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1、4.3三角函数的图象和性质探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.三角函数的图象及其变换(1)能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.(2)理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间-2,2内的单调性.(3)了解函数y=Asin(x+)的物理意义;能画出y=Asin(x+)的图象,了解参数A,对函数图象变化的影响.(4)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题2019课标,9,5分函数图象变换三角函数的周期及单调
2、性2017课标,9,5分三角函数的图象变换诱导公式2016课标,14,5分三角函数的图象变换两角和、差的正弦公式2.三角函数的性质及其应用2019课标,12,5分三角函数的单调性函数零点及极值点2018课标,10,5分三角函数的单调性两角和的余弦公式2017课标,6,5分余弦函数的图象和性质三角恒等变换2016课标,12,5分三角函数的性质分析解读通过分析近几年的高考试题可以看出,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,难度不大,命题呈现出如下几点:1.研究三角函数必须在定义域内进行,要特别关注三角函数的定义域;2.求三角函数的单调区间,要利用公式将三角函数式化为一个角的一种函数的形式,再
3、利用整体换元的思想,通过解不等式得出函数的单调区间;3.三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值是主要考点,重点考查恒等变换及数形结合能力,一般分值为5分或12分.破考点 练考向【考点集训】考点一三角函数的图象及其变换1.(2020届安徽合肥八校高三第一次联考,7)要得到函数y=-2sin 3x的图象,只需将函数y=sin 3x+cos 3x的图象()A.向右平移34个单位长度B.向右平移2个单位长度C.向左平移4个单位长度D.向左平移2个单位长度答案C2.(2020届山西大同学情调研,6)已知函数y=sin(x+)0,|0)个单位后得到的图象经过原点,则的最小值为()A.3B.4C.6D.12
4、答案B4.(2020届四川南充阆中中学高三10月月考,5)为了得到函数y=sin2x+3sin xcos x的图象,可以将函数y=sin 2x的图象()A.向左平移6个单位长度,再向下平移12个单位长度B.向右平移6个单位长度,再向上平移12个单位长度C.向左平移12个单位长度,再向下平移12个单位长度D.向右平移12个单位长度,再向上平移12个单位长度答案D考点二三角函数的性质及其应用1.(2020届河北邢台第一次摸底考试,3)若曲线y=sin(4x+)(00,且f(x1)+f(x2)=0,则|x1+x2|的最小值为()A.6B.3C.2D.23答案D4.(2019河南郑州一模,8)已知函数
5、f(x)=sin(x+)0,-22的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2,若将函数f(x)的图象向左平移6个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则函数f(x)的一个单调递减区间为()A.-3,6B.4,712C.0,3D.2,56答案B炼技法 提能力【方法集训】方法1由三角函数图象确定函数解析式的方法1.(2016课标,3,5分)函数y=Asin(x+)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin2x-6B.y=2sin2x-3C.y=2sinx+6D.y=2sinx+3答案A2.(2019豫南九校第四次联考,8)已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|0),已知f(x)在0,2有且仅有5
6、个零点.下述四个结论:f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点f(x)在0,10单调递增的取值范围是125,2910其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.答案D3.(2018课标,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是()A.4B.2C.34D.答案A4.(2016课标,12,5分)已知函数f(x)=sin(x+)0,|2,x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在18,536单调,则的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B5.(2017课标,14,5分)函数f(x)=s
7、in2x+3cos x-34x0,2的最大值是.答案1B组自主命题省(区、市)卷题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2019天津,7,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0,|.若f 58=2, f 118=0,且f(x)的最小正周期大于2,则()A.=23,=12B.=23,=-1112C.=13,=-1124D.=13,=724答案A2.(2019北京,9,5分)函数f(x)=sin22x的最小正周期是.答案23.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+)-20)个单位长度得到点P.若P位于函数y=sin 2x的图象上,则()A.t=12,s的最小值为6B.
8、t=32,s的最小值为6C.t=12,s的最小值为3D.t=32,s的最小值为3答案A3.(2016四川,3,5分)为了得到函数y=sin2x-3的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动3个单位长度B.向右平行移动3个单位长度C.向左平行移动6个单位长度D.向右平行移动6个单位长度答案D4.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移00,|0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为512,0,求的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,=2,=- 6.数据补全如下表:x+02322x12371256
9、1312Asin(x+)050-50且函数解析式为f(x)=5sin2x-6.(2)由(1)知 f(x)=5sin2x-6,得g(x)=5sin2x+2-6.因为y=sin x的对称中心为(k,0),kZ.令2x+2-6=k,kZ,解得x=k2+12-,kZ.由于函数y=g(x)的图象关于点512,0中心对称,令k2+12-=512,kZ,解得=k2-3,kZ.由0可知,当k=1时,取得最小值6.考点二三角函数的性质及其应用1.(2019上海,15,5分)已知R,函数f(x)=(x-6)2sin(x),存在常数aR,使得f(x+a)为偶函数,则的值可能为()A.2B.3C.4D.5答案C2.(
10、2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关答案B3.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是()A.2B.C.32D.2答案B4.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C5.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(x+
11、)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x=23时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A. f(2) f(-2) f(0)B. f(0) f(2) f(-2)C. f(-2) f(0) f(2)D. f(2) f(0)0,函数f(x)=sinx+4在2,单调递减,则的取值范围是()A.12,54B.12,34C.0,12D.(0,2答案A7.(2011课标,11,5分)设函数f(x)=sin(x+)+cos(x+)0,|0).若f(x)f4对任意的实数x都成立,则的最小值为.答案239.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单
12、调递减区间是.答案;38+k,78+k(kZ)10.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sinx-6+sinx-2,其中03.已知f 6=0.(1)求;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-4,34上的最小值.解析本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质.(1)因为f(x)=sinx-6+sinx-2,所以f(x)=32sin x-12cos x-cos x=32sin x-32cos x=312sinx-32cosx=3sinx-3.由题设知f6=0,所以6-3=k,k
13、Z.故=6k+2,kZ,又00)在0,2上有且仅有三个零点,则的取值范围是()A.103,143B.103,143C.4,143D.4,143答案D4.(2020届四川成都摸底测试,10)将函数f(x)=sinx+3(0)的图象向右平移6个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则的最小值为()A.7B.6C.5D.4答案C5.(2020届湖北部分重点中学新起点考试,9)函数f(x)=Asin(x+)的部分图象如图中实线所示,图中圆C与f(x)的图象交于M,N两点,且M在y轴上,则下列说法中正确的是()A.函数f(x)的最小正周期是2B.函数f(x)的图象关于点43,0成中心对称C.函数f(x)在-
14、23,-6上单调递增D.函数f(x)的图象向右平移512个单位长度后关于原点成中心对称答案B6.(2019河南百校联盟2月联考,10)将函数f(x)=sin 2x+3cos 2x+1的图象向右平移6个单位长度后得到函数g(x)的图象,当a(0,1)时,方程|g(x)|=a在区间0,2上所有根的和为()A.6B.8C.10D.12答案C7.(2020届九师联盟10月质量检测,11)矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼(The London Eye)是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮,已知其旋转半径60米,最高点距地面135米,运行一周大约30分钟,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他
15、距地面大约为()A.95米B.100米C.105米D.110米答案C8.(2020届辽宁沈阳二中高三月考,9)已知函数f(x)=sin4x+3sin2x+23的图象与g(x)的图象关于直线x=12对称,则g(x)的图象的一个对称中心可以为()A.6,0B.3,0C.4,0D.2,0答案C9.(2018福建福州四校联考,8)将函数f(x)=sin x(0)的图象向右平移12个单位得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间6,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则实数的值为()A.74B.32C.2D.54答案C10.(2020届安徽A10联盟上学期摸底考试,11)已知函数f(x)=as
16、in 2x-3cos 2x的图象关于直线x=-12对称,若f(x1)f(x2)=-4,则|x1-x2|的最小值为()A.3B.23C.4D.2答案D二、填空题(共5分)11.(2019江西南昌重点中学段考测试,15)已知函数f(x)=sin(x+)03,|0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2.(1)求的值;(2)当x-12,2时,求函数f(x)的值域.解析(1)f(x)=1-cos2x2+3sin xcos x-1=32sin 2x-12cos 2x-12=sin2x-6-12.由题意可知函数f(x)的最小正周期为,又0,22=,解得=1.(6分)(2)由(1)得f(x)=sin2x-6-1
17、2,x-12,2,2x-6-3,56,根据正弦函数的图象可得:当2x-6=2,即x=3时,g(x)=sin2x-6取得最大值1.当2x-6=-3,即x=-12时,g(x)=sin2x-6取得最小值-32,-12-32sin2x-6-1212,即f(x)的值域为-1+32,12.(12分)13.(2020届黑龙江哈尔滨师范大学附属中学9月月考,18)已知函数f(x)=4tan xsin2+xcosx-4-2.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-4,4上的单调性.解析(1)f(x)=4tan xsin2+xcosx-4-2,函数f(x)的定义域为x|xk+2,kZ,(2
18、分)f(x)=4tan xsin2+xcosx-4-2=22(sin xcos x+sin2x)-2=2(sin 2x-cos 2x)=2sin2x-4,(4分)函数f(x)的最小正周期为T=22=.(6分)(2)由-2+2k2x-42+2k,kZ,可得函数f(x)的增区间为k-8,k+38,kZ,由-32+2k2x-4-2+2k,kZ,可得函数f(x)的减区间为k-58,k-8,kZ.记A=-4,4,B=k-8,k+38,kZ,则AB=-8,4,当x-4,4时, f(x)在-4,-8上单调递减,在-8,4上单调递增.(12分)14.(2019湖北黄冈元月调研,17)已知函数f(x)=-3co
19、s2x+2+1-2sin2x.(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中,画出函数f(x)在0,上的图象;(2)先将函数y=f(x)的图象向右平移6个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)图象的对称中心.解析(1)f(x)=-3cos2x+2+1-2sin2x=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6.列表如下:x06512231112f(x)120-201描点、连线,作函数f(x)在区间0,上的图象如图.(2)将函数f(x)=2sin2x+6的图象向右平移6个单位后得到y=2sin2x-6+6=2sin2x-6的图象,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)=2sinx2-6的图象,由x2-6=k(kZ)得x=2k+3(kZ),故g(x)图象的对称中心为2k+3,0(kZ).