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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载椭圆标准方程典型例题4525可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为3和3的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程，过 P 点作焦点所在轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结45FFPF125PF22aPF1PF225a5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设两焦点为1 、2 ，且3，3从椭圆定义知sin12PF F即PF21可编
2、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从 PF1PF2知 PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在RtPF2F1 中，PF12 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可求出PF1 F22cPF16 ，cos6252b3，从而a 2c 2103 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x23y 213 x2y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所求椭圆方程为510或 105可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2221 ab0AAFF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 已知椭圆方程ab，长轴端点为1 ，2 ，焦点为1 ，2
3、， P 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆上一点，A1PA2，F1PF2求：F1 PF2 的面积（用a 、 b 、表示）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边， 从而利用1 ab sin C 2求面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：如图，设P x， y，由椭圆的对称性，不妨设P x， y，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限由余弦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢
4、迎下载精品名师归纳总结22F FPF2PF2 PFPFcos4c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理知：12121 22b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由椭圆定义知：PF1PF22a，就 2 得PF1PF21cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1 PFPFsin212bsinb 2 tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2F1 PF212故2 1cos2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 已知动圆 P 过定点 A3，0，且在定圆B：x3 2y 264
5、的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：关键是依据题意，列出点P 满意的关系式解：如下列图，设动圆P 和定圆 B 内切于点 M 动点 P 到两定点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即定点 A3，0和定圆圆心B 3，0距离之和恰好等于定圆半径，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 PAPBPMPBBM8 点 P 的轨迹是以A ， B 为两焦点，x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结半长轴为4，半短轴长为b423217 的椭圆的方程：167可编辑资
6、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载说明：此题是先依据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后依据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x例 4 已知椭圆2y2111P，（ 1）求过点22且被 P 平分的弦所在直线的方程。可
7、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）过A 2，1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程。kk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）椭圆上有两点P 、 Q ， O 为原点，且有直线OP 、 OQ 斜率满意OPOQ2 ，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设弦两端点分别为Mx1， y1， N x2， y2，线段 MN 的中点R x， y ，就可编辑资料 - -
8、- 欢迎下载精品名师归纳总结x1122y22，x2222y22，得x1x2x1x22 y1y2y1y2x1x2 2 y10 yy1y220可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x22x，由题意知x1x2 ，就上式两端同除以x1x2 ，有x1x2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1y22y，x将代入得2 y y1y20x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x（ 1）将11y2 ，2y1y2代入，得x1x212 ，故所求直线方程为：2x4 y30 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑
9、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2将代入椭圆方程x2 y2122 得 6 y6 y40 ，1364640符合题意， 2 x4 y30 为所求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1y2（ 2）将 x1x22代入得所求轨迹方程为：x 4 y0 （椭圆内部分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1y2（ 3）将 x1x2y 1x2 代入得所求轨迹方程为：x22 y 22x2 y0 （椭圆内部分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢
10、迎下载精品名师归纳总结xx2212（ 4）由得：222yy212，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将平方并整理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx4 x222122 x1x2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy4 y222122 y1y2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将代入得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下
11、载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 x22x1x2 44 y22 y1 y2学习好资料欢迎下载2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1 y2再将1x x1 22代入式得：2 x 2x1x24 y221 x x2122 ，即x2y1212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，仍可用其它方法解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 已知椭圆4x2y21
12、 及直线 yxm 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如直线被椭圆截得的弦长为5，求直线的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）把直线方程yxm代入椭圆方程4 x2y214 x2xm 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 5 x22mxm210 2m 245m2116m2200x1x2xx，解得2 m得，55m22m21x1 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1 ，2 ，由（
13、 1）得5，5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据弦长公式得：112222m4m1552105解得 m0 方程为yx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采纳的方法与处理直线和圆的有所区分 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式。解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，如能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 以椭圆 1213 的焦点为焦点，过直线l ： xy90 上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，可编辑资料 - -
14、 - 欢迎下载精品名师归纳总结点 M 应在何处？并求出此时的椭圆方程1x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：如下列图，椭圆123的焦点为F13，0， F23，0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 F1 关于直线l： xy90 的对称点F 的坐标为（ 9， 6），直线FF 2 的方程为 x2 y30 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解方程组x2y3xy900得交点 M 的坐标为（ 5， 4）此时MF1MF2最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
15、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所求椭圆的长轴：2aMF1MF2FF265 ， a35 ，又 c3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2a2c223532学习好资料欢迎下载x2y2361可编辑资料 - - - 欢迎下
16、载精品名师归纳总结因此，所求椭圆的方程为4536可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A3 ,2 和 B23 , 1 两点的椭圆方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设所求椭圆方程为22mxny1 m0 ， n0由 A3 ,2 和 B23 , 1 两点在椭圆上可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 3 2n 2 21,3m4n1,11x2y2可编辑资料 - - - 欢
17、迎下载精品名师归纳总结m 23 2n 121,即12mnm1, 所以n15 ，15 故所求的椭圆方程为155可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在 x 轴上的椭圆，过它对的左焦点F1 作倾斜解为3 的直线交椭圆于A ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 两点，求弦AB 的长分析：可以利用弦长公式AB21kx1x221k x12x2 4x1x2 求得，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212也可以利用椭圆定义及余弦定理，仍可以利用焦点半径来求解： 法 1利用直线与椭圆相交的弦长公式求解可编辑资料 - - - 欢迎下
18、载精品名师归纳总结AB1kx1x21k 2 xx 24x1 x2 由于 a6 ， b3 ，所以 c33 由于焦点在x 轴上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以椭圆方程为369，左焦点 F 33 , 0，从而直线方程为y3 x9 xx723可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由直线方程与椭圆方程联立得：13x 2723x3680 设x1 ，x2 为方程两根，所以1213，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x236813， kAB3 ，从而1k 2 xx1k 2 xx 2484 x1 x2 1
19、3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122 法 2利用椭圆的定义及余弦定理求解x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题意可知椭圆方程为3619，设AF1m ， BF1n ，就AF212m ，BF212n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22AFAF2F F2 AFF Fcos12m 2m23632 m 631可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在AF1F2 中，21121123 ，即2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m6n6ABmn48可编辑资料 - - - 欢迎
20、下载精品名师归纳总结所以43 同理在BF1F2 中，用余弦定理得43 ，所以13 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 法 3利用焦半径求解13x2723x3680xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先依据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根1 ，2 ，它们分别是A ， B 的横坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再依据焦半径AF1aex1，BF1aex2 ，从而求出ABAF1BF1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y21FMFON可编辑
21、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9椭圆 259上的点 M 到焦点1 的距离为2，N 为1 的中点， 就（ O 为坐标原点） 的值为 A 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载3B 2C 8D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 ： 如 图 所 示
22、， 设 椭 圆 的 另 一 个 焦 点 为F2 ， 由 椭 圆 第 一 定 义 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MF1MF22a10 ，所以MF210MF11028 ，ON1 MF4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 ON 为MF1F2 的中位线，所以22，故答案为A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明： 1椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
23、- - 欢迎下载精品名师归纳总结2 椭圆上的点必定适合椭圆的这肯定义，即关距离MF1MF22a ，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2C ：1ml： y4 xm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10 已知椭圆43，试确定的取值范畴，使得对于直线，椭圆 C 上有不同的两点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于该直线对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设椭圆上A x1 ,y1 ，B x2 ,y2 两点关于直线l 对称，直线AB 与 l 交于
24、M x0, y0 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1 xn, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k4y1 xnxy1,22y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 l 的斜率l，设直线AB 的方程为4由方程组43消去得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13 x28nx16n 2480x1x2。8nx013 于是x1x2 2y4n013 ，1 xn0412n 13，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即点 M 的坐标为4 n12n,1313点 M 在直线y4 xm 上， n4n
25、4m13解得13nm4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将式代入式得13 x226mx169m2480可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结213213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A ，B 是椭圆上的两点，26m24tan M113169 m2480 解得m1313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11 在面积为1 的PMN 中，2， tan N2 ，建立适当的坐标系，求出以M 、 N 为焦点且过P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点的椭圆方程可编辑资料 - - - 欢
26、迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习好资料欢迎下载解：以 MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设P x ,y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2 ,xc5y1 ,x3cxc22512a 243b 21,a215 ,可编辑资料 - -
27、 - 欢迎下载精品名师归纳总结cy1.就y4 c且c33P5,2 a 2b 23 ,2 即23344b得23.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4x2y21所求椭圆方程为153x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12 已知P4 , 2是直线l 被椭圆 3619所截得的线段的中点，求直线l 的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设所求直线方程为y2k x4) 代入椭圆方程，整理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4k 21) x28k 4k2x44k2 2360xx8k 4k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
28、设直线与椭圆的交点为A x1 ,y1 ，Bx2 ,y2 ，就x1 、 x2 是的两根，1224 k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4x1x24k 4k2k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 P4 , 2 为 AB 中点，24k 21x2y2，2 所求直线方程为x2 y80 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13.已知 F1、F2 是椭圆100 1 的两个焦点， P 是椭圆上任意一点64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1如 F1PF23，求 F1PF2 的面积。2求 PF1PF2 的最大值解：1设 PF1 m，PF2 nm0，n
29、0依据椭圆的定义得m n20.在 F1PF2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中，由余弦定理得PF2 PF2 2PF PF cos FPF F F2， 即 m2 n22mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12121212cos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33.122. m2n2 mn144，即m n2 3mn 144.202 3mn144，即 mn256 又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 1S12563643可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SF1PF2PF1PF2sin F1PF2mnsin， F1PF2
30、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22323232 a10，依据椭圆的定义得PF1 PF2 20. PF1 PF2 2PF1PF2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PF1PF2PF1PF22220 22100，当且仅当PF1PF2 10 时，等号成立 PF1PF2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的最大值是 100.练习题题型一求椭圆的标准方程例 11 如椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形。且焦点到同侧顶点的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页
31、- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载距离为3，就椭圆的标准方程为 。22021课标全国 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C的中心为原点，焦点F1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F2 在 x 轴上，离心率为22 . 过 F1 的直线 l交 C于 A，B 两点，且 ABF2 的周长为 16，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么椭圆 C的方程为 题型二椭圆的几何性质例 2已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点， P为椭圆上一点， F1PF2 60.(1) 求椭圆离心率的范畴。(2) 求证： F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关x2y22021 安徽 如图， F1、F2 分别是椭圆C： a2 b2