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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版人教版高中数学知识点（必修选修）高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念【 1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性（ 2）常用数集及其记法.NNZ表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集 .N表示正整数集，表示自然数集，或（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是（ 4）集合的表示法aMaM，或者，两者必居其一 .自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法： x | x 具有的性质 ，其中 x 为集合的代表元素.图示法：
2、用数轴或韦恩图来表示集合.（ 5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 ().【 1.1.2 】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图(1)AAA（或BAB 且 B B 且 B(2)(3) 若(4) 若（1）A 中的任一元素都属A(B)子集BA于BAACAACB，则BA)A ，则或A（ A 为非空子集）ABAB ，且B 中至真子集（或A ）AB且BCACBA(2) 若，则少有一元素不属于ABA 中的任一元素都属于 B， B 中的任一元 素都属于 A集合相等(1)AB(2)BAA(B)AB2n2n
3、n2A 有n( n1) 个元素，则它有1 个真子集，它有（ 7 ）已知集合个子集，它有1 个非空子2n2非空真子集 .集，它有精品资料精品学习资料第 1 页，共 75 页【 1.1.3 】集合的基本运算（ 8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图AAAAA（1）（2）（3）A（1）（2）（3）A x | xxA,B且AB交集ABBABBAA AAAA A x | xxA,B或AB并集BABBB1 A2 A(eU A)U(eU A) x | xU , 且xA痧U ( A痧U ( AB)( U A)(?U B)补集eUAB)(A)(?U B)U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（
4、 1）含绝对值的不等式的解法不等式解集a| x | x |a( aa( a0)0) x |x | x看 成 一xaaax或axb| x |a把个 整 体 ，化成，| x |a( a0) 型不等式来求解| axb |c,| axb |c(c0)（2）一元二次不等式的解法判别式0002b4ac二次函数yax2bx的图象c(a0)Ob2 2ax2 )b4ac一元二次方程x1,2b2a2x1x2axbxc的根0( a0)无实根（其中x1精品资料精品学习资料第 2 页，共 75 页2b2aaxbxc0( a0) x | xx1 或 xx2 x | xR的解集2axbxc0( a0) x | x1xx2的
5、解集 1.2 函数及其表示【 1.2.1 】函数的概念（ 1）函数的概念，对于集合A 中任何一个数x ，在集合设 A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则Bf中都有唯一确定的数f ( x) 和它对应，那么这样的对应（包括集合BA ，以及 A 到的对应法BBfA 到 Bf : AB 则）叫做集合的一个函数，记作函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（ 2）区间的概念及表示法ab ，满足axb 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做设 a, b 是两个实数，且 a, b；满足axb 的实数 x 的集合叫做开区间，记做(a,b) ；满足 axb
6、 ，或axb, xb 的实数b的实数x 的x 的a, b)(a, b, b)xa, xa, x集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足 a,),( a,),(, b,(集合分别记做a 可以大于或等于b ，而后者必须 x | axb(a, b) ，前者注意： 对于集合与区间ab （ 3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：f ( x)f ( x)是整式时，定义域是全体实数是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1ytanx 中，(kZ ) xk2零（
7、负）指数幂的底数不能为零若f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数 的定义域的交集对 于 求 复 合 函 数 定 义 域 问 题 ， 一 般 步骤是 ： 若已知f ( x) 的 定 义 域 为 a,b ， 其 复合函 数f g ( x) 的定义域应由不等式ag (x)b 解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这
8、个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是精品资料精品学习资料第 3 页，共 75 页提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值yf ( x) 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程判别式法：若函数2，则在 a( y)0 时，由于 x, y 为实数，故必须有a( y) xb( y) xc( y)02b ( y)4a( y)c( y)0 ，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最
9、值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【 1.2.2 】函数的表示法（ 5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（ 6）映射的概念设 A 、是两个集合，如果按照某种对应法则Bf，对于集合A 中任何一个元素，在集合B中都A
10、 ，以及 A 到的对应法则BBf有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合）叫做集合的映射，记作f : AB 的映射，且A 到 Bab 对应，那么我们把元给定一个集合A 到集合素 b 叫做元素 a 的象，元素BaA,bB 如果元素和元素a 叫做元素 b 的原象 1.3 函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法精品资料精品学习资料第 4 页，共 75 页如果对于属于定义域I内某（ 1）利用定义yy=f(X)个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2 , 当 x1x2时，都 有 f(x1)f(x2)， 那 么 就 说（ 2）
11、利用已知函数的单调性（ 3 ） 利 用 函 数 图 象（在某个区间图 象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的 单调性（ 3 ） 利 用 函 数 图 象（在某个区间图 象下降为减）（ 4）利用复合函数f(x2 )f(x )1f(x)在 这 个 区 间 上 是 增函o数如果对于属于定义域xx1x 2函数的单调性I内某yy=f(X)个区间上的任意两个自变量的值都有f(x)数x 1 、 x 2，当x1f(x2)，那么就说 在 这 个 区 间 上 是 减函f(x 1)f(x )2oxx1x 2在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减
12、函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数yf g( x)ug( x)yf (u)yug ( x) 对于 复 合 函 数， 令， 若为 增 ，为 增 ， 则y为 增f g(x)yf (u)yug ( x)f g( x)yf (u)为增；若为减，为减，则为增；若ug( x)f g( x)yf (u)ug ( x)，为 减 ， 则为 减 ； 若为 减 ，为 增 ， 则yf g(x) 为减ya (a x(x)0)（ 2）打“”函数fx的图象与性质f (x)(,a 、 a ,) 上为增函数，分别在分别在a ,0) 、 (0,a 上为减函数ox（ 3）最大（小）值定义yf ( x)f (x)MIM一般地
13、，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的xI ，都有；f ( x0 )是函数f (x)（ 2）存在x0IMM，使得那么，我们称的最大值，记作f max ( x)yMf ( x)的定义域为mI一般地，设函数，如果存在实数满足：（ 1 ）对于任意的xI，都有f ( x)m ；（2）存在m 【 1.3.2m 是函数f (x) 的x0If (x0 )m 那么，我们称，使得最小值，记作fmax ( x)】奇偶性（ 4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法如果对于函数f(x)定义域内f(x)= 叫做 奇函（ 1）利用定义（要先判断定义域是否关于 原点对称）（ 2）利用图象（
14、图象 关于原点对称）任意一个x，都有f(x),那么函数数f(x)函数的奇偶性精品资料精品学习资料第 5 页，共 75 页如果对于函数f(x)定义域内（ 1）利用定义（要先判断定义域是否关于 原点对称）（ 2）利用图象（图象 关于 y 轴对称）任 意 一 个x ， 都 有f(叫做x)=f(x), 那么函数偶函数f(x)f ( x)x0 处有定义，则f (0)0 轴两侧相对称的区间增减性相反若函数为奇函数，且在yy奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数
15、的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象（ 1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0,左移 h个单位0,右移 | h|个单位h hyf ( x)yf (xh)0,上移 k个单位0,下移 | k|个单位k kyf ( x)yf (x)k伸缩变换1,伸1,缩0yf ( x)yf (x)A 1,缩0yf ( x)yAf ( x)1,伸A对称变换x轴y轴f (x)f (x)yyyf ( x)yf (x
16、)原点直线y x1yf ( x)yf (x)yf ( x)yf( x)去掉 y轴左边图象保留 y轴右边图象，并作其关于yf ( x)yf (| x |)y轴对称图象保留 x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去yf ( x)y| f ( x) |（ 2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系精品资料精品学习资料第 6 页，共 75 页（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章
17、基本初等函数( ) 2.1 指数函数【 2.1.1 】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念xna, aR,R,n1，且 nxN，那么x 叫做 a 的 nn 是奇数如果次方根当nn时， a 的 n 次方根用符号a 表示；当 n 是偶数时，正数a 的正的 n 次方根用符号a 表示，负的nn 次方根用符号a表示； 0 的 n 次方根是0；负数 a 没有 n 次方根na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数当n 为奇数时，a 为任意实数；式子当 n 为偶数时，a0 na )( nnnaa ； 当n 为 奇a； 当 n 为 偶 数 时 ， 根 式 的 性质 ：数 时 ，a(a(a0)0)nna
18、| a |a（ 2）分数指数幂的概念ma nnam (a0, m, n,N且 n1) 0 的正分数指数正数的正分数指数幂的意义是：幂等于 0mnmn1()a1ma()(aa0, m, nN , 且 n正数的负分数指数幂的意义是：n1) 0的负分数指数幂没有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数（ 3）分数指数幂的运算性质r asar sa(arra b (ars (a )rsa( a0, r , s0, bR)0, r0, r , sR) (ab)rR)【 2.1.2 】指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称定义指数函数xa (a0a1) 叫做指数函数0函数y且a1a1yxxyyaya图象
19、y1y1(0,1)(0,1)定义域ROOxx精品资料精品学习资料第 7 页，共 75 页(0,，即当)x值域0 时，(0,1)y1 过定点奇偶性 单调性图象过定点非奇非偶在 R 上是增函数在 R 上是减函数xxa1( x0)a1(x0)函数值的变化情况xxa1( x0)a1(x0)axa x1( x0)1(x0)a 变化对 影响图 象 的a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低在第一象限内， 2.2 对数函数【 2.2.1 】对数与对数运算（ 1）对数的定义xaN ( a0,且 a1)，则 x 叫做以为底N若axlogNa的对数，记作，其中叫做底aN数，叫做真数负数和零没有对数xlog
20、(0,1,0) 对数式与指数式的互化：xNaN aaNa（ 2）几个重要的对数恒等式blog a 10 ， log aa1 ， log a ab （ 3）常用对数与自然对数lg Nlog10 N ；自然对数：ln Ne2.71828，即 log e N （其中0 ，那么常用对数：，即）a0, a1,M0, N（ 4）对数的运算性质如果MN加法： log alog alog a (MN )MNlog a Mloga Nlog a减法：n (nlog a N an loglogR)MMN数乘：aanblog b Nlog b an log balog aM (b0, nR)(b0, 且bMlog
21、a N1)换底公式：【 2.2.2 】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数名称对数函数log ax(a0 且ya1) 叫做对数函数定义函数a10a1图象精品资料精品学习资料第 8 页，共 75 页x1x1yyyloga xyloga x(1,0)OO(1,0)xx(0,)定义域值域 过定点 奇偶性单调性R，即当x1 时，(1,0)y0 图象过定点非奇非偶在 (0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数loga x000(x(x(01)1)xlogaxx x000(x( x(01)1)x函数值的变化情况logxlogaaloga x1)loga1)a 变化对 影响(6) 反函数的概念图 象 的a
22、 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高在第一象限内，Cxyf ( x)Ayf ( x)设 函 数的 定 义 域 为， 值 域 为， 从式 子中 解 出， 得 式 子在 C 中的任何一个值，通过式子x( y)x( y) ，x 在yA 中都有唯一确定的值和如果对于表示 x 是的函数，函数x( y)yx( y)yf ( x)它对应，那么式子叫做函数的反函数，记1f( y)1f( x)作xy，习惯上改写成（7）反函数的求法1f( y)yf (x)确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出x；1f( y)1( x)将xyf改写成，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质1f( x)
23、yf (x)原函数与反函数yyx 对称的值域、定义域的图象关于直线1f( x)P (b,a)yf ( x)函数的定义域、值域分别是其反函数y1(x)P(a,b)yf (x) 的图象上，则若在原函数yf在反函数的图象上yf ( x) 要有反函数则它必须为单调函数 2.3 幂函数一般地，函数（ 1）幂函数的定义一般地，函数y（ 2）幂函数的图象xx 为自变量，叫做幂函数，其中是常数精品资料精品学习资料第 9 页，共 75 页（ 3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第y一、二象限 ( 图象关于轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三
24、象限(图象关于原点对称) ；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限(0,)(1,1)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点0 ，则幂函数的图象过原点，并且在) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近0 ，则幂函数0,)单调性：如果上为增函数如果(0,x 轴与轴y的图象在qp奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当p, q（其中qx ppqZpqy互质，和），若为奇数为奇数时，则p为奇数q 为偶数时，则是奇函数，若qxpqxpyy是偶函数，若p 为偶数 q 为奇数时，则是非奇非偶函数yx , x(0,)，当1时，若0xx1，其图象在直线图象特征：幂函数yx下方，
25、x1 ，其图象在直线1 时，若01 ，其图象在直线yxyx 上方，若若上方，当x1 ，其图象在直线yx 下方补充知识二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式2f ( x)ax2h)一般式：bxx2 )( ac( a0) 顶点式：f ( x)a(xk(a0) 两根式：f ( x)a( xx1 )( x0) （ 2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f ( x) 更方便若已知抛物线与（ 3）二次函数图象的性质精品资料精品学习资料第 10 页，共 75 页b2a2f
26、( x)ax二次函数bxc( a0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为x,顶点坐标是2b4ac,b() 2 a4ab2ab2ab2aa0 时，抛物线开口向上，函数在(,上递减，在 ,) 上递增，当x当24ac4abb2aa0 时，抛物线开口向下，函数在f( x)(, 上递增，在时，；当min2b2ab2a4ac4ab,) 上递减，当x时， f( x)max2b2f ( x)ax4ac0 时，图象与x 轴有两个交点二次函数bxc( a0) 当M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | |x1x2 | a|2ax（ 4）一元二次方程bxc0( a0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中
27、的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布2axbxc0(a0) 的两实根为x1, x2 ，且 x1x2 令设一元二次方程2af (x)axbxc，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：对称轴位置：b2ax判别式：端点函数值符号k x1 x2yyb2axa0f ( k)0OOkx2x1x1x2xxkf ( k)0b2axa0x1 x2 kyyb2af ( k)0xa0Ox2Okx 2x1x1xxkf ( k )0b2aa0x精品资料精
28、品学习资料第 11 页，共 75 页x1 kx2af( k) 0yya0f ( k)0kOx2x1x1x2Oxxkf ( k)0a0k1 x1 x2 k2ya0b2ayxf ( k1 )0f ( k2 )0k1x2k2x1x2x1Ok1k2Oxxf ( k1 )0f (k )0b2a2xa0有且仅有一个根x1 （或x2 ）满足k1 x1 （或x2 ） k2f( k1) f( k2)0，并同时考虑f ( k1 )=0 或 f( k2 )=0这两种情况是否也符合yya0f ( k1 )0f(k1 )0k2x1k 2x1x2x2Ok1Ok1xxf ( k 2 )0f ( k2 )0a0k1 x1 k
29、2 p1 x2 p2此结论可直接由推出2f ( x)ax（ 5）二次函数 p, qbxc(a0) 在闭区间上的最值1 ( p2，最小值为m ，令f ( x) p, qMxq) 设在区间上的 最大值为0a0 时（开口向上）（）当b2ab2ab2 ab2ap ，则mf ( p)pq ，则 mf ()q ，则若若若精品资料精品学习资料第 12 页，共 75 页mf (q)ffffOxOOxxfb2ab2ab2aff()f ()f ()b2ab2 ax，则 Mf (q)x，则 Mf ( p)若00f( ) 当 a0 时( 开口向下fx0)x0b2ab2ab2ab2 aq ，则OMx若p ，则OMf (
30、 p)pf ()q ，则若x若bff ()2afMf(q)b2af ()b)2ab2ab2aff(f()f()ffOxOOxxfffb2ab2a若xmf(q)xmf ( p)，则，则00b2ab)2af ()f f(fx0x0OxOxff第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数x 叫做函数yf ( x)( xD) ，把使f ( x)0成立的实数yf (x)( xD ) 的零点。yf ( x)f (x)0 实数根，亦即函数yf (x)2、函数零点的意义：函数的零点就是方程精品资料精品学习资料第 13 页，共 75 页的图象与 x 轴交点的横坐标。即：f ( x)0yf
31、 (x)xyf ( x)方程点有实数根函数的图象与轴有交点函数有零3、函数零点的求法：yf ( x) 的零点：求函数12f ( x)0 的实数根；（代数法）求方程yf (x)（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：2yaxc(abx0)0二次函数bx2axax 2x 轴有两个交点，二次），方程函数有两个零点），方程c有两不等实根，二次函数的图象与0有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与x 轴有一个bxc交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点2ax0x 轴无交点，二次函数无零），方程点bxc无实根，二次函数的图象与高中数学
32、必修 2 知识点空间几何体第一章1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法4 斜二测画法的步骤：（ 1） .平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（ 2） .平行于 y 轴的线长度变半，平行于x， z 轴的线长度不变；（ 3） .画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（ 1）画轴（ 2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和r 22SrlS2 rl2 r2 圆
33、柱的表面积3 圆锥的表面积r 2R2R 2SrlRlS44 圆台的表面积5 球的表面积精品资料精品学习资料第 14 页，共 75 页（二）空间几何体的体积13VS底h1 柱体的体积VS底h2 锥体的体积143R3（3 台体的体积VSSSS)hV4 球体的体积下下上上3第二章直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1DC1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示AB0（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45 ，且横边画成邻边的2 倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母 、 、 等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的
34、四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD等。3三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为ALABL= LLAB公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。ABC符号表示为： A、 B、C 三点不共线=有且只有一个平面，使 A 、 B 、C 。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为： P = =L，且 PLP公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据L2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空