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1、刚体力学三、力矩的功三、力矩的功在转动平面内在转动平面内rdFdw sinrdF dFR sin Md 21 MdwdW轴轴 drdRF 力对转动刚体做的元功等于相应力对转动刚体做的元功等于相应的力矩和角位移的乘积。的力矩和角位移的乘积。四、四、刚体刚体定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 2121 dJMdW 21 ddtdJ 21 dJ21222121 JJ 力矩的功力矩的功=刚体刚体定轴转动动能的增定轴转动动能的增量量( (刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理) )五、五、定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理刚体的平动动能刚体的平动动能221tiiktvmE 221tiivm 2
2、21tmv 各质元平动各质元平动速度相同速度相同im tvCirrv 各质元转动各质元转动角速度相同角速度相同刚体的重力势能刚体的重力势能 miipghmE mhmmgmii Cim chihcmgh 刚体的任何运动总动能都可刚体的任何运动总动能都可以分解为刚体质心的平动动以分解为刚体质心的平动动能和刚体绕质心的转动动能能和刚体绕质心的转动动能定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：质点系功能原理对刚体仍成立：ABEEWW 内内非非外外系统机械能包括系统机械能包括刚体重力势能刚体重力势能、刚体刚体平动动能及平动动能及刚体定轴转动动能刚体定轴转动动能当当0, 0 内内非非
3、外外WW时，系统机械能守恒时，系统机械能守恒例：足球与滑块在斜坡上，谁快？例：足球与滑块在斜坡上，谁快？例例3 3、已知：、已知：定滑轮（可视为均匀圆盘）定滑轮（可视为均匀圆盘）质量质量M、半径、半径R R(J=MR2/2) ；重物质量；重物质量m，忽略轴处摩擦及绳的质量。，忽略轴处摩擦及绳的质量。求：重物由静止下落求：重物由静止下落h 高度时的速度。高度时的速度。hv0=0解：取滑轮、重物和地球为研究对象，解：取滑轮、重物和地球为研究对象，由于只有保守重力做功，故机械能守恒由于只有保守重力做功，故机械能守恒取重物下落时为重力势能零点，则有取重物下落时为重力势能零点，则有0212122 mgh
4、mvJ 将将R 代入得代入得Mmmghv 24解：杆解：杆 地球系统，地球系统，只有重力作功，只有重力作功， E 守恒守恒例例4、已知均匀棒长、已知均匀棒长l、质量、质量m ，在竖直面内转动；在竖直面内转动；求：棒由水平静止自由摆动到求：棒由水平静止自由摆动到 角时的角速度。角时的角速度。 O l41 初始：初始： , 01 kE01 pE令令末态：末态：2221 okJE cpmghE 2 sin4lmg Cl41由平行轴定理由平行轴定理2mdJJco 22412 lmml4872ml 0sin4212 lmgJolg7sin62 4.4 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律对定轴或定点
5、：对定轴或定点：一、角动量定理一、角动量定理dtLdM LddtM 2121LLttLddtMLdtMtt 21外外力矩对时间的积累力矩对时间的积累刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 ziiiiizJrmvrmL 2）（外外 zttzJdtM 21角动量的增量角动量的增量当当, 0 zM外外常量常量 zJ二、角动量守恒定律二、角动量守恒定律角动量守恒实例：子弹、花样滑冰、转椅角动量守恒实例：子弹、花样滑冰、转椅例例5、已知均匀棒长、已知均匀棒长l、质量、质量M ，在竖直面内转动，一质量，在竖直面内转动，一质量为为m 的子弹以水平速度的子弹以水平速度v 射入棒的下端，求棒与子弹开始射入棒的
6、下端，求棒与子弹开始一起运动时的角速度及摆动可达最大角度。一起运动时的角速度及摆动可达最大角度。v 解：子弹射入瞬间，（子弹解：子弹射入瞬间，（子弹+棒）关于定棒）关于定轴的外力矩为零，系统角动量守恒轴的外力矩为零，系统角动量守恒初态：初态：0 棒棒子子弹弹，LmvlL末态：末态： 2231MlLmlL 棒棒子子弹弹， )31(22Mlmlmvl lvMmm 33 v 摆动过程只有重力作功，（子弹摆动过程只有重力作功，（子弹+棒棒+地球）机械能守恒地球）机械能守恒初态：初态： 0212 pkEJJE，棒棒子子弹弹 末态：末态：)cos1(2)cos1(0 lMgmglEEpk，C)cos1(2
7、)cos1()31(21222 lMgmglMlmlglmMmMvm)2)(31(1cos22 例例6、半径、半径R、质量、质量M 的水平均匀圆盘可绕通过圆心的光滑竖的水平均匀圆盘可绕通过圆心的光滑竖直轴自由转动，其边缘有一质量直轴自由转动，其边缘有一质量m 的人，二者最初相对地面的人，二者最初相对地面静止，求当人绕盘一周时，盘对地面转过的角度？静止，求当人绕盘一周时，盘对地面转过的角度？解：（人解：（人+盘）关于转轴盘）关于转轴O 的外力矩为零，的外力矩为零， （人（人+盘）角动量守恒盘）角动量守恒xO以逆时针为正方向，在地面参照系以逆时针为正方向，在地面参照系 02122 MRmR021
8、Mm021 Mm 且且 2 222Mmm 平动和定轴转动平动和定轴转动牛顿第二定律牛顿第二定律定轴转动定律定轴转动定律 JM amF 动量定理动量定理角动量定理角动量定理）（外外 JdtMtt 21）（外外vmdtFtt 21动能定理动能定理动能定理动能定理 22121 JMd 22121mvrdFrr两个守恒律两个守恒律其数学表达式为其数学表达式为 x(t)=Acos( t+ )振动的速度和加速度为振动的速度和加速度为)sin( tAdtdxv)cos(222 tAdtxdax2 曲线法曲线法xA-A0 已知曲线已知曲线 A、T、 =/2022 xmkdtxd其中角频率其中角频率mk 合振幅合振幅A为为)cos(212212221 AAAAA