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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、 大事的关系与运算1、设 A 表示大事“ 甲种产品畅销,乙种产品滞销”,就其对立大事 A 为（ A ）（A）“ 甲种产品滞销或乙种产品畅销”. （B）“ 甲种产品滞销”. （C）“ 乙种产品畅销”. （D）“ 甲种产品滞销,乙种产品畅销”. 8、 设 A、 、C 为三个大事,就大事“A、 、C 都不发生” 可表示为 C A ABC；B 1 ABC ；C A B C ；D A B C . 1、某地震现场应急工作组对震区三幢楼房开展建筑安全评估与鉴定,设大事 iA =第 i 幢楼房经评估鉴定为安全 （ i =1, 2, 3）；大事“ 恰有一幢楼
2、房经评估鉴定为安全”用 A 1、A 2、A 3 可表示为A A A 3 A A A 3 A A A ；二、 五大公式：3、设 X 在 1,2,3,4 中等可能取值, Y 再从 ,1 , X 中等可能取一整数,就P（Y 4）（A）；A 1/16 ；B 7/48；C 13/48；D 25/48.1、已知大事 A ,B 有概率 P A 0 4.,P B 0 5.,条件概率 P B | A .0 3,就 P A B 0.62 1、已知大事 A ,B 有概率 P A 0 4.,P B 0 5.,条件概率 P B | A .0 3,就 P A B 0.78 ；1 、 已 知 事 件 A , B 有 概 率
3、 P A 0 . 4, 条 件 概 率 P B | A .0 3, 就 P A B 0.28 ；1 、 设 A 、 B 、 C 是 三 个 事 件 ,P A P B P C 1 / 3,P AB P AC 0,P BC 1 / 4,就 P A B C 3/4（或 0.75）；1、设 P A 1 / 4,P B A 1 / 3,P A B 1 / 2,就 P A B 1/3 ；1 、 设 A“甲 地 发 生 春 季 旱 情、B“ 乙地发生春季旱情”是 两 个 随 机 事 件 , 且P A 1 / 4,P B A 1 / 3,P A B 1 / 2,就 C“ 甲或乙地发生春季旱 情”发生的概率为
4、1/3 ；1 、 已 知 P A P B P C 1 / 4,P AB 0,P AC P BC 1 / 6, 就- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - PABC5/12 ；1、已知 P A P B P C 1 / 4,P AB P BC 0,P AC 1 / 8,就 P A B C 5/8 ；1、已知 P A 1 / 2,P B 1 / 3,P AB 1 / 10,就 P A B 4/15 ；6、 设 A、B 是两大事,假如满意等式 PAB=PAPB,就称大事 A、B 相互独立；1、设 A“ 甲地房价下跌”、
5、B“ 乙地房价下跌”是两个随机大事,且 P A 3 / 4,P B A 2 / 3,P A B 1 / 2,就 C“ 甲或乙地房价下跌”发生的概率为；1、已知 P B b P AB c 且 b c ,就 P B A b-c ；3、设 A 、B 、C 是随机大事, A 与C互不相容,P AB 1/ 2, 1/ 3, 就 P AB C 3/4 ；1设大事 A 、 B 互不相容,PA p,P Bq,就PAB（D ）（A） 1pq. （B） pq . （C）pq. （D） p . 1、如P A 0 . ,5P B0 4. ,P AB.0 6,就P BA （ C ）A 0.2 ；B 0.45；C 0.6
6、；D 0.75；1、如P A 1/4 ,PBA 1 /,3PAB 1/2,就PAB（ C ）A 1/5 ；B 1/4；C 1/3；D 1/2；9、设P A 0.8, 0.7, P A B 0.8,就以下结论正确选项（A ）A A 与 B 相互独立 ；B A 与 B 互斥；C BA ；D P ABP A P B .8、对于任意大事A 和 B ,有P AB（C ）A P A P B ; B P A P BP AB ; C P A P AB ; D P A P B P AB . 9、设 A、B 为随机大事,且P B 0, P A B1,就必有（C ）A P ABP A ; B P AB P B ;
7、C P AB P A ; D P ABP B . - 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、从多年的教学体会可知, 一名二年级同学参与英语 CET4培训班集中培训后能超过 425分的概率为 0.8,不参与培训而能超过 425 分的概率为 0.4；假如这次有 70%的同学参与了培训；（1）任取我们班一名同学,求该同学超过 425 分的概率？（2）假如一名同学得分超过 425 分,就他参与过培训的概率有多大？解：设大事 A =“ 参与培训” , B =“ 英语 CET4成果超过 425 分” ,就P B A 0
8、 8. P B A 0 8.,P B A 0 . 4,P A 0 . 7 P A 3.0,所以（1）P B P A P B A P A P B A 0 7. 0 . 8 0 . 3 0 . 4 0 . 68；（2）P A B P AB P A P BA 0 7. 0 8. 0 . 823529；P B P B 0 . 681、在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占 25%、35%、40%,并且在各自的产品里,不合格品各占 5%、4%、2%；问：（1）全部螺丝钉的不合格品率为多少？（品,就该不合格品是甲厂生产的概率为多大？2）如现在从产品中任取一件恰是不合格解：设A 表示“ 螺
9、丝钉由甲台机器生产”,A 表示“ 螺丝钉由乙台机器生产”,A 表示“ 螺丝钉由丙台机器生产”, B 表示“ 螺丝钉不合格”；（1）由全概率公式P BP A 1P BA 1PA 2PBA 2P A 3P BA 3=0.25 0.05+0.35 0.04+0.40 0.02=0.0345；（5 分）（2）由贝叶斯公式P A 1B P A 1PBA 0 . 25.0050 . 362319（3 分）PB 0 . 03450.8,如换1、金鱼的主人外出,托付伴侣换水,设已知假如不换水,金鱼死去的概率为水,就金鱼死去的概率为0.15；有 0.9 的把握确定伴侣会记得换水；问：（1）主人回来金鱼仍活着的概
10、率？（水的概率为多大？2）如主人回来金鱼已经死去,就伴侣遗忘换解：设 A 表示“ 伴侣换水”, B 表示“ 金鱼仍活着”,就P A 0 . 9,P A0 1.,P BA 1.0 150 . 85,PBA 0. 15,PBA.02,PBA.08,（1）由全概率公式P BP A P BA P APBA=0.9 0.85+0.1 0.2=0.785； （5 分）（2）由贝叶斯公式P ABPAP BA0 . 1.080 . 372093 （ 8 分）P B1.0 7850.05,1、 已知一批产品中 90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求（
11、 1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率 . 解： 设 A“ 任取一产品,经检验认为是合格品” （ 2）- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - B“ 任取一产品确是合格品”就（ 1）P A AP B P A B P B P A B. （ 3）P B|0. 90. 9 50. 10. 0 2 （ 2）（2）P AB0.90.950.9977P A0.8571、有甲、乙、丙三个盒子,其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球；掷一
12、枚骰子,如显现1,2,3 点就选甲盒,如显现4 点就选乙盒,否就选丙盒；然后从所选的中盒子中任取一球；求：（1）取出的球是白球的概率；（2）当取出的球为白球时,此球来自甲盒的概率；解：设A =“ 选中的为甲盒”,A =“ 选中的为乙盒”,C =“ 选中的为丙盒”, D =“ 取出一球为白球” ,已知P A 3,P B 1,P C2666,P D A1,P D B2,P D C3 3 分 336（1）由全概率公式P D3161326234 2 分 636931（2）由 Bayes公式P A D6433 2 分 891、发报台分别以 0.6 和 0.4 的概率发出信号“ ” 和“ ” ,由于通信系
13、统受到干扰,当发出信号“ ” 时,收报台未必收到 “ ”,而是分别以概率 0.8 和 0.2 收到信号 “ ”和“ ” ,同样当发出信号“ ” 时,收报台分别以概率0.9 和 0.1 收到信号“ ”和“ ” ,求：（1）收报台收到信号“ ” 的概率；（ 2）当收报台收到信号“ ” 时,发报台是发出信号“ ” 的概率；解：设 A =“ 发出信号”, B =“ 发出信号” ,C =“ 收到信号 ”,已知P A 0 6.,P B 0 4.,P C A .0 8,P C B 0 1. 3 分 （1）由全概率公式P CPA PCA P BP CB 0 . 60 8.0 4.018.052 2 分 2 分
14、 PA P CA 0 . 6.012（2）由 Bayes公式P ACP C0 . 52131、某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂供应的；依据以往的记录有以下的数据：- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 元件厂次品率市场份额1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区分的标志；1在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率；2在仓库中随机地取一只元件,如已知取到的是次品,试分析此次品出自何厂的概率最大；解： 设 A = “ 取到
15、的一只元件是次品”,iB = “ 所取到的产品是由第i 家工厂供应的” ,i=1,2,3. 就P B 1=0 15 ,P B 2=0 80 ,P B 3=0 05 ,P A B 1=0 02 ,P A B 2=0 01 ,P A B 3=0 03 . （ 2 分）于是1 由全概率公式得P A =P A B P B 1 1+P A B 2 P B 2+P A B P B 3 3=0 0125 . （ 2 分）2 由贝叶斯公式得P B A =P A B P B 1=0 020 15=0 24 ,3 分）25%、35%、40%,P A 0 0125P B A =P A B P B 2=0 64 ,P
16、 B A =P A B P B 3=0 12 .P A P A 故这只次品来自于其次家工厂的概率最大； （1、在某工厂里有甲、乙、丙三条流水线生产灯泡,它们的产量各占并且各流水线生产灯泡中不合格品率分别为5%、4%、2%；问：（1）质检员现任取一只该厂灯泡,就该灯泡是不合格品的概率为多少？（2）如现在检出该只灯泡是不合格品,就该灯泡是甲厂生产的概率为多大？解：设A 表示“ 灯泡由甲台机器生产”,A 表示“ 灯泡由乙台机器生产”,A 表示“ 灯泡由丙台机器生产” , B 表示“ 灯泡是不合格品”, （ 2 分）（1）由全概率公式P BP A 1P BA 1PA 2PBA 2P A 3P BA 3
17、=0.25 0.05+0.35 0.04+0.40 0.02=0.0345； （ 3 分）（2）由贝叶斯公式 P A 1 B P A 1 P B A 0 . 25 .0 05 0 . 362319 （ 2 分）P B 0 . 034515、据美国的一份资料报导,在美国总的来说患肺癌的概率约为 0.1%,在人群中约有20%是吸烟者,他们患肺癌的概率约为 0.4%,试求：1不吸烟者患肺癌的概率是多少？2假如某人查出患有肺癌,那么他是吸烟者的可能性有多大？- 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 设 A = “
18、 吸烟” ,C=“ 患肺癌” ,就P 0.001, 0.2, P C A 0.004 （ 2 分）于是1 由全概率公式得P C =P C A P A +P C A P A A| （ 2 分）即0 . 0 0 10 . 0 0 4P 0 . 2 （ 1 分）得P C A0.000252 由贝叶斯公式得P A C = P C A P A= 0 20 004 = 0 8 （2 分）P C 0 001三、 三大致型 古典、几何、伯努利 2、设 10 件中有 3 件是次品；今从中随机地取 3 件,就这三件产品中至少有 1 件是次品的概率为 1 C 7 3 / C 10 3 或 17 / 24 ；2、已知
19、 10 件产品中由 2 件次品,在其中任取 2 次,每次任取一件,作不放回抽样,就其中一件是正品,一件是次品的概率为 16/45 ；2、10 张彩票中有 5 张是有奖彩票；从中任意抽取10 C 5C51 C 5 C4或113；555 C 105 C 101265 张,其中至少有两张中奖的概率为2、10 张彩票中有 5 张是有奖彩票；从中每次取一张,作不放回抽样,前 3 次都中奖的概率为 1/12 ；2、一部 4 卷的文集随机地排放在书架上, 卷号恰好是自左向右或自右向左的呈 1、2、3、4 排列的概率是 1/12 ；2、同时抛掷 3 枚均匀的硬币,就恰好有两枚正面朝上的概率为 0.375 ；2
20、、袋中有 10 个球（3 个红球, 7 个白球）,每次取 1 个,无放回地抽取两次,就其次次取到红球的概率为 0.3 ; 1、同时抛掷 3 枚均匀的硬币,就恰好有两枚硬币正面对上的概率为（ C ）A 1/8 B 2/8 C 3/8 D 4/8；1、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p ,就在第 4 次射击时恰好第 2 次命中目标的概率为（B ）A 4 p 2 1 p 2； B 3 p 2 1 p 2； C 2 p 2 1 p 2； D p 1 p 3；1、袋中有 5 个球（ 3 个红球, 2 个白球）,每次取 1 个,无放回地抽取两次,就其次次取到红球的概率为（A ）A 3
21、 ；B 3 ；C 1 ；D 3 ；5 4 2 101、 一同学接连参与同一资格证的两次考试；第一次及格的概率为 1/2.假如第一次及格那么他其次次考试及格的概率也为 1/2；假如第一次不及格那么他其次次及格的概率为- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1/4.假如两次中至少有一次及格他就能取得该资格证,就他取得该资格证的概率为 C A 1/8 ；B 3/8；C 5/8；D 7/8.2、已知某型电子器件寿命X 以天计 的概率密度函数为ffx10,x10 ,（1）求 X 的分布函数Fx.x2（2）现有一大批此种
22、器件 设各器件损坏与否相互独立,任取,0x10 .10 只,以 Y 表示寿命大于 15 天的器件的只数,求 Y 的分布律；解： （1 ） 因为当x10时 ,Fx x0 dx0,当x10时 ,Fx100 dxx10dx10x110,故Fx 110,x10 ,（4 分）x10x2100 ,x10 .xx（2）由于任意一只器件寿命X 大于 15 天的概率为p1F 15 2,3又各器件损坏与否相互独立,所以Y听从b 10 ,2,概率分布律为3P Xk102k110k,k0 ,1, 2 , 10 . （ 8 分）k332、已知随机变量X 的概率密度函数为x 1cosx 2,0x,（1）求 X 的分布函数
23、Fx .4 次,以 Y 表示大于/6的2（2）现对 X 独立地重复观看,0其他.次数,求 Y 的分布律；解 ：（ 1 ） 因 为当x0时 ,Fx x0 dx0, 当0x时 ,Fx00dx0x1c o s x dx2s i n x2xs i n x2,当x,Fx1,故20Fx0,xi x2,0,x, （ 4 分）sn1,x.（2）由于 X 大于/6的概率为p1 F/6 1sin/12 ,所以 Y 听从b 41,sin/12,概率分布律为P Xk41sin/12 ksin/12 4k,k0 ,1,2 4,3 . （4 分）k- 7 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 47
24、页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、 一维随机变量的分布及性质,1 X ,0 X 1 15设随机变量 X U ,1 2 ,令 Y,1 X 0 .,就 Y 的分布律为p k 13 230 , x 10 . ,4 1 x 14 、 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 是 F x , 就 X 的 分 布 律 是0 . ,6 1 x 3,1 3 xX 1 1 3,P 1 X 3 0.4 ；p k .0 4 0 2. 0 4.9、设随机变量 X 的概率密度为 f x x 12 , x ,1,令 Y ,1 X ,4,就 Y 的分布律为,0 x .1 ,2 X 4 .Y 1 2p k
25、 34 14；0 , x 10 . 6 , 1 x 14、随机变量 X 的分布函数是 F x ,就 P 1 X 3 0.4 ；0 . 8 , 1 x 3,1 3 x3、设离散型随机变量 X 的概率分布为 XP 1,11 0,1,1,21,就 P 1 X 32 = 1/4 ；8 8 4 20 , x 13、设 X 的分布函数是 F x 0 . ,3 1 x 1,就 X 的分布律是 X 1 1 3；0 . 7 , 1 x 3 p k 0 . 3 0 . 4 0 . 3,1 3 x0 , x ,14、设随机变量 X 的分布函数为 F x A B arcsin x , 1 x ,1 就 A = 1/2
26、 , B = 1/；,1 x 1 .k3、设离散型随机变量 X 的分布律为 P X k ,k ,1 2 ,就参数 1/2 ; k2设离散型随机变量 X 的分布律为 P X k ,k ,1 ,2 且 0,就参数（A）1（B）1（C）1（D）不能确定（C ）1 1- 8 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、设离散型随机变量X 的分布律为P Xkk,k2,1 ,就参数（ D ）A 1/5 ；B 1/4；C 1/3；D 1/2；3、设连续型随机变量 X 的概率密度为 f x A2 , x,就参数 A（ D ）1 xA
27、 0 ；B 1；C ；D 1 /；k2、设随机变量 X 的概率分布律为 P X k b , b ,0 k ,1 2 ,就参数（ C）A 0 的任意实数；B b 1； C 1；D 1；b 1 b 1k2、设随机变量 X 的概率分布律为 P X k 3 , k ,1 ,2,就参数（ C）A 0 的任意实数；B 4 ；C 1 ； D 1 . 4 2k2、设离散型随机变量 X的分布律为 P X k ,k ,1 ,2,就参数（ D ）A 1/5 ；B 1/4；C 1/3；D 1/2.4、假设某潜在震源区年地震发生数 X听从参数为 2 的泊松分布, 就将来一年该震源区发生至少2一次地震的概率为 1 e；五
28、、 连续型概率密度与分布函数的相关运算5 、 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为Fx 0,1ex,x00, 就 概 率 密 度 函 数 为0xfx 0ex,x0；x0,1,就随机变量 X 的概率密度函数为0 ,x4、随机变量 X 的分布函数是Fxx2,0x1 .,1xfx 2x ,0x,1；0 ,其他 .0 ,1,就随机变量 X 的概率密度函数为,0x4、随机变量 X 的分布函数是Fx x,0x.1,1x- 9 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - fx1/2x,0x,1；0 ,其他.5 、 设 随
29、 机 变 量 的 概 率 密 度 为fx 43 x, 0.x,1, 如P Xa P Xa , 就,0其他a1/4 2；4KxK20有实根的7、随机变量 K 在 ,0 5 内听从均匀分布,就关于x 的方程4x2概率为 _3/5（或 0.6）_；4、设随机变量A 在 ,16 上听从均匀分布,就方程x2Ax10有实根的概率为4/5 或 0.8 ；3、随机变量 X 的概率密度为f x ax1,0x2,； 或时 ,0,其它.求（ 1）常数a；（2） X 的分布函数Fx；（3）P1X3 解：（1）由于fx dx2 0ax1dx2 a21,所以a1/2. （3 分）0 ,x,0,0x,0（2）由于Fx xf
30、 t dtx 0 1t1 dt, 0x2xx20,x,2（4 分）24,1x2 .,1x.2（ 3 ） 因 为 X 为 连 续 型 随 机 变 量 ,P 1X3F3F1 1 11144P1x33f x dx21xdx1（4 分）11242、随机变量 X 的概率密度为fx Aex ,x,求（ 1）常数 A ；（2）P 0X1；（3） X 的分布函数Fx ；解：（1）1fx dxAexdx2A0exdx2Aex02 A,A1 （2 分）2（2）P 0Xx111exdx1e1. （ 2 分）x00220Fx xftdtx1t edt1x e, 当（ 3 ） 当时 ,22Fx xf tdt01t ed
31、tx 1etdt1et01etx11ex,2022202- 10 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - X 的分布函数为Fx1 2ex,ex,x,0 （3 分）11 2x0 .,0 x ,12、设连续型随机变量 X的分布函数为 F x A B arcsin x , 1 x ,1 求,1 x 1 .（1） A 和 B ；（2）P X 1 / 2 ；（3）概率密度函数 f x ; （4）E X . 解：（1）F 1 0 A arcsin 1 0 F 1 0 ,A 1 B 1 . 2 分F 1 0 A arcsin 1 1 F 1 0 22 P X 1 / 2 F 1 / 2 F 1 / 2 0 5. 2 分1（3）f x 1 x 2 , x ,1 2 分（4）E X 11 x 12dx 0 2 分0 , x 1 . 1 x kx , 0 . x 3 ,2、设随机变量 X 具有概率密度 f x = . 2-x, 3x 4 ,. 0 , 2其它 .1 确定常数 k；（2）求 X 的分布函数 F x ；（3）求 P 1 X . 7 .2解：1 由 f x d x ,1 得0 3kx d x3