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1、2.4.12.4.1抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程喷泉喷泉探照灯探照灯MNN MxyoxyoFFFF当当0e 1时，时，是椭圆是椭圆.当当e1时，时，是双曲线是双曲线.当当e=1时，它又是什么曲线？时，它又是什么曲线？复习：椭圆和双曲线的第二定义复习：椭圆和双曲线的第二定义 平面内到一个定点的距离和一条定直线平面内到一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的距离的比是常数e的点的轨迹的点的轨迹.(其其中中定定点点不不在在定定直直线线上上) 如图，点如图，点 是定点，是定点， 是不经过点是不经过点 的定直线。的定直线。 是是 上上任意一点，过点任意一点，过点 作作 ，线段，线段FH的垂直
2、平分线的垂直平分线m交交MH于点于点M，拖动点，拖动点H，观察点，观察点M的轨迹，你能发现点的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？满足的几何条件吗？ MHLLLHFF提出问题：提出问题： LMFH几何画板观察几何画板观察FC问题探究：问题探究：当当e=1时，即时，即|MF|=|MH| ，点，点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？探究？探究？ 可以发现可以发现, ,点点M随着随着H H运动的过程中运动的过程中, ,始终有始终有| |MF|=|=|MH|,|,即点即点M与点与点F和定直线和定直线l的距离相等的距离相等. .点点M生成的轨迹是曲线生成的轨迹是曲线C的形状的形状.( (如图如图) )MFle
3、=1H我们把这样的一条曲线叫做我们把这样的一条曲线叫做抛物线抛物线. .二、抛物线的定义：二、抛物线的定义：1.MFle 动点与一个定点 的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，则这个点的轨迹是抛物线l.FMd.1.le定点F是抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线，常数 是抛物线的离心率注意：定点不在定直线上注意：定点不在定直线上 练习练习: 平面上到定点平面上到定点A(1, 2) 和到定直线和到定直线 2xy=0距离相等的点的轨迹为距离相等的点的轨迹为( ) (A)直线直线 (B)抛物线抛物线 (C)双曲线双曲线 (D)椭圆椭圆思考：已知点思考：已知点P(x,y)的坐标满足方程的坐标满足方
4、程:2221|(0)xyxk xyk 1.若若 ，P的轨迹是何曲线？的轨迹是何曲线？22k 2.随随 的变化，的变化，P的轨迹可以是哪些曲线？的轨迹可以是哪些曲线？k三、抛物线的标准方程：三、抛物线的标准方程：l.FMd.FlxF 如图，以过 点垂直于直线 的直线为 轴， 和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系.xOyK|,(0),( , ),FKp pM x y设(,0), :22ppFl x 则MFd 三、抛物线的标准方程：三、抛物线的标准方程：22,(0)ypxp抛物线标准方程抛物线标准方程 把方程把方程 y2 = 2 2px (p0)叫做抛物线的标准方叫做抛物线的标准方程程.其中其中 p
5、 为正常数为正常数,表示焦点在表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上.且且 p的几何意义是的几何意义是: :焦点坐标是焦点坐标是(,0) ,2p2px 准线方程为准线方程为: :想一想想一想: : 坐标系的建立还有没有其它方案也坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单会使抛物线方程的形式简单 ？yxo方案方案(1)(1)yxo方案方案(2)(2)yxo方案方案(3)(3)yxo方案方案(4)(4)焦点到准线的距离焦点到准线的距离yxoyxoyxoyxo22(0)ypxp22(0)ypxp 22(0)xpyp22(0)xpyp 2px (,0)2pF(,0)2pF (0,)2pF(0
6、,)2pF2px 2py 2py 练习：填表（填标准方程）练习：填表（填标准方程）28yx 24yx (0,2)F2y ( 2,0)F 2x 28xy-2y 28xy (0, 2)F1(0,)16F214xy 116y （1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它，求它的焦点坐标及准线方程的焦点坐标及准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，2），求），求抛物线的标准方程抛物线的标准方程（3）已知抛物线的准线方程为）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物，求抛物线的标准方程线的标准方程（4）求过点）求过点A（3，2）的抛物线
7、的标准方程）的抛物线的标准方程焦点焦点F ( , 0 )32准线：准线：x =32x 2 =8 yy 2 =4 xy 2 = x 或或 x 2 = y4392待定系数法待定系数法练习：求抛物线的标准方程练习：求抛物线的标准方程1.1.焦准距是焦准距是2 2；2.2.以双曲线以双曲线 的焦点为焦点；的焦点为焦点；3. 3. 经过点经过点P(-4,-2)(-4,-2)；22145xy4.已知动圆已知动圆M过定点过定点F(2, 0)，且与直线，且与直线 x= 2相切，求动圆圆心相切，求动圆圆心M的轨迹方程的轨迹方程.定义法定义法复习回顾复习回顾1.圆锥曲线的统一定义：圆锥曲线的统一定义： 平面内到一
8、个定点的距离和一条定直线平面内到一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的距离的比是常数e的点的轨迹的点的轨迹.01e则轨迹是椭圆；则轨迹是椭圆；1e 则轨迹是抛物线；则轨迹是抛物线；1e 则轨迹是双曲线则轨迹是双曲线.定点不在定直线上定点不在定直线上2.抛物线的标准方程、焦点、准线抛物线的标准方程、焦点、准线.yxoyxoyxoyxo22(0)ypxp22(0)ypxp 22(0)xpyp22(0)xpyp 2px (,0)2pF(,0)2pF (0,)2pF(0,)2pF2px 2py 2py 3. 已知点已知点P(x0, y0)是抛物线是抛物线y2=2px (p0)上上一点，则一点，则
9、P到焦点到焦点F的距离的距离|PF|=( )02px 4.已知点已知点A(2, 1),点点M在抛物线在抛物线y2=4x上上移动，移动，F是抛物线的焦点，则是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|的最小值是的最小值是( ),此时此时M的坐标是的坐标是 ( )5.已知已知M是抛物线是抛物线 上一动点，上一动点，M到其准线的距离为到其准线的距离为d1 , M到直线到直线x+y=2的的距离为距离为d2 , 则则d1+d2的最小值是的最小值是( ).214yx 31( ,1)43 2222168 .yxxy 或22168 .yxxy 或6. 6. 若点若点M到点到点F（4 4，0 0）的距离比它到）的距离比
10、它到直线直线l: :x5 50 0的距离少的距离少1 1，求点，求点M的轨的轨迹方程迹方程. . 216 .yx216 .yxxlFOyM7.7.如图，一个动圆如图，一个动圆M与一个定圆与一个定圆C外切，外切，且与定直线且与定直线l相切，则圆心相切，则圆心M的轨迹是什的轨迹是什么？么？ C CMl 以点以点C为焦点的抛物线为焦点的抛物线. . 例例1 1 一种卫星接收天线的轴截面如图一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处到焦点处. .已知接收天线的口径（直径）已
11、知接收天线的口径（直径）为为4.84.8m，深度为，深度为0.50.5m，试建立适当的，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标标. . 方程：方程：y2 211.5211.52x 焦点：（焦点：（2.882.88，0 0） xyO OA例例2 2 求准线平行于求准线平行于x轴，且截直线轴，且截直线 yx1 1所得的弦长为所得的弦长为 的抛物线的抛物线 的标准方程的标准方程. . x2 25 5y或或x2 2y. . 例例3 3 过抛物线过抛物线y2 24 4x的焦点的焦点F作直线作直线l，交抛物线于交抛物线于A、B两点，求线段两点，求线段AB的中的中
12、点点M的轨迹方程的轨迹方程. .xFOyMBA y2 22(2(x1). 1). 10(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点x0,yR关于关于x轴对称轴对称原点原点(0,0) 抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点抛物线的性质抛物线的性质(4)离心率离心率以以y2=2px(p0)为例为例l.FMd.xOyKe=1y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称（0,0）e=1思考：思考： 正三角形的一个顶点在原
13、点，正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点另两个顶点A、B在抛物线在抛物线y2 22 2px（p0 0为常数）上，求这个正三角形的边长为常数）上，求这个正三角形的边长. . 22168 .yxxy 或22168 .yxxy 或216 .yxOxyBA4 3p 例例1 1 已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称，它的顶轴对称，它的顶点在坐标原点，且经过点点在坐标原点，且经过点 ，求它的标准方程求它的标准方程. . y2 24 4x| |AB| |8 8 例例2 2 斜率为斜率为1 1的直线的直线l经过抛物线经过抛物线y2 24 4x的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A、B两点，两点，
14、求线段求线段AB的长的长. . O OxyBAF(2, 2 2)M法法1：解出交点坐标：解出交点坐标法法2：弦长公式：弦长公式法法3：焦半径：焦半径l.FxOyKABB1A1y2=2px ( p 0 ) 焦点弦焦点弦AB的性质的性质A(x1, y1), B(x2, y2)111.90AFB2212123.,4py ypx x 1114.|AFBFp15. ,.A O B三点共线N2.AB为直径的圆与为直径的圆与准线相切准线相切M 已知抛物线已知抛物线y2=4x,过定点过定点A(-2, 1)的直的直线线l的斜率为的斜率为k,下列情况下分别求下列情况下分别求k的取值的取值范围：范围：1. l与抛物线有且仅有一个公共点；与抛物线有且仅有一个公共点；2. l与抛物线恰有两个公共点；与抛物线恰有两个公共点；3. l与抛物线没有公共点与抛物线没有公共点.直线与抛物线的关系直线与抛物线的关系尝试练习尝试练习