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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版数学选修2 1第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若 p ，则 q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为p ，则 q ”，它的逆命题为“若q ，则 p ” .原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互
2、否命题. 中一. 若原命题为“若p ，则 q ”，则它的否命题为“若p ，则q ”.个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。p ，则 q ”，则它的否命题为“若q ，则p ”。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若6、四种命题的真假性：原命题真 真 假 假逆命题真 假 真 假否命题真 假 真 假逆否命题真 真 假 假四种命题的真假性之间的关系：12两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系ppq ，则
3、p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件q ，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件）7、若若8、用联结词“且”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作pq 当 p 、 q 都是真命题时，pq 是真命题；当p、 q 两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题用联结词“或”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作pq 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时，对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作 命题pq 是真命题；当、 q 两个命题都是假命题时，pq 是假命题pp 若 p 是真命题，则p 必是假命题；若p 是假命题，则p 必是真9、短语“对所有的
4、” 、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“含有全称量词的命题称为全称命题”表示xpxpx全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”x短语“存在一个” 、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示含有存在量词的命题称为特称命题”xp xpx特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，x10、全称命题p ：p x，它的否定p ：pxxx，。全称命题的否定是特称命题。特称命题p ：p xp ：px，它的否定x，。特称命题的否定是全称命题。x第二章：圆锥曲线知识点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化建立 适当的 直角坐标系；设动点及其他的点；Mx, y第1页精品
5、资料精品学习资料第 1 页，共 12 页找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程，并验证（查漏除杂）。F 1F 2）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点2、平面内与两个定点，的距离之 和等于常数（大于F1 F 2的距离称为椭圆的焦距。MF1MF22a 2a2c3、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 y 轴上焦点在 x轴上图形2222xaayyxb标准方程1 ab01ab02222baba 且xb 且范围bybayax、顶点0, b0,ab,0b,0a,0a,00,b0, a212112212b2a轴长短轴的长长轴的长、 F2、 F2c,0焦点F1 0,cF1c,00,
6、c222焦距，a 最大F1F2关于 x 轴、2c caby 轴对称，关于原点中心对称2对称性caba离心率e10e122aca 2c准线方程xyF1d1F2d2到 F1 对应 准线的距离为d1 ，点d2 ，则到 F2 对应 准线的距离为e。4、设是椭圆上任一点，点5、平面内与两个定点F 1 ，F 2 的距离之）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线差的绝对值 等于常数（小于F1 F 22c的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。MF1MF22a2a6、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在 y 轴上x焦点在轴上图形2222xyyxb标准方程1 a0, b01 a0, b02222axbaya 或
7、xa ，a 或ya ，范围yRxR、顶点a,0a,00,a0, a1212轴长2b2a虚轴的长实轴的长、 F2焦点F1c,0F2 c,0F1 0,c0, c第2页精品资料精品学习资料第 2 页，共 12 页222， c 最大焦距F1 F22c cabxy 轴对称，关于原点中心对称2关于轴、对称性caba离心率e1e1222aa准线方程xyccabba渐近线方程yxyx7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。F1F2到d1 ，点F2 对应 准线的距离为d。8、设是双曲线上任一点，点F对应 准线的距离为到，则e21dd12llF和一条定直线F的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点称为抛物线的焦点，定
8、直线称为抛物线9、平面内与一个定点的准线2 p 10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径” ，即11、焦半径公式：p2 ；、Fx02x , y00y2 pxp0F若点在抛物线上，焦点为，则p2p 2p 22Fx0x0 , y0y2 pxp0F若点在抛物线上，焦点为，则；Fy2x0 , y0x2 pyp00F若点在抛物线上，焦点为，则；2Fy0x0 , y0x2 pyp0F若点在抛物线上，焦点为，则12、抛物线的几何性质：2222y2pxy20pxx20pyx2py标准方程pp0pp0图形0,0顶点yx对称轴轴轴p2p2p2p2F0,焦点F, 0F, 0F0
9、,p2p2p2p2准线方程xxyy离心率范围ex10y0y0x0第三章：空间向量知识点：1、空间向量的概念：（ 1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量（ 2）向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向第3页精品资料精品学习资料第 3 页，共 12 页uuuruuur（ 3）向量的大小称为向量的模（或长度），记作（ 4）模（或长度）为0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量ararar（ 5）与向量长度相等且方向相反的向量称为（ 6）方向相同且模相等的向量称为相等向量的相反向量，记作2、空间向量的加法和减法：（ 1）求两个向量和的运算称为向量的
10、加法，r它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点rruuruC 就是为起点的两个已知向量a 、ba为邻边作平行四边形，则以起点的对角线Cr b与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则uuurr（ 2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作a ，uuurr buuurrb ，则r aa 的乘积rrrr aaa是一个向量，称为向量的数乘运算当时，与方向3、实数与空间向量0r为零向量，记为0 rrrrr0 时，a与 a 方向相反；当0 时，aaa相同；当的长度是的长度的倍rra ， b为实数，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律4、设，r
11、br brrrr分配律：；结合律：aaaa5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，r并规定零向量与任何向量都共线rrrrrr b， a / b，使 ab a ， b的充要条件是存在实数6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量07、平行于同一个平面的向量称为共面向量uuuruuuruuuryCx ， y ，使；或对空间任一定点8、向量共面定理：空间一点位于平面C 内的充要条件是存在有序实数对xuuuruuuruuur xuuuruuuruuuruuuruuurC， C 共面，则C ；或若四点，有yxyzxyz1r br， brrrr，作 uuur
12、r ， uuurr ，则aaa,b和，在空间任取一点称为向量的夹角，记作两9、已知两个非零向量abrr个向量夹角的取值范围是：a, b0,rrr brrrrra 和 ba ， ba，若，则向量互相垂直，记作10、对于两个非零向量a,b2rrr brrrrrrrrrrrrra 和 ba ， ba，则称为的数量积，记作即零向量与任何向a bcos a, b11、已知两个非零向量a ba bcos a,b0 量的数量积为rrrrrrr brr等于 a 的长度a与在 a 的方向上的投影ba b的乘积12、cos a, brrr若 a ， b为非零向量，e 为单位向量，则有13r brrrrre ar
13、ar era cosr r a,e21aab0 ；第4页精品资料精品学习资料第 4 页，共 12 页r brrr arrr br brrrrrra与 b同向a与 b反向rrrr2ab r br453r， a，；aaaaaaacos a,babr brrrraa14 量数乘积的运算律：rr brrr brr brr brrrrrrrraba ；231；aa baabcaccrrrrr ybr pr xara ， bc 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组，使得zc 15、空间向量基本定理：若三个向量x, y, zrrrrr ybrrp pr xarzc, x, y , za ， b， c 不
14、共面，则所有空间向量组成的集合是a ，这个集合可看作是由向量16、三个向量Rr brrrrrrra, b, c， c 生成的，a ，b， c 称为基向量称为空间的一个基底，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底uruurururuurur17、设 e1 ， e2 ， e3 为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以 e1 ， e2 ， e3 的公共起点为原点，ur e1uururr，的方向为 x 轴，轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系yp分别以e2e3则对于空间任意一个向量，一定可以把xyzuuurur xe1uur ye2urrr pze3 把 x ，y，
15、 z 称作它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p 存在有序实数组，使得x, y, zur e1uurur e3rrr ppp向量在单位正交基底，下的坐标，记作x, y, z此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐e2xyz标x, y, zr br a，则18、设x1 , y1, z1x2 , y2 , z2r br（ 1）ax1x2 , y1y 2 , z1z2r br a（ 2）x1x2 , y1y2 , z1z2r（ 3）ax1 ,y1 ,z1r br（ 4） az1z2 x1x2y1 y2rrr br brr（ 5）若 a 、 b为非零向量，则aa0x1x2y1 y2z1z20r（
16、6）若 br0 ，则rr brra / bax1x2 , y1y2 , z1z2rrr222（ 7）aaax1y1z1rrrrabx1 x2y1 y22z1z2（ 8） cos a, brr22222a bx1y1z1x2y2z2uuur222（ 9），则x2 , y2 , z2dx2x1y2y1z2z1x1, y1, z1uuuruuur来表示向量称为点的位置向量19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量rlllla 表示直线的方向20、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定点是直线上一点，向量第5页精品资料精品学习资料第 5 页，共 12 页u
17、uurrrlta ，这样点和向量 a 不仅可以确定直线ll向量， 则对于直线上的任意一点，有的位置， 还可以具体表示出直线上的任意一点r bra，21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为rruuurr ybrx, y与向量 a ， b为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点就确定了平面的位置xarra 称为平面r22、直线 l 垂直l 的方向向量a ，则向量的法向量，取直线r ，ba ， b 的方向向量分别为a，23、若空间不重合两条直线rr brrrrr br a则 a / ba / b，abaa b0Rrr的法向量为 n ，且a
18、24、若直线 a 的方向向量为a ，平面，rrrrrrrrrr则 a /a /，aaa / nanana n0r brr br br brrrrra，则，aa025、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为/a / barr b r brraa， b26、设异面直线a ， b 的夹角为，其夹角为，则有，方向向量为coscosrar lr所成的角为，lr l r lr nrrn ， l与 n 的夹角为l，平面的法向量为与，则有27、设直线的方向向量为sincosrnur28、设 n1uur，n2 是二面角uruur则向量，n2 的夹角 （或其补角）n1的两个面，的法向量，就是二面角的平面角的大小若
19、lur n1 ur n 1uur n 2 uur n 2二面角的平面角为，则lcosuuuruuur的模计算29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量uuurrrn ，则定点nuuuruuurr, nl30、在直线 l 上找一点l 的向量为到直线的距离为，过定点且垂直于直线dcosr nrn为 平 面的 一 个 法 向 量 ， 则 点到 平 面的 距 离 为31 、 点是 平 面外 一 点 ，是 平 面内 的 一 定 点 ，uuurrnuuuruuurr, ndcosrn数学选修2-2导数及其应用一 .导数概念的引入1.导数的物理意义：f ( x0x)xf ( x0 )瞬时速率。一般的，函数
20、f (x) 在 x，x0 处的瞬时变化率是ylimx0f ( xx)xf ( x )yf ( x) 在f (x0 )y |x我们称它为函数xx0 处的导数，记作或，即= limx 000f( x0 )x02.导数的几何意义：第6页精品资料精品学习资料第 6 页，共 12 页f ( xn )xnf (x0 )x0Pn 趋近于 P 时，直线PT曲线的切线 .通过图像 ,我们可以看出当点与曲线相切。 容易知道，割线 PPn 的斜率是，knf ( xn )xf (x0 )xPn 趋近于 P 时，函数当点yf ( x)xx0 处的导数就是切线在PT 的斜率 k，即klimx 0f(x )0n0y3.导函
21、数：当x 变化时，f ( x) 便是( x) 的导函数有时也记作,即f ( x)x 的一个函数，我们称它为的导函数 .yff ( xx)xf ( x)f ( x)limx 0二 .导数的计算基本初等函数的导数公式:1x , 则 f(x)x;1 若 f ( x)c(c 为常数 ) ，则f ( x)0 ；f ( x)2若3若f ( x)sin x ,则f ( x)cos x4若cosx ,则sin x ;f ( x)f ( x)xe ,则ax ,则若 f ( x)( x)a x lnf ( x)xe56若faf( x)1x ln a1xx af ( x)log7若,则8若f ( x)lnx , 则
22、f ( x)f (x)导数的运算法则 f ( x)g( x)f ( x)g ( x)f ( x) ? g ( x)1.2.f ( x) ? g ( x )f ( x) ? g ( x)f ( x) ? g ( x)f ( x)g( x)f( x) ? g( x)3. g( x) 2复合函数求导y 可以表示成为x 的函数 ,即f (u) 和 uyf ( g( x) 为一个复合函数g( x) , 称则yf( g( x) ? g(x)y三 .导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:(a, b) 内一般的 , 函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间0 ，那么函数在这个区间单调递增；(2
23、) 如果0 ，那么函数在这个区间单调递减.(1) 如果f ( x)yf ( x)f ( x)yf ( x)2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数( x) 的极值的方法是 :（ 1）如果在x0 附近的左侧( x0 ) 是极大值 ;0 ,右侧0 , 那么yff( x)f( x)f（2）如果在x0 附近的左侧是极小值 ;0 ,右侧0 ,那么f ( x)f( x)f (x0 )4.函数的最大 (小 )值与导数求函数（ 2）( x) 在 a, b 上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数f ( x) 在 (a, b) 内的极值；yfy将函数( x) 的各极值与端点处的函数值f
24、(a ) ， f(b) 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.yf推理与证明考点一合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质的过程 ,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理 ,归纳是从特殊到一般(或一致 ) 性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理 .类比推理的一般步骤:(1)(2)(3)找出两类事物的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质一般的 ,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,得出一个明确的命题,而是相互制约的( 猜想 );.如果两个事物在某些性质上相同或相
25、似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.第7页精品资料精品学习资料第 7 页，共 12 页(4)一般情况下 ,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理 (俗称三段论 )由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理 考点三数学归纳法.1.它是一个递推的数学论证方法.步骤 :A. 命题在 n=1（或 n0 ）时成立，这是递推的基础；2.B.假设在 n=k 时命题成立；C.证明 n=k+1时命题也成立,n0 ,且 nN完成这两步 ,就可以断定对任何自然数( 或 n=)结论都成立。考点三证明1.2.反证法 :2
26、、分析法 :3、综合法 :数系的扩充和复数的概念复数的概念R) 的数叫做复数，a 和 b 分别叫它的实部和虚部(1)复数 : 形如.abi( aR,bR) 中,当 b0 ,就是实数 ;b0 ,叫做虚数 ;当(2)(3)(4)(5)(6)分类 : 复数abi( aR,ba0, b0 时 ,叫做纯虚数.复数相等 : 如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.共轭复数 : 当两个复数实部相等, 虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的部分叫做虚轴。两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大
27、小。复数的运算1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行设z1abi, z2cdi ( a, b, c, dR) 则z( acbd)( adbc)i（ 1）（2）z1 ? z2( acbd)(adbc)iz1z2(ac)(bd)i（ 3）1(z0)222z2cd2,几个重要的结论22(3) 若 z 为虚数 , 则 | z |222222(1)(2)z| z1z2 | z1z2|2(| z1 | z2 | )z ? z| z | z |3.运算律mnm nmnmnnnnz? zz( z )z( z1 ? z2 )z1 ? z2 (m, nR)(1);(2);(3)4.关于虚数单位i 的一些固定结论：
28、（ 1） i 2（2） i3i（3） i 4i ni n 2i n 3i n4110（ 2）数学选修2 3第一章计数原理知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1 种不同的方法，在第二类办法中有M 2 种不同的方法，在第 N类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+M N 种不同的方法。2、分步乘法计数原理：做一件事， 完成它需要分成N 个步骤， 做第一步有 m1 种不同的方法， 做第二步有M 2 不同的方法，做第 N 步有 M N 不同的方法 .那么完成这件事共有N=M 1M 2.M N 种不同的方法。排成一列，叫做从n 个
29、不同元素中取出m 个元素的一个排列3、排列 ：从 n 个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序第8页精品资料精品学习资料第 8 页，共 12 页n!m)!4、排列数 ：mAn(n1)( nm1)( mn, n, mN )( nm( mn) 个元素并成一组，叫做从5、组合 ：从 n 个不同的元素中任取n 个不同元素中取出m个元素的一个组合。mAn(nn( n11)(nnmm!mm1)1)n!mmAn!6、组合数：mn Cnm nCmCnCn mnmm! (mn! (nm)! m)!AmAmmn m ;m1nmm 1CCCCC nnnnn0n1n 12n22rn rrnn(ab)C n a
30、C nabC nabC nabC nb7、二项式定理：rnrr展 开 式8、的二项通式项通项公公式式： Trb( r0 ， 1C n an)1第二章随机变量及其分布1、随机变量 ：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用大写字母X、 Y 等或希腊字母、 等表示。2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列：一般的 ,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,. ,xi ,.,xnX 取
31、每一个值x i(i=1,2,. ）的概率 P( =xi） Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质5、二点分布： pi0, i =1 ， 2，； p1 + p2 +pn= 1如果随机变量X 的分布列为：其中 0p1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数 p 的二点分布6、超几何分布 ：一般地 , 设总数为 N 件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(nN) 件,这 n 件中所含这类物品件kn kC M C NCN数 X是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为M，P( Xk)( k0,1,2, L , m)n*其中n N, M N,n,M, N
32、NmminM , n,且7、条件概率 ：对任意事件A 和事件 B，在已知事件生的条件下B 的概率A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作 P(B|A) ，读作 A 发P( AB ) , P( A) P( A)P( B | A)0.8、公式 ：9、相互独立事件：事件A( 或B) 是否发生对事件B( 或A) 发生的概率没有影响, 这样的两个事件叫做相互独立事件。P( A B )P( A ) P( B )10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布 ： 设在 n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数， A 发生次数是一个随机变量如果在一次试验
33、中某事件发kknk（其中k=0,1,Cn p qP(k )生的概率是p，事件 A 不发生的概率为q=1-p，那么在 n 次独立重复试验中,n，q=1-p ）于是可得随机变量的概率分布如下：第9页精品资料精品学习资料第 9 页，共 12 页这样的随机变量服从二项分布，记作B(n ，p) ，其中 n，p 为参数12、数学期望： 一般地，若离散型随机变量的概率分布为则称E x1p1 x2p2 xnpn为的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望是离散型随机变量。13、方差 : D( )=(x 1-E )2P1+ （x2-E )2P2 +.+（ xn-E )2Pn 叫随机变量的均方差，简称方差。1
34、4、集中分布的期望与方差一览：期望方差两点分布E=pD=pq， q=1-p二项分布， B （n,p ）E=npD=qE=npq， （ q=1-p ）15、正态分布：若概率密度曲线就是或近似地是函数) 2( x2122f ( x )e, x(,)、 （0) 是参数，分别表示总体的平均数与标准差的图像，其中解析式中的实数则其分布叫正态分布记作： N(,16、基本性质：曲线在 x 轴的上方，与x 轴不相交) ， f( x ) 的图象称为正态曲线。曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点 .xx当时，曲线上升；当时，曲线下降并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近当一定时，曲线的形状由确定越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中当相同时 ,正态分布曲线的位置由期望值来决定.正态曲线下的总面积等于