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1、二次函数中的三角形一与三角形面积例 1：如图，已知在同一坐标系中，直线22kykx与 y 轴交于点P，抛物线kxkxy4) 1(22与 x 轴交于)0,(),0,(21xBxA两点。 C 是抛物线的顶点。（ 1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示） ；（ 2）若点 A 在点 B 的左侧，且021xx。当 k 取何值时，直线通过点B；是否存在实数k，使ABCABPSS？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。例 2： 已知抛物线) 1(3)4(2mxmxy与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于 C 点，（ 1）求 m 的取值范围；（ 2）若0m，直线1kxy经过点
2、A，与 y 轴交于点D，且25BDAD，求抛物线的解析式；（ 3）若 A 点在 B 点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使直线 PA 平分ACD的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。例 3已知矩形ABCD 中， AB2，AD 4，以 AB 的垂直平分线为x 轴， AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图 )。(1)写出 A、B、C、D 及 AD 的中点 E 的坐标；(2)求以 E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B、C 的抛物线的解析式；(3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)PEB 的面积 SPEB与P
3、BC 的面积 SPBC具有怎样的关系？证明你的结论。例 4.如图 1，已知直线12yx与抛物线2164yx交于AB，两点（1）求AB，两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3） 如图 2， 取与线段AB等长的一根橡皮筋， 端点分别固定在AB，两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与AB，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由二与三角形形状例 5. 如图，抛物线254yaxax经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC（1）求
4、抛物线的对称轴；（2）写出ABC， ，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由A C B y x 0 1 1 yxOyxOP A 图 2 图 1 BBAABCDOExy(第 25题图 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页例 6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(12)，点B的坐标为(31)，二次函数2yx的图象记为抛物线1l（ 1） 平移抛物线1l， 使平移后的抛物线过点A， 但不过点
5、B， 写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可） （ 2）平移抛物线1l，使平移后的抛物线过AB，两点，记为抛物线2l，如图，求抛物线2l的函数表达式（ 3）设抛物线2l的顶点为C，K为y轴上一点若ABKABCSS，求点K的坐标（ 4）请在图上用尺规作图的方式探究抛物线2l上是否存在点P，使ABP为等腰三角形若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师例 7. 已知：如图，抛物线2yaxbxc经过(1, 0)A、(5 , 0)B、(0,5)C三点（ 1）求抛物线的函数关系式；（ 2）若过点 C 的直线ykxb与抛物线相交于点 E （4，m） ，请求出 CB
6、E 的面积 S的值；（ 3）在抛物线上求一点0P使得 ABP0为等腰三角形并写出0P点的坐标；（ 4）除（ 3）中所求的0P点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得 ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由例 8.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为 (2，0)，连接 OA，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转120，得到线段 OB(1)求点 B 的坐标；(2)求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明
7、理由；(4)如果点 P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由(注意：本题中的结果均保留根号) 三二次函数与三角形相似例 9：已知一次函数1243xy的图象分别交x 轴、 y 轴于 A、C 两点，（1）求出 A、C 两点的坐标；（2）在 x 轴上找出点B，使ACBAOC，若抛物线过A、B、C 三点，求出此抛物线的解析式；（3）在（ 2）的条件下，设动点P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，以相同速度沿AC、BA 向 C、A 运动，连结PQ，使mAP，是否存在m 的值，使以A、P、Q 为顶点的三
8、角形与ABC相似，若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。例 10.如图 7，在平面直角坐标系中，抛物线2164yx与直线12yx相交于AB，两点（1）求线段AB的长（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？（3）如图 8，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于CD，两点，垂足为点M，分别求出OMOCOD，的长，并验证等式222111OCODOM是否成立ABOyx图 7 ABOyx图 8 CDMBOyx1l图A1 1 BOyx2l图AC1 1 BOyx2l图A1 1 x y C B A E 1 1 O A (第 25 题图 )
9、 OxB1-1y1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页（ 4）如图 9，在RtABC中，90ACB，CDAB，垂足为D，设BCa，ACb，ABcCDh，试说明：222111abh例 11.在直角坐标系中，A 的半径为 4，圆心 A 的坐标为（ 2，0） ， A 与 x 轴交于 E、F 两点，与y 轴交于 C、 D 两点，过点C 作 A 的切线 BC，交 x 轴于点 B（ 1）求直线CB 的解析式；（ 2）若抛物线y=ax2+bx+c 的顶点在直线BC 上，与 x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；（ 3）试判断
10、点C 是否在抛物线上？（ 4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 AOC 相似？直接写出两组这样的点例 12. 如图 12， 以边长为2的正方形ABCD的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线2yxbxc经过点B且与直线AB只有一个公共点（ 1）求直线AB的解析式（3 分）（ 2）求抛物线2yxbxc的解析式（3 分）（ 3）若点P为（2）中抛物线上一点，过点P作PMx轴于点M，问是否存在这样的点P，使PMCADC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（5 分）例 13. 如图，矩形A BC O是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得
11、到的，O点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(13)，（1）如果二次函数2yaxbxc（0a）的图象经过O，O两点且图象顶点M的纵坐标为1，求这个二次函数的解析式；（2）在（ 1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标和POM的面积；若不存在，请说明理由；ABCMAOxyOC图 9 ABCDabchBADCOxy图 12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页答案 ：例 1：解： （1）2) 1(ky最小值。（ 2）解得当34k时，直线过B；过C 作ABCD于D ，
12、则22)1() 1(kkCD，把0 x代入直线22kkxy，得22ky，22kOP，0421kxx。022,0kk，22kOP。若ABCABPSS，即0,2121ABCDABOPAB，CDOP，即2)1(22kk解得0,2,2121kkk，取21k，当21k时，ABCABPSS此时所求的抛物线的解析式为：22xxy从以上解答中可以看出三角形面积相等作为已知条件的作用是利用三角形的面积公式，再利用同底等高的性质推出线段相等，仅此而已。例 2. 解： （1）2m；（ 2）652xxy；（ 3）如图，假设在第一象限内，抛物线上存在点P，使直线 PA 平分ACD的面积，则直线P A 必过 DC 的中点
13、 M。)6,0(),1,0(CD，)27,0(M。令0y，则0652xx，解得3, 221xx。A在 B 的左侧， A 坐标是（ 2，0） 。设直线 PA 的解析式为)0( , kbkxy则,0227bkb解得2747bk。直线 AM 的解析式为2747xy。方程组6527472xxyxy的解为162145922211yxyx。点 P 的坐标为（ 2，0） （即 A 点）或)1621,45(。这两点均不在第一象限。第一象限内，抛物线上不存在点P，使P A 平分ACD的面积。本题第（ 3）小题是存在型问题，是结论开放题，应先假设存在，然后在假设的前提下，通过计算说明在第一象限内不存在符合要求的点
14、（求出的点不在第一象限），有一定的难度，主要是这种题型学生不熟悉。例 3. 例 4.解 （1）解：依题意得216412yxyx解之得12126432xxyy( 63 )(4 2AB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页（ 2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于CD，两点，交AB于M（如图 1）由（ 1）可知：3 52 5OAOB5 5AB1522OMABOB过B作BEx轴，E为垂足由BEOOCM，得：54OCOMOCOBOE，同理：55500242ODCD， ，设CD的解析式为(0)ykxb k52045522kkbb
15、bAB的垂直平分线的解析式为：522yx（ 3）若存在点P使APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线12yxm上，并设该直线与x轴，y轴交于GH，两点（如图2） 212164yxmyx2116042xxm抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m，2523144mP，在直线12524GHyx：中，25250024GH， ，2554GH设O到GH的距离为d，1122125 51252524224552GH dOG OHddABGH，P到AB的距离等于O到GH的距离d例 5.解： （1）抛物线的对称轴5522axa（2）( 3 0)A，( 5 4 )B，( 0 4
16、 )C，把点A坐标代入254yaxax中，解得16a215466yxx（3）存在符合条件的点P共有 3 个以下分三类情形探索设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M过点B作BQx轴于Q，易得4BQ，8AQ，5.5AN，52BM以AB为腰且顶角为角A的PAB有 1 个：1PAB222228480ABAQBQ在1RtANP中，222221119980(5.5)2PNAPANABAN1519922P，以AB为腰且顶角为角B的PAB有 1 个：2P AByxOP A 图 2 H G B yxO图 1 D M A C B 第 26 题A C B x 0 1 1 2P1P3Py 精选学习资料 - - -
17、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页在2RtBMP中，222222252958042MPBPBMABBM25 829522P，以AB为底，顶角为角P的PAB有 1 个，即3P AB画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于3P，此时平分线必过等腰ABC的顶点C过点3P作3PK垂直y轴，垂足为K，显然3RtRtPCKBAQ312P KBQCKAQ32.5PK5CK于是1OK3(2.51)P，例6.解：（ 1）有多种答案，符合条件即可例如21yx，2yxx，2(1)2yx或223yxx，2(21)yx，2(12)yx（ 2）设抛物线2l的函数表达式为2y
18、xbxc，点(12)A ，(31)B，在抛物线2l上，12931bcbc，解得9211.2bc，抛物线2l的函数表达式为291122yxx（ 3）229119722416yxxx，C点的坐标为974 16，过ABC， ，三点分别作x轴的垂线，垂足分别为DEF， ，则2AD，716CF，1BE，2DE，54DF，34FEABCADEBADFCCFEBSSSS梯形梯形梯形117517315(21)22122164216416延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为ymxn，点(12)A ，(31)B，在直线AB上，213.mnmn，解得125.2mn，直线AB的函数表达式为1522yxG点的
19、坐标为502，设K点坐标为(0)h，分两种情况：若K点位于G点的上方，则52KGh连结AKBK，151553122222ABKBKGAKGSSShhh1516ABKABCSS，515216h，解得5516hK点的坐标为55016，若K点位于G点的下方，则52KGh同理可得，2516hK点的坐标为25016，（4）作图痕迹如图所示由图可知，点P共有 3 个可能的位置例 7.解： （1）抛物线经过点(1, 0)A、(5, 0)B，(1)(5)ya xxxOy2lBA图BEFDOGKyx2lCA图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共
20、 10 页又抛物线经过点(0 ,5)C， 55a，1a抛物线的解析式为2(1)(5)65yxxxx（ 2） E 点在抛物线上， m = 42 46+5 = - 3直线 y = kx+b 过点 C（0， 5） 、E（4， 3） ，5,43.bkb解得 k = - 2，b = 5设直线 y=- 2x+5 与 x 轴的交点为D，当 y=0 时， - 2x+5=0，解得 x=52 D 点的坐标为（52，0） S=SBDC+ SBDE=1515(5)5+(5)32222=10（ 3）抛物线的顶点0(3,4)P既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，点0(3,4)P为所求满足条件的点（ 4）除0P点外，在抛物线
21、上还存在其它的点P 使得 ABP 为等腰三角形理由如下：2200242 54APBP，分别以A、B为圆心半径长为4 画圆，分别与抛物线交于点B、1P、2P、3P、A、4P、5P、6P，除去B、A两个点外，其余6个点为满足条件的点例 8解： （1）过点 B 作 BDx 轴于点 D，由已知可得：OB OA=2， BOD60在 RtOBD 中， ODB90， OBD30OD1，DB 3点 B 的坐标是（ 1，3）（2）设所求抛物线的解析式为2yaxbxc，由已知可得：03420cabcabc解得：33abc2 3， =， =03所求抛物线解析式为232 333yxx（备注： a、b 的值各得1 分）
22、（3）存在由232 333yxx配方后得：233(1)33yx抛物线的对称轴为1x（也可用顶点坐标公式求出）点 C 在对称轴1x上， BOC 的周长 OB+BC+CO ；OB=2 ，要使 BOC 的周长最小，必须BC+CO 最小，点 O 与点 A 关于直线1x对称，有CO=CA BOC 的周长 OB+BC+CO OB+BC+CA 当 A、C、B 三点共线，即点C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时BOC 的周长最小。设直线 AB 的解析式为ykxb，则有：320kbkb解得：32 333kb，直线 AB 的解析式为32 333yx当1x时，33y所求点C 的坐标为（1
23、，33）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页（ 4）设 P()xy，（200 xy，） ，则232 333yxx过点 P 作 PQy 轴于点 Q， PGx 轴于点 G，过点 A 作 AFPQ 轴于点 F，过点 B 作 BEPQ 轴于点 E，则 PQ=x，PG=y，由题意可得：PABAFPBEPAFEBSSSS梯形111()222AFBEFEAF FPPE BE=111(3)(12)()(2)(1)(3)222yyyxxy33322yx将代入，化简得：233322PABSxx-2319 3()228x当12x时， PA
24、B 得面积有最大值，最大面积为9 38。此时312 313()34324y点 P 的坐标为13()24，例 9. 解： （1）)12,0(),0,16(BA。（ 2） 过 C 点作ACCB， 交 x轴于点 B， 显然， 点 B为所求，设ACBkB),0,(AOC， 16202016,kAOACACAB。9k，)0 ,9(B，设)9)(16(xxay，把 C 点坐标（ 0， 12）代入上式，得121a。12127121)9)(16(1212xxxxy。（ 3）分两种情况讨论：CBPQ /；ABPQ。 （解略）。结论是：存在9100m或9125m时，使得以A、P、Q 为顶点的三角形与ABC相似。从
25、以上两题可以看出与三角形相似有关的二次函数综合题一般都是三角形相似作为求二次函数的条件来解。例 10. 解： （1） A（-4，-2 ） ，B（6，3）分别过 A、 B 两点作xAE轴，yBF轴，垂足分别为E、FAB=OA+OB2222362455（2）设扇形的半径为x，则弧长为)255(x，扇形的面积为y则)255(21xxyxx525216125)455(2x01a当455x时，函数有最大值16125最大y（3）过点 A 作 AEx轴，垂足为点ECD 垂直平分AB，点 M 为垂足255225521OAABOMCOMEOAOMCAEO, AEO CMOCOAOOMOECO5225445415
26、225CO同理可得25OD542520)52()54(112222ODOC5412OM222111OMODOC（4）等式222111hba成立理由如下：ABCDACB,902222121baABhABabhcab2222hcba22222)(hbaba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页22222222222)(hbahbahbaba222221babah222111bah222111hba例 11.解:（1）方法一：连结AC，则ACBC24OAAC， OC=2 3又 RtAOCRtCOB，AOOCOCOB OB=6
27、 点C坐标为(0 2 3)，点B坐标为( 6 0)，设直线BC的解析式为y=kx+b，可求得直线BC的解析式为32 33yx方法二：连结AC，则ACBC24OAAC， ACO=30 o， CAO=60 o CBA=30 o AB=2AC=8 OB=AB-AO=6以下同证法一（ 1）由题意得，A与x轴的交点分别为( 2 0)E，、(6 0)F，抛物线的对称轴过点A为直线2x 抛物线的顶点在直线BC上， 抛物线顶点坐标为8(23)3，设抛物线解析式为28(2)33ya x， 抛物线过点( 2 0)E，280( 22)33a，解得36a 抛物线的解析式为238(2)363yx，即232 32 363
28、yxx（3）点C在抛物线上因为抛物线与y轴的交点坐标为(0 2 3)，如图(4) 存在，这三点分别是E、C、F 与 E、 C1、F，C1的坐标为（ 4，2 3）即ECF AOC、EC1F AOC，如图例 12. 解： （1）直线 AB的解析式为：1yx= -（2）抛物线2yxbxc=+的解析式为：21yxx=-（3）存在这样的点P，使 PMC ADC ，P点的坐标为（ 0，-1 ） ； （2， 1） ；（2，12-） ； （2-，12+） 。理由略。例 13.解： （1）连结BO，BO则BOBO，BAOOAOAO(13)B ，(2 0)O，(11)M，42010abcabcc解得1a，2b，0
29、c所求二次函数的解析式为22yxx（2）设存在满足题设条件的点()P xy，连结OM，PM，OP，过P作PNx轴于N则90POM(11)M，(10)A ，AMOA45MOA45PON，ONNP即xyC1 ANBCMDPAOxyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页()P xy，在二次函数22yxx的图象上22xxx解得0 x或3x()P xy，在对称轴的右支上1x3x3y即(3 3)P，是所求的点，连结MO，显然OMO为等腰直角三角形O为满足条件的点(2 0)O，满足条件的点是(2 0)P，或(3 3)P，3 3OP，2OM13622POMSOP OM或112POMSOM OM（ 3）设AB与C O的交点为(1)Dy，显然RtRtADOC DB在RtADO中222AOADO D，即221(3)yy解得43y，413D，设边C O所在直线的解析式为ykxb则4320kbkb解得43k，83b所求直线解析式为4833yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页