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1、学习必备欢迎下载椭圆标准方程典型例题例 1 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF从椭圆定义知52221PFPFa即5a从21PFPF知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx例 2 已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21
2、PAA，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示） 分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边， 从而利用CabSsin21求面积解：如图，设yxP，由椭圆的对称性，不妨设yxP，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF224coscPF由椭圆定义知：aPFPF221，则2得cos12221bPFPF故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b例 3 已知动圆P过定点03，A， 且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式解：如图所示，设动圆P和定圆
3、B内切于点M动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03 ，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法例 4 已知椭圆1222yx， （1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的
4、割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为11yxM，22yxN，线段MN的中点yxR，则，yyyxxxyxyx222222212122222121得0221212121yyyyxxxx由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将代入得022121xxyyyx（1）将21x，21y代入，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342yx 将代入椭圆方程2222yx得04166
5、2yy，0416436符合题意，0342yx为所求（2）将22121xxyy代入得所求轨迹方程为：04yx （椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入得所求轨迹方程为：022222yxyx （椭圆内部分）（4）由得：2222212221yyxx，将平方并整理得212222124xxxxx，212222124yyyyy，将代入得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载224424212212yyyxxx，再将212121xxyy代入式得：221242212212xxyxxx，即12122yx此即为所
6、求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 5 已知椭圆1422yx及直线mxy（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程解： （1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx020161542222mmm，解得2525m（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（ 1）得5221mxx，51221mxx根据弦长公式得：51025145211222mm解得0m方程为xy说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交
7、点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程例 6 以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程解：如图所示，椭圆131222yx的焦点为031，F，032，F点1F关于直线09yxl：的对称点F的坐标为（ 9，6） ，直线2FF的方程为032yx解方程组09032yxyx得交点M的坐标为（ 5，4） 此时21MFMF最小所求椭圆的长轴：562221FFMFMFa，53a，又3c，精选学习资料 - - - - - - - - -
8、名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载3635322222cab因此，所求椭圆的方程为1364522yx例 7求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程解：设所求椭圆方程为122nymx(0m，0n)由)2,3(A和)1,32(B两点在椭圆上可得, 11)32(,1)2()3(2222nmnm即, 112, 143nmnm所以151m，51n故所求的椭圆方程为151522yx例 8 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长分析：可以利用弦长公式
9、4)(1 (1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解： (法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解2121xxkAB4)(1(212212xxxxk因为6a，3b，所以33c因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93xy由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而13484)(1(1212212212xxxxkxxkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF
10、1，nBF1，则mAF122，nBF122在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB例 9椭圆192522yx上的点M到焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，则ON（O为坐标原点） 的值为 A 4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
11、 - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载B2C8D23解 ： 如 图 所 示 ， 设 椭 圆 的 另 一 个 焦 点 为2F， 由 椭 圆 第 一 定 义 得10221aMFMF，所以82101012MFMF，又因为ON为21FMF的中位线，所以4212MFON，故答案为A说明： (1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即aMFMF221，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离例 10 已知椭圆13422yxC：，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对
12、称解：设椭圆上),(11yxA，),(22yxB两点关于直线l对称，直线AB与l交于),(00yxM点l的斜率4lk，设直线AB的方程为nxy41由方程组,134,4122yxnxy消去y得0481681322nnxx。13821nxx于是1342210nxxx，13124100nnxy，即点M的坐标为)1312,134(nn点M在直线mxy4上，mnn1344解得mn413将式代入式得048169261322mmxxA，B是椭圆上的两点，0)48169(134)26(22mm解得1313213132m例 11 在面积为1 的PMN中，21tanM，2tanN，建立适当的坐标系，求出以M、N为
13、焦点且过P点的椭圆方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设),(yxP则.1,21,2cycxycxy233435ccycx且即)32,325(P,43, 13412252222baba得.3,41522ba所求椭圆方程为1315422yx例 12 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程解：设所求直线方程为)4(2xky代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8)14(222kxkkxk设直线与椭圆
14、的交点为),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是的两根，14)24(8221kkkxx)2,4(P为AB中点，14)24(424221kkkxx，21k所求直线方程为082yx例 13.已知 F1、F2是椭圆x2100y2641 的两个焦点， P 是椭圆上任意一点(1)若F1PF23，求 F1PF2的面积；(2)求 PF1 PF2的最大值解：(1)设 PF1m，PF2n(m0，n0)根据椭圆的定义得mn20.在F1PF2中，由余弦定理得PF21PF222PF1 PF2 cosF1PF2F1F22，即 m2n22mn cos3122.m2n2mn144，即(mn)23mn144.202
15、3mn144，即 mn2563.又SF1PF212PF1 PF2 sinF1PF212mn sin3，SF1PF21225633264 33. (2) a10，根据椭圆的定义得PF1PF220. PF1PF22PF1PF2，PF1PF2PF1PF2222022100，当且仅当PF1PF210 时，等号成立PF1PF2的最大值是 100. 练习题题型一求椭圆的标准方程例 1(1) 若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载距离为3，则椭圆的标准方程
16、为 _ ；(2)(2011 课标全国 ) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22. 过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为 16，那么椭圆C的方程为 _题型二椭圆的几何性质例 2已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1) 求椭圆离心率的范围；(2) 求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关(2012安徽 )如图，F1、F2分别是椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1) 求椭圆C的离心率；(2) 已知AF1B的面积为 40 3
17、，求a，b的值题型三直线与椭圆的位置关系例 3(2011北京 )已知椭圆G：x24y21. 过点(m,0) 作圆x2y21 的切线l交椭圆G于A，B两点(1) 求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2) 将|AB| 表示为m的函数，并求 |AB| 的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载设F1、F2分别是椭圆E：x2y2b21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且 |AF2| ，|AB| ，|BF2| 成等差数列(1) 求|AB| ；(2) 若直线l的斜率为 1，求b的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页