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1、二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分二次函数基础知识相关概念及定义二次函数的概念：一般地， 形如2yaxbxc（abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调： 和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2abc， ， 是常数， a是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二次函数各种形式之间的变换二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy
2、；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 二次函数解析式的表示方法一般式：2yaxbxc （ a ， b ， c 为常数，0a） ；顶点式：2()ya xhk （ a ， h ， k为常数，0a） ；两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2axy的性质二次函数2yaxc 的性质二次函数2ya xh的性质：a的符号开口
3、方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y有最小值 0 0a向下00，y轴0 x时，y随 x 的增大增大而减小；0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y有最大值 0 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质0a向上0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y有最小值 c 0a向下0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y有最大值 c a 的 符号开口方向顶点坐标对称轴性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
4、归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页二次函数2ya xhk 的性质抛物线2yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上； 当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴：平行于y轴 （或重合）的直线记作2bxa. 特别地，y轴记作直线0 x. 顶点坐标坐标：），（abacab4422顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同， 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 抛物线cbxaxy2中，cba,与函数图像的关系二次项系数a二次函数2yaxbxc 中， a
5、作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；0a向上0h，X=h xh 时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh 时，y有最小值 0 0a向下0h，X=h xh 时，y随x的增大而减
6、小；xh时，y随x的增大而增大；xh 时，y有最大值 0 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh 时，y随 x 的增大而增大；xh 时，y随x 的增大而减小；xh时，y有最小值 k 0a向下hk，X=h xh 时，y随 x 的增大而减小；xh 时，y随x 的增大而增大；xh时，y有最大值 k 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴
7、就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置总结：常数项 c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. 配方法：运用
8、配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为 (h,k) ，对称轴是直线hx. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. 顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 交 点 式 ： 已 知 图 像 与x轴 的 交 点 坐 标1x、2x， 通 常 选 用 交 点 式 ：21xxxxay. 直线与抛
9、物线的交点y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). 与y轴 平 行 的 直 线hx与 抛 物 线cbxaxy2有 且 只 有 一 个 交 点(h,cbhah2). 抛物线与x轴的交点 : 二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . 平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2个交点时， 两交点的纵坐标相
10、等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点， 由方程组2ykxnyaxbxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点； 方程组无解时l与G没有交点 . 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxx
11、xxAB444222122122121二次函数图象的对称: 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于 x 轴对称2yaxbxc 关于 x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于y轴对称2yaxbxc 关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于原点对称2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于顶点对称2yaxbxc 关于顶点对称后，得到的解析式
12、是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk关于点mn，对称2ya xhk 关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk总结： 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则， 选择合适的形式， 习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2ya
13、x 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0 a0 y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增
14、；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时， y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时， y 有最大值，abacy442最大值2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0时，图像与x 轴有两个交点；当=0时，图像与x 轴有一个交点；当0时，图像与x 轴没有交点。知识点五中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
15、1、两点间距离公式 （当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页如图：点A坐标为（ x1，y1）点 B坐标为（ x2，y2）则 AB间的距离，即线段AB的长度为221221yyxx A 0 x B 知识点五二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2()ya xhk ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的
16、点2hc，、与 x轴的交点10 x ，20 x ，（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 、已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A、00b0ca，B、00b0ca，C、00b0ca，D、00b0ca，、函数)0(2axayaaxy与在同一坐标系中的图象可能是（）特别记忆 - 同左上加异右下减 ( 必须理解记忆) 说明函数中 ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧 同左 ，a b 值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右向左向上移动为加左上加 ，向右向下移动为减右下减3、直线斜
17、率：1212tanxxyyk b为直线在 y轴上的截距 4、直线方程：4、 两 点由 直 线 上 两 点 确 定 的 直 线 的 两 点 式 方 程 ， 简 称 两 式 : )()(tan112121xxxxxyybxbkxyy此公式有多种变形牢记点斜)(11xxkxyy斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0) x y O x y O x y O x y O A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页 截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1byax牢记口诀 -两点斜
18、截距 - 两点点斜斜截截距5、设两条直线分别为，1l：11yk xb2l：22yk xb若12/ll，则有1212/llkk且12bb。若12121llkk6、点P （x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 1) 1(2002200kbykxkbykxd7、抛物线cbxaxy2中， a b c,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时， 对称轴在y轴右侧 .
19、 口诀 - 同左异右（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 二次函数2axy、kaxy2、2hxay、khxay2的性质函 数 解 析式2axykaxy22hxaykhxay2开口方向当0a时 ,开口向上 ;当0a时, 开口向下 . 顶点（ 0,0 ）（0,k ）（h,0 ）（h,k ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
20、总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页对称轴0 x（y轴）0 x（y轴）hxhx最值当 x=0 时, 最小值为0. 当 x=0 时, 最小值为k 当 x=h 时, 最小值为k. 当 x=h 时, 最小值为 k 增减性对称轴左右侧0a0a0a0a0a0a0a0a在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小 . 在对称轴的右侧 , y随着x的增大而增大在 对 称轴 的 左侧,y 随着 x 的增 大 而减 小 . 在 对 称轴 的 右侧,y 随着 x 的增 大 而增大 . 在 对 称轴 的 左侧,y 随着 x 的增 大 而减 小 . 在 对 称轴 的 右侧,y 随着 x 的增 大 而增大
21、 . 在 对 称轴 的 左侧,y 随着 x 的增 大 而减 小 . 在 对 称轴 的 右侧,y 随着 x 的增 大 而增大 . 在 对 称轴 的 左侧,y随着 x 的增 大 而减 小 . 在 对 称轴 的 右侧, y 随着 x 的增 大 而增大 . 在 对 称轴 的 左侧 ,y随着x 的增 大 而减小 . 在 对 称轴 的 右侧, y 随着x 的增 大 而增大 . 在 对 称轴 的 左侧,y随着 x 的增 大 而减 小 . 在 对 称轴 的 右侧, y 随着 x 的增 大 而增大 . 在 对 称轴 的 左侧 ,y随着 x 的增 大 而减 小 . 在 对 称轴 的 右侧 , y 随着 x 的增 大 而增大 . 注：图形呈上升状态y 随着 x 的增大而增大图形呈下降状态y 随着 x 的增大而减小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页