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1、2022年反函数教学设计教学设计 3.7 反函数 【高教版中职数学第一册第三章 3.7“反函数”第一节】 一、教材与学生的数学现实分析 1 现在的世界已进入信息时代， 计算机和互联网快速普及， 计算机科学和信 息科学蓬勃发展，由此促使了离散教学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基 本的概念之一。 映射也是日常生活中很多现象的抽象， 中学生学习映射的概念 . 有多 方面的用处， 本教材就是运用映射的观点阐述反函数的概念， 给出了反函数的求法， 与传统的方法不同，我们的创新，使得反函数概念的本质简单理解，反函数的求法 严谨且易于驾驭。所以，抓住反函数这一典型课题，通过科学的设计，使学生亲历 将映
2、射的观念惯穿始终的由特别抽象到一般思维过程，感受学问的形成与发展规律 是至关重要的。 2 此前学生已经学习了映射的基本概念，同时也学习了函数的基本性质， 对于理论性的探讨有了初步的尝试，有了肯定得分析、对比、抽象概括的实力，但 终归以前接触的函数等学问较为简洁，而反函数的学问较为抽象，因此本节的设计 更加详细、细致、突出学生的主动认知性。 3 考虑到中学生基础较差，辨析与理解力较低。所以本节应用两个较简洁 的例子引入，而且应用了“对应法则”这个很熟识的词来找寻互为反函数的关系， 又将其应用至求反函数的整个过程中，使学生原本厌学的心情有所转化，激发他们 的学习爱好，进一步培育他们的学习实力。 通
3、过以上分析，可得出： 1） 学习重点和难点：重点是反函数概念的理解、应用和在代数中有着重要 和广泛应用的由特别到一般的化归思想；难点是反函数概念的理解。 2） 教学方法：引导类比探究法，从详细到抽象，让学生充分感受和理解知 识的发生、发展过程，绽开学生的思维，培育学生抽象概括实力。 3 ）教学工具：多媒体教学 二、教学目标 学问目标：对反函数概念的理解。 给定函数的反函数的求法。 实力目标：让学生亲自体验学问的形成过程，加深对学问及其内在联系的理解，并 进一步强化映射、函数学问的应用。培育学生的逻辑推理、逆向思维、 发散思维、综合归纳的实力。 情感目标：培育学生对立统一的辩证唯物主义观点。 在
4、民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感沟通。 三、教学过程 教 学 过 程 设计说明 问题：函数 y = 3x 与函数 y = 1 3 x 的对应法则有 映射的对应 什关系？ 法则是学生以前 学习过且重点讲 述的的问题，所 创 反函数引入问题 题 简洁化，既复习 情 旧学问又使学生 境 对本节产生爱好 学生自主思索、探讨，体会学问的产生及形成过程， 数学的新旧知 进而把握概念的实质。老师可依据实质状况进行必要的思 识之间有特别紧 维点拨，使学生全面、精确的得到： 密的联系，老师 y = 3x y = 1 3 x 要引导学生用旧 学 把-1 对应到 -3 把-3 对应到 -1 学问发觉新问题 把
5、 1 对应到 3 把 3 对应到 1 产生新须要，要 生 把 2 对应到 6 把 6 对应到 2 给学生留有充分 , , 的思维空间， 启 自 把 a 对应到 b = 3a 把 b = 3a 对应到 a 发学生从问题出 发，联系有关知 主 函数 y = 3x 与 y = 1 3 x 的对应法则正好是相反的： 识 y = 3x 把 a 对应到 b = 3a 从不同角度、不 探 y = 1 3 x 把 b = 3a 对应到 a. 同方面相识问题。 很自然地可以把 y = 1 3 x 叫做 y = 3x 的反函数，也可以 用对比的方法得 索 把 y = 3x 叫做 y = 1 3 x 的反函数，他们
6、互为反函数。 到两个特别函数 那么简要概述以上过程，同学门可以形象的表示为： 的映射关系，再 和 用一般字母 a 和 教 学 过 程 设计说明 R y=3x R b 统一表示，充 研 分反映了两个函 a b=3a 数的特别对应关 系，同时映射的 究 y= 1 3 x 引入，又使学生积 极主动的参加 突出了学问的 形成过程。 函数 y = 3x 的定义域为 R1，值域为 R2，既在 R1 中 数学概念的形成 辩 每一个元素 a，在R2 中只有一个元素 b , 使得 b=3a, 离不开抽象与概括， 析 而函数 y = 1 3 x 又告知我们在 R2 中每一个元素 b， 因此要让学生亲自 在 R1
7、中只有一个元素 a, 使得 b = 3a, 经验由详细到抽象， 研 把 b 对应到 a 的映射 y= 1 3 x 称为映射 y = 3x 的反 概括事物本质属性 讨 数 。 的过程， 以培育学 所以，想要找寻到函数 y = 3x 的反函数 ，关键的 生形成数学概念的 问题是要看在 R2 中每一个元素 b， 在 R1 中只有一个元 概括实力，老师要 与 素 a 形成 R2 到 R2 的映射，若有，则此映射既为原函数 依据状况确定介入 的反函数。 程度， 使概念完整 抽 通过对函数 y = 1 3 x 、y = 3x 的探讨、探讨，同学 的呈现在学生面前。 象 们自然会考虑到一般的反函数的定义：
8、另外， 这种讲解方 一般的，设函数 y =f (x) 的定义域为 A，值域为 B。 法，把反函数概念 假如对于 B中的每一个元素 b，在 A 中只有一个元素 a 的本质清楚的揭示 使得 f(a) = b, 那么把 b 对应到 a 的映射称为 y=f(x) 的 出来，使学生能直 概 反函数，记作 y = f -1 ( x ) 观的、朴实的相识 A y=f(x) B 到有反函数的条件。 括 A a b -1 y = f ( x ) 1） 从定义得的出过程可以看出：假如函数 y = f(x) 反思有利于学生 有反函数，那么对思维过程的自我 反 y = f (x) 的值域 B 是反函数 y = f -
9、1 (x) 的定义域，相识和自我限制， y = f(x) 的定义域 A 是反函数 y = f -1 (x) 的值域 形成良好的学问 思 f (a) = b , a A f -1 (b) = a , b B结构，从而促进新 2） 假如函数 y = f(x) 有反函数 y = f -1(x) ，那么 的思维角度、思维 与 y = f -1 (x) 也有反函数，并且 y =f -1 (x) 的反函数就是 形式的变换和更新 y = f (x) ，称他们互为反函数。 使学生的思维实力 评 3 ） 不是每一个函数都有反函数，让学生探讨函数认知方式得到优化。 y = x 2 有没有反函数， 价 得出：没有，
10、理由是：对于 y = x 2 的值域 R的一 个元素 4，在定义域 R中有两个元素 2 和-2 ，使得： a 2 2 = 4 ， 2 = 4 这与反函数的定义不符 创问题： 求下列函数的反函数：问题的设置又 设 1 ）y = 2x + 1 一次让学生明确 问 2 ）y = x 求得函数反函数 题 3 ）y = 3x x 1 1 的逻辑思维过程， 情这是整节课始终 境视察分析这三个函数的特点，对求对数函数的过贯穿的用映射中 程进行探讨： 的对应法则来解 释反函数， 求得 反函数。 让学生充分的思索、探讨，并联系反函数定义的得出 要给学生留有 过程探求问题的解决途径， 可得到： 充分的时间进行 首
11、先要知道原函数 y=f(x) 的值域；才能推断出所求 思索相互之间也 思 出的函数是不是反函数 . 既先求出值域再求出反函数。 找求反函数的过程 据反函数的定义域 如： 得出过程来找寻， 教 学 过 程 设计说明 探 并留意函数 a 对应 练习题作业： 或课外作业 b ，而反函数 b 对 y=2x-5 究 应 a 的关系。 学生视察力 1 (2) y= 辩 x 的培育是不行忽 视的，老师要启 (3) y= 析 发同学视察、 分析 x 1 析，找寻特征， 归 纳解答方法。 引导学生反思本节课完全的学习过程， 使它们从 反思有利于学 学问、方法、实力三个维度上得到如下相识： 生进一步搞清学问 反
12、1 ）本节我们很好的利用映射中对应法则引入了 的产生及形成过程， 两个特别的函数， 通过对比找寻它们对应法则的关系， 驾驭获得学问的方 思 很自然的引入了反函数的概念， 揭示了反函数概念的本 法，提高学生分析 质，也为后来求得函数的反函数过程做好相应的铺垫。 问题、解决问题的 与 2 ）找反函数概念的过程，应用于实际问题中求 实力，以形成良好 函数的反函数，既巩固了概念，又深化了对概念的 的认知结构 评 理解，也感受了详细求反函数方法的科学性、重要性。 3 ）在学习得到和运用新概念的过程中，我们的 价 收获不仅是学问，更重要的是相识学问的过程，类比 转化的思想是学习数学的重要思想。 4）引导学
13、生反思与评价在本节课的学习活动中， 我们得到了互为反函数的两个函数，那么它们的图像 之间又有什么关系呢？ 课外试验： 在一张薄的白纸上画一个直角坐标系 Oxy，然后 为下一节课做铺 画出函数 y=3x 的图像 l 1, 和 y=3x 的图像 l 2, 再画出 垫，引出互为反函 直线 y=x. 将白纸沿直线 y=x 折叠， 视察 l 1 与 l 2 是 数的两个函数图像 否完全重合 ？ 之间的关系 第13页 共13页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页