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1、概率论与数理统计试题（1）一 、 判断题（本题共15 分，每小题3 分。正确打“” ，错误打“” ） 对任意事件A 和 B，必有 P(AB)=P(A)P(B) ( ) 设 A、B 是中的随机事件, 则(AB)-B=A ( ) 若 X服从参数为 的普哇松分布，则EX=DX ( ) 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） 样本方差2nS=n121)(XXnii是母体方差DX的无偏估计（）二 、 （ 20 分）设 A、B、C 是中的随机事件，将下列事件用A、B、C 表示出来（ 1）仅A发生， B、C 都不发生；（ 2）,A B C中至少有两个发生；（ 3）,A B C中不多于两个发生；（ 4）,
2、A B C中恰有两个发生；（ 5）,A B C中至多有一个发生。三、 （15 分）把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、 （10 分）已知离散型随机变量X的分布列为210131111115651530XP求2YX的分布列 . 五、 （10 分）设随机变量X具有密度函数| |1( )2xfxe， x，求 X 的数学期望和方差. 六、 （15 分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查100 个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)PX. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 (x) 0.500 0.691 0.841
3、 0.933 0.977 0.994 0.999 七、 （15 分）设12,nXXX是来自几何分布1()(1),1,2,01kP Xkppkp，的样本，试求未知参数p的极大似然估计. 概率论与数理统计试题（1）评分标准一 ；。二解（1）ABC（2）ABACBC或ABCABCABCABC；（3）ABC或ABCABCABCABCABCABCABC；（4）ABCABCABC；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 38 页（5）ABACBC或ABCABCABCABC每小题 4 分；三解 设A三段可构成三角形 ，又三段的长分别为,xya
4、xy，则0, 0, 0 xayaxya，不等式构成平面域S.-5分A发生0, 0,222aaaxyxya不等式确定S的子域A，-10分所以1( )4AP A的面积S的面积-15分四解Y的分布列为014917111530530YP. Y 的取值正确得2 分，分布列对一组得2 分；五解| |102xEXxedx， （因为被积函数为奇函数）-4分22| |2012xxDXEXxedxx e dx2002xxx exe dx0022.xxxeedx-10分六 解Xb(k;100,0.20), EX=100 0.2=20, DX=100 0.20.8=16.-5 分30201420(1430)()()1
5、616PX-10分(2.5)( 1.5)=0.994+0.933-1 0.927.-15分七解1111(,;)(1)(1)niiinxnxnniL xxppppp-5 分1lnln()ln(1),niiLnpXnp1ln0,1niiXndLndppp-10分解似然方程11niinXnpp，得p的极大似然估计1pX。-15分S 0 a/2 a/2 a a A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 38 页概率论与数理统计期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3 分，共 15 分）1 设事件BA,仅发生一个的概率为0.3，且5.0
6、)()(BPAP，则BA,至少有一个不发生的概率为_. 2 设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(XPXP，则)3(XP_. 3 设随机变量X在区间)2,0(上服从均匀分布， 则随机变量2XY在区间)4,0(内的概率密度为)(yfY_. 4 设 随 机 变 量YX ,相 互 独 立 ， 且 均 服 从 参 数 为的 指 数 分 布 ，2) 1(eXP， 则_ ，1),min(YXP=_. 5 设总体X的概率密度为其它,0, 10,) 1()(xxxf1. nXXX,21是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_. 解： 13. 0)(BABAP即)(25. 0)()()()()()(3
7、. 0ABPABPBPABPAPBAPBAP所以1 .0)(ABP9. 0)(1)()(ABPABPBAP. 2eXPeeXPXPXP2)2(,) 1()0() 1(2由)2(4) 1(XPXP知eee22即0122解得1，故161)3(eXP. 3设Y的分布函数为( ),YFyX的分布函数为( )XFx，密度为( )Xfx则2()()()()()()YXXFyP YyP XyPyXyFyFy因为(0, 2)XU，所以()0XFy，即( )()YXFyFy故1,04,14( )( )()20 ,.YYXyyfyFyfyy其它另解在(0, 2)上函数2yx严格单调，反函数为( )h yy所以1,
8、04,14( )()20 ,.YXyyfyfyy其它42(1)1(1)P XP Xee，故2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 38 页min(,)11min(,)1PX YPX Y1(1) (1)P XP Y41e. 5似然函数为111(,;)(1)(1) (,)nnniniL xxxxx1lnln(1)lnniiLnx1lnln01niidLnxd解似然方程得的极大似然估计为1111lnniixn. 二、单项选择题（每小题3 分，共 15 分）1设,A B C为三个事件，且,A B相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若
9、()1P C，则AC与BC也独立 . （B）若()1P C，则AC与B也独立 . （C）若()0P C，则AC与B也独立 . （D）若CB，则A与C也独立 . （）2设随机变量(0,1),XNX的分布函数为( )x，则(|2)PX的值为（A）21(2). （B）2(2)1. （C）2(2). （D）12(2). （）3设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立 . （ B）()D XYDXDY. （C）()D XYDXDY. （D）()D XYDXDY. （）4设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2, 2)(2,3)11116
10、9183X YP若,X Y独立，则,的值为（A）21,99. （A）12,99. （C）11,66（ D）51,1818. （）5设总体X的数学期望为12,nXXX为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）1X是的无偏估计量 . （B）1X是的极大似然估计量. （C）1X是的相合（一致）估计量. （D）1X不是的估计量 . （）解： 1因为概率为1 的事件和概率为0 的事件与任何事件独立，所以（A） ， （B） ， （C）都是正确的， 只能选 （D）. 事实上由图可见 A 与 C 不独立 . 2(0,1)XN所以(| 2)1(|2)1( 22)PXPXPX1( 2 )(2 )1 2( 2 )1
11、2 1应选（ A）. 3由不相关的等价条件知应选（B）. S A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 38 页4若,X Y独立则有(2,2)(2) (2)P XYP XP Y112 1()()()393 929，19故应选（ A）. 51EX，所以1X是的无偏估计，应选（A）. 三、 （7 分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（ 1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
12、 解： 设A任取一产品，经检验认为是合格品B任取一产品确是合格品则（ 1）( )( )(|)() (|)P AP B P A BP B P A B0.90.950.10.020.857.（2）()0.90.95(|)0.9977()0.857P ABP B AP A. 四、 （12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：X的概率分布为3323()( ) ( )0,1,2,3.55kkkP XkCk即01232754368125125125125XP
13、X的分布函数为0,0,27,01,12581( ),12,125117,23,1251,3.xxF xxxx263,55EX231 83552 5DX. 五、 （10 分）设二维随机变量(,)X Y在区域(, ) |0,0,1Dx yxyxy上服从均匀分布. 求（ 1）(,)X Y关于X的边缘概率密度； （2）ZXY的分布函数与概率密度. 解：（1）(,)X Y的概率密度为1231111169183112331112918Y X 1 D y x+y=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 38 页2,( , )( , )0,
14、.x yDf x y其它22 ,01( )( , )0,Xxxfxf x y dy其它（ 2）利用公式( )( ,)Zfzf xzx dx其中2,01,01( ,)0,xzxxf x zx其它2, 01,1.0,xxz其它.当0z或1z时( )0Zfz01z时00( )222zzZfzdxxz故Z的概率密度为2 , 01,( )0 ,Zzzfz其它.Z的分布函数为200,00 ,0,( )( )2, 01,01,1 ,1.1,1zzZZzzfzfy dyydyzzzzz或利用分布函数法10,0 ,( )()()2,01,1,1.ZDzFzP ZzP XYzd x d yzz20,0,01,1,
15、1.zzzz2 ,01,( )( )0 ,ZZzzfzFz其它.六、 （10 分）向一目标射击， 目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立， 且均服从2(0,2 )N分布 . 求（ 1）命中环形区域22( , ) |12Dx yxy的概率；（2）命中点到目标中心距离22ZXY的数学期望 . 解：（1）, )( , )DP X YDf x y dxdy22222880111248xyrDedxdyerdrd2221122888211()8rrredeee；x z z=x x y 0 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
16、-第 6 页，共 38 页（2）22222281()8xyEZEXYxyedxdy2222880001184rrrerdrder dr2228880021222rrrreedredr. 七、 （11 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2( ,)XN，今抽取容量为16 的样本，测得样本均值10 x，样本方差20.16s. （1）求的置信度为0.95 的置信区间；（2）检验假设20:0.1H（显著性水平为0.05）. （附注）0.050.050.025(16)1.746,(15)1.753,(15)2.132,ttt2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,
17、(15)27.488.解： （1）的置信度为1下的置信区间为/ 2/ 2(1 ),(1 )ssXtnXtnnn0.02510,0.4,16,0.05,(15)2.132Xsnt所以的置信度为0.95 的置信区间为（9.7868， 10.2132）（2）20:0.1H的拒绝域为22(1)n. 221515 1.6240.1S，20.05(15)24.996因为220.052424.996(15)，所以接受0H. 概率论与数理统计期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3 分，共 15 分）（1） 设事件A与B相互独立，事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且( )( )0.5P AP B，()0
18、.2P C，则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为_. （2） 甲盒中有2 个白球和3 个黑球，乙盒中有3 个白球和2 个黑球，今从每个盒中各取2 个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为_. （3） 设随机变量X的概率密度为2 ,01,( )0,xxf x其它,现对X进行四次独立重复观察，用Y表示观察值不大于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 38 页0.5 的次数，则2EY_. （4） 设二维离散型随机变量(,)X Y的分布列为(,)(1, 0)(1,1)(2 ,0)(2 ,1)0.40.2XYPab若
19、0.8EXY，则Cov(,)X Y_. （5） 设1217,XXX是总体(,4)N的样本，2S是样本方差，若2()0.01P Sa，则a_. （注：20.01(17)33.4, 20.005(17)35.7, 20.01(16)32.0, 20.005(16)34.2）解： （1）()()()P ABCABCP ABCP ABC因为A与C不相容，B与C不相容，所以,AC BC，故ABCC同理A B CA B. ()()()0. 20. 50. 50. 4 5P AB CA B CP CP AB. （2）设A四个球是同一颜色的，1B四个球都是白球 ，2B四个球都是黑球则12ABB. 所求概率为2
20、2212()()(|)( )()()P ABP BP BAP AP BP B22223322122222555533(),()100100CCCCP BP BCCCC所以21(|)2P BA. （3）(4,),YBp其中10 . 522001(0. 5 )24pPXx d xx，113341,44444E YD Y，2215()144EYDYEY. （4）(,)X Y的分布为X Y1 2 0 0.4 0.1 0.5 1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.4 这是因为0.4ab，由0.8EXY得0.220.8b0. 1,0. 3ab0.620.41.4EX，0.5EY故c o v (,)0.
21、80. 7XYE X YE X E Y. （5）2216()4 0.014SP SaPa即20 . 0 1(1 6 )4a，亦即432a8a. 二、单项选择题（每小题3 分，共 15 分）（1）设A、B、C为三个事件，()0P AB且(|)1P CAB，则有（ A）()( )()1.P CP AP B（B）()().P CP AB（ C）()( )()1.P CP AP B（D）()().P CP AB（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 38 页（2）设随机变量X的概率密度为2(2)41( ),2xf xex且(0,1)
22、YaXbN，则在下列各组数中应取（ A）1/ 2,1.ab（B）2 / 2,2.ab（ C）1/ 2,1ab. （D）2 / 2,2.ab（）（3）设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为010.40.6XP010.40.6YP则有（ A）()0.P XY（B）()0.5.P XY（ C）()0.52.P XY（D）()1.P XY（）（4）对任意随机变量X，若EX存在，则()E E EX等于（ A）0.（B）.X（C）.EX（D）3() .EX（）（5）设12,nx xx为正态总体(,4)N的一个样本，x表示样本均值，则的置信度为1的置信区间为（ A）/ 2/ 244(,).xuxunn（
23、 B）1/2/ 222(,).xuxunn（ C）22(,).xuxunn（ D）/ 2/ 222(,).xuxunn（）解（1）由(|)1P CAB知()()P ABCP AB，故()()P CP AB()()()( )()( )( )1P CP ABP AP BP ABP AP B应选 C. （2）222( 2)(2)2(2)411( )222xxf xee即2(2 ,2)XN故当12,222ab时(0, 1)YaXbN应选 B. （3）()(0,0)(1,1)P XYP XYP XY0.40.40.60.60.52应选 C. （4）()E E EXEX应选 C. （5）因为方差已知，所以
24、的置信区间为/ 2/ 2(,)XuXunn应选 D. 三 、（ 8分 ） 装 有1 0件 某 产 品 （ 其 中 一 等 品5件 ， 二 等 品3件 ， 三 等 品2件 ） 的箱子 中 丢 失 一 件 产 品， 但 不 知 是 几 等品 ， 今 从 箱 中 任取2件 产 品 ， 结果 都精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 38 页是一等品，求丢失的也是一等品的概率。解： 设A从箱中任取2 件都是一等品iB丢失i等号1, 2, 3i. 则112233()()(|)()(|)()(|)P AP BP ABP BP A BP BP
25、 AB222554222999131221059CCCCCC；所求概率为111() (|)3(|)( )8P BP A BP BAP A. 四、 （10 分）设随机变量X的概率密度为1,02,( )0,.axxf x其它求（ 1）常数a；（2）X的分布函数( )F x；（ 3）(13).PX解： （1）222001( )(1)()222afx dxaxdxxxa12a（2）X的分布函数为00,0 ,()()(1),02 ,21,2.xxxuF xf u duduxx20,0,02,41,2.xxxxx（3）32111(13)( )(1)24xPxf x dxdx. 五、 （12 分）设(,)X
26、 Y的概率密度为0,( , ).0 ,xyxef x y其它求（ 1）边缘概率密度( ),( )XYfxfy；（2）(1)P XY；（3）ZXY的概率密度( )Zfz. 解 ： （1）00,0( )( ,),0.xXxxfxf x y dye dyx0,0,0.xxxex0,0( )( , ),0.Yxyyfyf x y dxe dxy0 ,0,0.yyey（2）11201(1)( , )yxyxyP XYf x y dxdye dx dyx+y=1 y y=x x 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 38 页1111
27、220()12yyeeedyee. （3）( )( ,)Zfzf xzx dx,0,2 ,( ,)0 ,.xexxzxf xzx其它当0z时( )0Zfz0z时22( )zzxzzZfze dxee所以20,0,( ),0.zZzzfzeez六、 （10 分） （1）设0,1XU，0,1YU且X与Y独立，求|EXY；（2）设(0,1),(0,1)XNYN且X与Y独立，求|E XY. 解：（ 1）|( ,)|E XYf x yxy dxdy111000()()xxxy dxdyyx dxdy13；（2）因,X Y相互独立，所以(0, 2)ZXYN(0, 1)22ZXYN22XYE，所以2|EXY
28、. 七、 （10 分）设总体的概率密度为101,( ;).0,xxf x其它(0 )试用来自总体的样本12,nx xx，求未知参数的矩估计和极大似然估计. 解： 先求矩估计1101EXx dx111故的矩估计为1XX再求极大似然估计11111(,; )()nnniniL xxxxx1lnln(1)lnniiLnx1lnln0niidLnxdzz=x x 0 z=2x1 1 y x 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 38 页所以的极大似然估计为111lnniixn. 概率论与数理统计期末试题（4）与解答一、填空题（每小
29、题3 分，共 15 分）（1）设()0.5P A,( )0.6P B,(| )0.8P B A，则,AB至少发生一个的概率为_. （2）设X服从泊松分布，若26EX，则(1)P X_. （3）设随机变量X的概率密度函数为1(1),02,( )40,xxf x其他.今对X进行 8 次独立观测，以Y表示观测值大于 1 的观测次数，则DY_. （4）元件的寿命服从参数为1100的指数分布，由5 个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100 小时以上的概率为 _. （5）设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布2( ,)N， 今随机地测量16 个零件，得1618iiX，162134iiX. 在置信度
30、0.95 下，的置信区间为_. 0 . 0 50 . 0 2 5(1 5)1. 7 5 3 1,(1 5)2. 1 3 1 5)tt解： （1）()( )()0.8(|)1( )0.5P BAP BP ABP B AP A得()0.2P AB()()()()1.10.20.9P ABP AP BP AB. （2）222( ), 6()XPEXDXEX故2. (1)1(1)1(0)(1)P XP XP XP X222121 3eee. （3）(8,)YBp，其中2115(1)(1)48pP Xxdx53158888DY. （4）设第i件元件的寿命为iX，则1(),1,2,3, 4,5100iXE
31、i. 系统的寿命为Y，所求概率为125(100)(100,100,100)P YP XXX51 551(100)1 1.P Xee（5）的置信度1下的置信区间为/2/ 2(1),(1)SSXtnXtnnn16222110.5,162,1.4142,1615iiXSXXSn0.025(15)2.1315.t所以的置信区间为（0.2535, 1.2535）. 二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（）中，每小题3 分，共 15 分）（1）,ABC是任意事件，在下列各式中，不成立的是（ A）()ABBAB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
32、 - - - - - -第 12 页，共 38 页（ B）()ABAB. （ C）()ABABABAB. （ D）()()()AB CACBC. （）（2）设12,XX是随机变量，其分布函数分别为12( ),( )FxFx，为使12( )( )( )F xaF xbF x是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A）32,55ab. （B）22,33ab. （ C）13,22ab. （D）13,22ab. （）（3）设随机变量X的分布函数为( )XFx，则35YX的分布函数为( )YFy（A）(53)XFy. （B）5( )3XFy. （C）3()5XyF. （D）31()5Xy
33、F. （）（4）设随机变量12,XX的概率分布为101111424iXP1,2i. 且满足12(0)1P X X，则12,XX的相关系数为12X X（ A） 0. （ B）14. （C）12. （D）1. （）（5）设随机变量10,6,(12,)4XUYB且,XY相互独立，根据切比雪夫不等式有(33)P XYX（ A）0.25. （B）512. （C）0.75. （D）512.（）解： （1） （ A） ：成立，（B） ：()ABABAB应选（ B）（ 2）()1Fab. 应选（ C）（ 3）( )()(35)(3) /5)YFyP YyPXyP Xy331()1()55XyyPXF应选（ D
34、）（ 4）12(,)XX的分布为X2 X11 0 1 1 0 140 140 140 14121 0 140 1414121412120,0,0EXEXEX X，所以12cov(,)0XX，于是120X X. 应选（ A）（ 5）(33)(| 3)P XYXP YX()0E YXEYEX92 1()344D YXDYDX由切比雪夫不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 38 页2154(| 3)1912P YX应选（ D）三 、（8分 ） 在 一 天 中 进 入 某 超 市 的 顾 客 人 数 服 从 参 数 为的 泊
35、松 分 布 ， 而 进 入超市的每一个人购买A种商品的概率为p，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有k个顾客购买A种商品的概率。解： 设B一天中恰有k个顾客购买A种商品0, 1,knC一天中有n个顾客进入超市,1,nkk则()()()(|nnnnknkP BP C BP CP BC(1)!nkkn knnke C ppn()(1)!()!kn kn kn kpepknk()!kppek0, 1,k. 四、 （10 分）设考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为 72 分， 96 以上的人占考生总数的2.3%，今任取100 个考生的成绩，以Y表示成绩在60 分至 84
36、 分之间的人数，求（1）Y的分布列 . （2）EY和DY. ( 2 )0. 9 7 7 ,(1)0. 8解： （1）(100,)YBp，其中8472(6084)()pPX607212()2()1由9 67 22 40. 0 2 3(9 6 )1()1()P X得24()0.977，即242，故121所以2(1)10.6826p. 故Y的分布列为100100()(0.6826) (0.3174)kkkP YkC（2）1000.682668.26EY，68.260.317421.6657DY. 五、 （10 分）设(,)X Y在由直线21,0 xxey及曲线1yx所围成的区域上服从均匀分布，（1）
37、求边缘密度( )Xfx和( )Yfy，并说明X与Y是否独立 . （2）求(2)P XY. 解： 区域D的面积22111ln2eeDSdxxx(,)X Y的概率密度为y 2 x y=1/x D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 38 页1,( , ),( , )20,x yDf x y其它.（1）1201,1,( )( , )20,.xXdyxefxf x y dy其它21,1,20 ,.xex其它2211211,1,21,1,()( ,)20,eyYdxyedxeyfyf x y dx其它2221(1),1211,122
38、0,eyeeyy其它（2）因( , )( )( )XYf x yfxfy，所以,X Y不独立 . （3）2(2)1(2)1( , )xyP XYP XYf x y dxdy1113110.752244. 六、 （8 分）二维随机变量(,)X Y在以( 1, 0), (0, 1), (1, 0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求ZXY的概率密度。解1：(,)X Y的概率密度为1,( , ),( ,)0,.x yDf x y其它设Z的概率密度为( )Zfz，则( )(,)Zfzfzyy dy1 ,01,211(,)0,yyzf zyy其它当1z或1z时( )0Zfz当11z时1201( )2zZ
39、zfzdy所以Z的密度为1 1 zy 0 y y x+y=z1 0 1 x D1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页1,| | 1,( )20,.Zzzfz其它解2：分布函数法，设Z的分布函数为( )ZFz，则( )()()( ,)ZxyzFzP ZzP XYzf x y dxdy120,1,0,1(1),11,11,41,1.1,1Dzzzdxdyzzzz故Z的密度为1,| | 1,( )( )20,.ZZzzfzFz其它七、 （9 分）已知分子运动的速度X具有概率密度22()34,0,0,( )0,0.xxex
40、f xx12,nxxx为X的简单随机样本（1）求未知参数的矩估计和极大似然估计；（2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。解： （1）先求矩估计23()1304xxEXedx222()()0024xxxexedx22X再求极大似然估计22()1314(,;)ixninixL XXe32214 ()nnnnxx2211niixe2221211ln3 lnln(4 )ln()nnnniiLnxxx231l n320niiLnxd得的极大似然估计2123niixn，（2）对矩估计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 38 页222
41、EEX所以矩估计2X是的无偏估计 . 八、 （5 分）一工人负责n台同样机床的维修，这n台机床自左到右排在一条直线上，相邻两台机床的距离为a（米） 。假设每台机床发生故障的概率均为1n，且相互独立，若Z表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走的路程，求EZ. 解： 设从左到右的顺序将机床编号为1, 2, nX为已经修完的机器编号，Y表示将要去修的机床号码，则11(),(),1,2,P XiP Yji jnnn21(,)()()P XiYjP Xi P Yjn|Zij a于是11|(,)nnijEZij aP XiYj2111|nnijij an2111()()ninijj iaijjin2
42、(1).3nan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页概率论与数理统计试题（5）一、判断题（每小题3 分，本题共15 分。正确打“” ，错误打“” ）设 A、B 是中的随机事件 , 必有 P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) 设 A、B 是中的随机事件 , 则 AB=A AB B ( ) 若 X 服从二项分布b(k;n,p), 则 EX=p ( ) 样本均值X= n1niiX1是母体均值EX 的一致估计（）XN(,21) , YN(,22) ，则XYN(0, 2122) （）二、计算（ 10 分）（ 1）教室里有
43、r个学生，求他们的生日都不相同的概率；（ 2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. 三、 （10 分）设( )0,()0P AP B，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立. 四、 （15 分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分， 96 分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率。分布表如下x 0 1 1.5 2 2.5 3 (x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 五、 （15 分）设(,)X Y的概率密度为(),0,0,( , )0,.x
44、yexYf x y其他问,X Y是否独立？六、 （20 分）设随机变量服从几何分布，其分布列为1()(1)kP Xkpp，01,1, 2,pk求EX与DX七、 （15 分）设总体X服从指数分布(),( ;)0,.xexf x其他试利用样本12,nXXX，求参数的极大似然估计. 八概率论与数理统计试题（5）评分标准一 ；。二解（1）设A他们的生日都不相同，则365( )365rrPP A-5分（2）设B至少有两个人的生日在同一个月，则212223214121141241212441( )1296C C PC CC PCP B；或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
45、- - - - - -第 18 页，共 38 页412441( )1()11296PP BP B-10分三 证若A、B互不相容，则AB，于是()0()()0P ABP A P B所以A、B不相互独立 .-5分若 A 、B相互独立，则()( )( )0P ABP A P B，于是AB，即A、B不是互不相容的.-5分四解9 67 22 40. 0 2 3(9 6 )1()1()P X-3分242412()0.977,2,1.-7分所求概率为847 26 07 21 21 2( 6 08 4 )()()()()PX-12 分=2（1）-1=2 0.841-1=0.682-15分五解边际密度为00,0
46、,0 ,0,( )( , ),0.,0;Xxxyxxfxf x y dyexe edyx-5 分0 ,0,( ),0.Yyyfyey-10分因为(,)()()XYf x yfxfy，所以,X Y独立 .-15分六解1111111(1)()kkkkkkkkxqxqEXkpppkqpxpx-8 分其中1qp由函数的幂级数展开有011kkxx，所以21111.1(1)x qx qEXppxxp-12分因为221211()(1)kkxqx qkkxEXk pqp xxpx22pp-16 分所以2222221().pqDXEXEXppp-20分七解1()11(,;),1,2, .niiinxnxniiL
47、 XXeexin1lnniiLnX-8分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 38 页ln0dLnd由极大似然估计的定义，的极大似然估计为(1)x-15分概率论与数理统计试题（6）一、判断题（本题共15 分，每小题3 分。正确打“” ，错误打“” ）设 A、B 是 中的随机事件，则A （）对任意事件A 与 B，则有 P(AB)=P(A)+P(B) （）若 X 服从二项分布b(k;n,p),则 EX=npq ( ) X N （，2 ） ，X1 ，X 2 ， Xn是 X 的样本，则 N（，2 ）（）X为随机变量，则DX=Cov
48、（X，X）-（）二、 （10 分）一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？. 三、 （15 分）在平面上画出等距离(0)a a的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长()l la的针，求针与任一平行线相交的概率 . 四、 （15 分） 从学校到火车站的途中有3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望. 五、 （15 分）设二维随机变量 （X，Y）在圆域 x2+y2 a2上服从均匀分布， （1）求
49、X和Y的相关系数； （2）问是否独立？六、 （10 分）若随机变量序列12,nXXX满足条件211lim()0niniDXn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 38 页试证明nX服从大数定律. 七 、 （ 10 分 ）设12,nXXX是 来 自 总 体( ,)F x的 一 个 样 本 ，1(,)nnXX是的 一 个 估 计 量 ， 若2,nnnnEkD且2limlim0nnnnk试证n是的相合（一致）估计量。八、 （10 分）某种零件的尺寸标准差为=5.2，对一批这类零件检查9 件得平均尺寸数据（毫米）：x=26.56,设
50、零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26 毫米（0.05） .正态分布表如下x 0 1.56 1.96 2.33 3.1 (x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999 概率论与数理统计试题（6）评分标准一；。二解设A任取一枚硬币掷r次得r个国徽，B任取一枚硬币是正品，则ABABA，-5分所求概率为( )(|)(|)() (|)()(|)P B P A BP BAP B P A BP B P A B12212rrrmmmnmnmnmnmn.-10分三 解设A针与某平行线相交 ，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。为针与平行线