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1、学习必备 欢迎下载 椭圆标准方程典型例题 例 1 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程 解：设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF从椭圆定义知52221PFPFa即5a 从21PFPF 知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab 所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx 例 2 已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是
2、椭圆上一点，21PAA，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示）分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积 解：如图，设 yxP，由椭圆的对称性，不妨设 yxP，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF224coscPF 由椭圆定义知：aPFPF221 ，则2得 cos12221bPFPF 故sin212121PFPFSPFF sincos12212b 2tan2b 例 3 已知动圆P过定点 03，A，且在定圆 64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程 分析：关键是根据题意，列出点 P 满足
3、的关系式 解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点，即定点 03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为 4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx 学习必备 欢迎下载 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法 例 4 已知椭圆1222yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为
4、原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法 解：设弦两端点分别为11yxM，22yxN，线段MN的中点 yxR，则，yyyxxxyxyx222222212122222121 得 0221212121yyyyxxxx 由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有 0221212121xxyyyyxx，将代入得022121xxyyyx （1）将21x，21y代入，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342 yx 将代入椭圆方程2222 yx得041662 yy，0416436符合题意，0342
5、yx为所求 （2）将22121xxyy代入得所求轨迹方程为：04 yx（椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入得所求轨迹方程为：022222yxyx（椭圆内部分）（4）由得 ：2222212221yyxx，将平方并整理得 212222124xxxxx，212222124yyyyy，将代入得：轴所以在中可求出从而所求椭圆方程为或例已知椭圆方程长轴端点为焦一象限由余弦定理知由椭圆定义知则得故例已知动圆过定点分析键是根于定圆半径即点的轨迹是以为两焦点半长轴为半短轴长为的椭圆的方程学习必备 欢迎下载 224424212212yyyxxx，再将212121xxyy代入式得：2212422122
6、12xxyxxx，即 12122yx 此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决 例 5 已知椭圆1422yx及直线mxy（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程 解：（1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得 1422mxx，即012522mmxx 020161542222mmm，解得2525m（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx 根据弦长公式得 ：51025145211222mm解得0m方程为xy 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，
7、采用的方法与处理直线和圆的有所区别 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程 例 6 以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09 yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程 解：如图所示，椭圆131222yx的焦点为 031，F，032，F 点1F关于直线09 yxl：的对称点F的坐标为（9，6），直线2FF的方程为032 yx 解方程组09032yxyx得交点M的坐标为（5，4）此时21MFMF 最小 所求椭圆的长轴：562221FFMFM
8、Fa，53a，又3c，轴所以在中可求出从而所求椭圆方程为或例已知椭圆方程长轴端点为焦一象限由余弦定理知由椭圆定义知则得故例已知动圆过定点分析键是根于定圆半径即点的轨迹是以为两焦点半长轴为半短轴长为的椭圆的方程学习必备 欢迎下载 3635322222cab因此，所求椭圆的方程为1364522yx 例 7 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程 解：设所求椭圆方程为122 nymx(0m，0n)由)2,3(A和)1,32(B两点在椭圆上可得,11)32(,1)2()3(2222nmnm即,112,143nmnm所以151m，51n故所求的椭圆方程为15152
9、2yx 例 8 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长 分析：可以利用弦长公式4)(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求 解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解 2121xxkAB4)(1(212212xxxxk因为6a，3b，所以33c因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93 xy 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx设1x，2x为方程两根，所以1337221 xx，138
10、3621xx，3k，从而13484)(1(1212212212xxxxkxxkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解 由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF 1，nBF 1，则mAF 122，nBF 122 在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB(法 3)利用焦半径求解 先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标 再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB 例
11、 9 椭圆192522yx上的点M到焦点1F的距离为 2，N为1MF的中点，则ON（O为坐标原点）的值为 A 4 轴所以在中可求出从而所求椭圆方程为或例已知椭圆方程长轴端点为焦一象限由余弦定理知由椭圆定义知则得故例已知动圆过定点分析键是根于定圆半径即点的轨迹是以为两焦点半长轴为半短轴长为的椭圆的方程学习必备 欢迎下载 B2 C8 D23 解：如 图 所 示，设 椭 圆 的 另 一 个 焦 点 为2F，由 椭 圆 第 一 定 义 得10221aMFMF，所以82101012MFMF，又因为ON为21FMF的中位线，所以4212 MFON，故答案为 A 说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之
12、和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即aMFMF221，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离 例 10 已知椭圆13422yxC：，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl 4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称 解：设椭圆上),(11yxA，),(22yxB两点关于直线l对称，直线AB与l交于),(00yxM点 l的斜率4lk，设直线AB的方程为nxy41由方程组,134,4122yxnxy消去y得 0481681322nnxx 。13821nxx于是1342210nxxx，13124100nnxy，即点M的坐标为)1312,134
13、(nn点M在直线mxy 4上，mnn1344解得mn413 将式代入式得048169261322mmxx A，B是椭圆上的两点，0)48169(134)26(22mm解得1313213132m 例 11 在面积为 1 的PMN中，21tanM，2tanN，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程 轴所以在中可求出从而所求椭圆方程为或例已知椭圆方程长轴端点为焦一象限由余弦定理知由椭圆定义知则得故例已知动圆过定点分析键是根于定圆半径即点的轨迹是以为两焦点半长轴为半短轴长为的椭圆的方程学习必备 欢迎下载 解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设),(yxP 则.1,
14、21,2cycxycxy233435ccycx且即)32,325(P,43,13412252222baba得.3,41522ba 所求椭圆方程为1315422yx 例 12 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程 解：设所求直线方程为)4(2xky代入椭圆方程，整理得 036)24(4)24(8)14(222kxkkxk 设直线与椭圆的交点为),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是的两根，14)24(8221kkkxx)2,4(P为AB中点，14)24(424221kkkxx，21k所求直线方程为082 yx 例 13.已知 F1、F2是椭圆
15、x2100y2641 的两个焦点，P 是椭圆上任意一点(1)若F1PF23，求F1PF2的面积；(2)求 PF1 PF2的最大值 解：(1)设 PF1m，PF2n(m0，n0)根据椭圆的定义得 mn20.在F1PF2中，由余弦定理得 PF21PF222PF1 PF2 cosF1PF2F1F22，即 m2n22mn cos3122.m2n2mn144，即(mn)23mn144.2023mn144，即 mn2563.又SF1PF212PF1 PF2 sinF1PF212mn sin3，SF1PF21225633264 33.(2)a10，根据椭圆的定义得PF1PF220.PF1PF22PF1PF2
16、，PF1PF2PF1PF2222022100，当且仅当PF1PF210 时，等号成立PF1PF2的最大值是 100.练习题 题型一 求椭圆的标准方程 例 1(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的轴所以在中可求出从而所求椭圆方程为或例已知椭圆方程长轴端点为焦一象限由余弦定理知由椭圆定义知则得故例已知动圆过定点分析键是根于定圆半径即点的轨迹是以为两焦点半长轴为半短轴长为的椭圆的方程学习必备 欢迎下载 距离为 3，则椭圆的标准方程为_；(2)(2011课标全国)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，
17、B两点，且ABF2的周长为 16，那么椭圆C的方程为_ 题型二 椭圆的几何性质 例 2 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关 (2012安徽)如图，F1、F2分别是椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为 40 3，求a，b的值 题型三 直线与椭圆的位置关系 例 3(2011北京)已知椭圆G：x24y21.过点(m,0)作圆x2y21 的切线l交椭圆G于A，B两点(
18、1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值 轴所以在中可求出从而所求椭圆方程为或例已知椭圆方程长轴端点为焦一象限由余弦定理知由椭圆定义知则得故例已知动圆过定点分析键是根于定圆半径即点的轨迹是以为两焦点半长轴为半短轴长为的椭圆的方程学习必备 欢迎下载 设F1、F2分别是椭圆E：x2y2b21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为 1，求b的值 轴所以在中可求出从而所求椭圆方程为或例已知椭圆方程长轴端点为焦一象限由余弦定理知由椭圆定义知则得故例已知动圆过定点分析键是根于定圆半径即点的轨迹是以为两焦点半长轴为半短轴长为的椭圆的方程