塔底D
10、的南偏东60处,在塔顶C处测得B的俯角为30,A、B间距84米,则塔高为()A.24米B.125 米C.127 米D.36米答案C10.(2018河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).BCD=CDE=23,BAE=3,DE=3BC=3CD=910 km.(1)求道路BE的长度;(2)求生活区ABE的面积的最大值.解析(1)如图,连接BD,在BCD中,BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD=27100,BD=3310(km).BC
11、=CD,BCD=23,CBD=CDB=-232=6.又CDE=23,BDE=2.在RtBDE中,BE=BD2+DE2=33102+9102=335km.故道路BE的长度为335 km.(2)设ABE=,BAE=3,AEB=23-.在ABE中,ABsinAEB=AEsinABE=BEsinBAE=335sin 3=65,AB=65sin23-km,AE=65sin km.SABE=12ABAEsin 3=9325sin23-sin =932512sin2-6+14km2.023,-62-676,当2-6=2,即=3时,SABE取得最大值,最大值为932512+14=273100,故生活区ABE面
12、积的最大值为273100 km2.【五年高考】考点一正弦定理和余弦定理1.(2018课标,6,5分)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25答案A2.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A3.(2016课标,8,5分)在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cos A=()A.31010B.1010C.-1010D.-31010答案C4.(2017山东,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2
13、cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A5.(2016课标,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.答案21136.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60,则sin B=,c=.答案217;37.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.答案1225;72108.(201
14、9课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin
15、C,即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=6+24.思路分析(1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C.9.(2018课标,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=
16、22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB0,所以cos B=2sin B0,从而cos B=255.因此sinB+2=cos B=255.考点二解三角形及其综合应用13.(2019课标,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.答案6314.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案(6-2,6+2)15.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=A
17、C=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案152;10416.(2017课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得12acsin B=a23sinA,即12csin B=a3sinA.由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA.故sin Bsin C=23.(2)由题设及
18、(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=23,故A=3.由题设得12bcsin A=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得12acsin B=a23sinA,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最
19、后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出ABC的周长.17.(2016课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=12,所以C=3.(6分)(2)由已知,得12absin C=332.又C=3,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-
20、2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.a+b=5.(10分)所以ABC的周长为5+7.(12分)18.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.解析(1)在ABC中,因为cos B=-17,所以sin B=1-cos2B=437.由正弦定理得sin A=asinBb=32.由题设知2B,所以0A2.所以A=3.(2)在ABC中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=3314,所以AC边上的高为asin C=73314=332.方法总结处理解三角形相关的综合题
21、目时,首先,要掌握正弦定理、余弦定理,其次,结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.19.(2018天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC中,由asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acosB
22、-6,得asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,可得tan B=3.又因为B(0,),可得B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin A=37.因为ac,故cos A=27.因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=43712-1732=3314.解题关键(1)利用正弦定理合理转化bsin A=acosB-6是求解第(1)问的关键;(2)由余弦定
23、理及已知条件求得sin A,利用a0是求解第(2)问的关键.教师专用题组考点一正弦定理和余弦定理1.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为315,b-c=2,cos A=-14,则a的值为.答案82.(2015广东,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=6,则b=.答案13.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.答案64.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.答案15.(201
24、6北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0B,所以B=4.(2)由(1)知A+C=34,C=34-A.2cos A+cos C=2cos A+cos34-A=2cos A-22cos A+22sin A=22cos A+22sin A=cosA-4.因为0A34,所以当A=4时,2cos A+cos C取得最大值1.6.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD
25、的长.解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sin B=bsinBACa=3310=1010,由题设知0B4,所以cos B=1-sin2B=1-110=31010.在ABD中,由正弦定理得AD=ABsinBsin(-2B)=6sinB2sinBcosB=3cosB=10.7.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22
26、,求BD和AC的长.解析(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.8.(2011课标,17,12分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+3asin C-b-
27、c=0.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面积为3,求b,c.解析(1)由acos C+3asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+3sin Asin C-sin B-sin C=0.因为B=-A-C,所以3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.由于sin C0,所以sinA-6=12.又0Ab,a=5,c=6,sin B=35.(1)求b和sin A的值;(2)求sin2A+4的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在ABC中,因为ab,故由sin
28、 B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=13.由正弦定理asinA=bsinB,得sin A=asinBb=31313.所以,b的值为13,sin A的值为31313.(2)由(1)及a0,则B0,2.又A(0,),故-2A-B.所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=a24得12absin C=a24,故有sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcos B,因sin B0,得sin C=cos B.又B0,2,C(0,),所以C=2B.当B+C=2时,A=2;当C-B
29、=2时,A=4.综上,A=2或A=4.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.14.(2016山东,16,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=tanAcosB+tanBcosA.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.解析(1)由题意知2sinAcosA+sinBcosB=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B.因为A+B+C=,所以sin
30、(A+B)=sin(-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+b2,所以cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+b222ab=38ab+ba-1412,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为12.评析本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查了化归与转化的思想方法,属中档题.15.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=4,b2-a2=12c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b
31、2-a2=12c2及正弦定理得sin2B-12=12sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=4,即B+C=34,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=255,cos C=55.又因为sin B=sin(A+C)=sin4+C,所以sin B=31010.由正弦定理得c=223b,又因为A=4,12bcsin A=3,所以bc=62,故b=3.评析本题主要考查三角函数及三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.16.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,
32、b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asin B-3bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=3,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsin A=332.解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinB,从而sin B=217,又由ab,知AB,所以cos B=277.故sin C=sin(A+B)=sinB+3=sin Bcos3+cos Bsin3=32114.所以ABC的面积为12absin C=332.
33、17.(2015湖南,17,12分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范围.解析(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A,即sin B=sin2+A.又B为钝角,因此2+A2,故B=2+A,即B-A=2.(2)由(1)知,C=-(A+B)=-2A+2=2-2A0,所以A0,4.于是sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98.因为
34、0A4,所以0sin A22,因此22-2sinA-142+9898.由此可知sin A+sin C的取值范围是22,98.18.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tanA2=1-cosAsinA;(2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tanA2+tanB2+tanC2+tanD2的值.解析(1)证明:tanA2=sinA2cosA2=2sin2A22sinA2cosA2=1-cosAsinA.(2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B.由(1),有tanA2+tanB2+tanC2+tanD
35、2=1-cosAsinA+1-cosBsinB+1-cos(180-A)sin(180-A)+1-cos(180-B)sin(180-B)=2sinA+2sinB.连接BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A.则cos A=AB2+AD2-BC2-CD22(ABAD+BCCD)=62+52-32-422(65+34)=37.于是sin A=1-cos2A=1-372=2107.连接AC.同理可得cos B=AB2+BC2-AD2-C
36、D22(ABBC+ADCD)=62+32-52-422(63+54)=119,于是sin B=1-cos2B=1-1192=61019.所以,tanA2+tanB2+tanC2+tanD2=2sinA+2sinB=27210+219610=4103.评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化等数学思想.19.(2013课标,17,12分)如图,在ABC中,ABC=90,AB=3,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PB=12,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA.解析(1)由已知得PBC=60,所以PBA=30.在PBA中,由余弦定理得PA2=3+14-2312cos 30=74.故PA=72.