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1、直线与平面所成的角直线与平面所成的角llaa_l复习旧知复习旧知lP 如果直线如果直线 l l 与平面与平面 内的任意一条直线都垂直，内的任意一条直线都垂直，我们说直线我们说直线 l l 与平面与平面 互相垂直，互相垂直，记作记作 l平面平面 的垂线的垂线直线直线 l l 的垂面的垂面垂垂足足直线直线l l叫做平面叫做平面 的垂线，的垂线，平面平面 叫做直线叫做直线l l的垂面，的垂面，垂线垂线l l和平面和平面 的唯一的的唯一的公共点公共点P P称为垂足称为垂足. .复习旧知复习旧知 文字语言：文字语言： 一条直线与一个平面内的两条相一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面
2、垂直。交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。( (线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直) )2.直线与平面垂直的判定定理：直线与平面垂直的判定定理：m mn nP Pl llPnmnmnlml线不在多，线不在多，贵在相交！贵在相交！复习旧知复习旧知1.平面的斜线平面的斜线 如果一条直线如果一条直线l l和一个平面和一个平面相交但不垂直，这条直相交但不垂直，这条直线线l l叫做这个平面叫做这个平面的斜线的斜线，斜线和平面的交点，斜线和平面的交点A A叫做叫做斜足斜足斜线斜线斜足斜足l lA A一、直线与平面所成的角一、直线与平面所成的角新课讲解新课讲解2.射影：射影： 过斜线过斜线l l上斜足以外的一
3、点上斜足以外的一点P P向向平面平面引垂线引垂线POPO，过垂足，过垂足O O和和斜足斜足A A的直线的直线AOAO叫做斜线在这叫做斜线在这个平面上的射影。个平面上的射影。l lA A垂线垂线射影射影垂足垂足O OP P3、斜线与平面所成的角：、斜线与平面所成的角： 平 面 的 一 条 斜 线平 面 的 一 条 斜 线和 它 在 平 面 上 的和 它 在 平 面 上 的射 影 所 成 的 角 ，射 影 所 成 的 角 ，叫 做 这 条 直 线 和叫 做 这 条 直 线 和这 个 平 面 所 成 的这 个 平 面 所 成 的角。角。l lP PA AB B PABPAB是是斜线斜线l l与平面与
4、平面 所成角所成角4、线面所成角的范围：、线面所成角的范围： 规定：一条直线垂直于平面，我们规定：一条直线垂直于平面，我们说它所成的角是角；一条直线说它所成的角是角；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它和平面平行或在平面内，我们说它所成的角是的角所成的角是的角 直线与平面所成的角直线与平面所成的角的的 取值范围是什么取值范围是什么? ?l lP PA AB B直直0 0 0 0，9090 A CA B C DA CA CA D DAA D 对角线在面上的射影是对角线在面上的射影是如何找一条斜线在平面上的如何找一条斜线在平面上的射影？射影？（1 1）找到直线与平面的交点）找到直线与平面的交点（
5、斜足）；（斜足）；（2 2）在直线上找到）在直线上找到斜足以外的斜足以外的一点，过该点做面的垂线，即垂一点，过该点做面的垂线，即垂足足；（3 3）连接斜足与垂足即可）连接斜足与垂足即可.例、在正方体例、在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求A A1 1B B与与平面平面A A1 1B B1 1CDCD所成角。所成角。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1O O解：连结解：连结BCBC1 1交交B B1 1C C于点于点O,O,连结连结A A1 1O OA A1 1B B1 1BCBC1 1BCBC1 1B B1
6、1C CB B1 1C C和和A A1 1B B1 1内的两条相交直线内的两条相交直线BCBC1 1平面平面A A1 1B B1 1CDCDAA1 1O O为斜线为斜线A A1 1B B在平面在平面A A1 1B B1 1CDCD内的射影内的射影BABA1 1O O为为A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角在正方体在正方体A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1-ABCD-ABCD中中A A1 1B B1 1平面平面B B1 1BCCBCC1 1BCBC1 1 平面平面B B1 1BCCBCC1 1例题分析例题分析 例题剖析例题剖析例题分析例题分
7、析解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为a a在在RtARtA1 1BOBO中中1222,ABa BOa111230oBOABBAO直线直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角为所成的角为3030A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1O O例、在正方体例、在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求A A1 1B B与与平面平面A A1 1B B1 1CDCD所成角。所成角。 例题剖析例题剖析 1 1作：作辅助线作：作辅助线 2 2证：证线面垂直证：证线面垂直 3 3指指：指出线面角
8、：指出线面角 4 4算：算：计算角的大小计算角的大小一作二证三指四算一作二证三指四算求斜线和平面所成的角的一般步骤：求斜线和平面所成的角的一般步骤：填空题练习1 1如图，在正方体ABCDABCDA1B1C1D1A1B1C1D1中，直线 AB1 AB1与平面ABCDABCD所成的角等于_【解析】 因为正方体ABCDABCDA1B1C1D1A1B1C1D1中，B1BB1B平面ABCDABCD，所以ABAB即为AB1AB1在平面ABCDABCD中的射影，B1ABB1AB即为直线AB1AB1与平面ABCDABCD所成的角由题意知，B1ABB1AB4545，故所求角为4545 . .4545练习2 2：
9、在四棱锥P PABCDABCD中，底面ABCDABCD是边长为1 1的正方形，PA PA 平面ABCDABCD，且PAPA ，PCPC与平面ABCDABCD所成角的大小为 ( () ) A A3030 B B4545 C C6060 D D9090 C C练习4 4 如图，已知正方体ABCD ABCD A1B1C1D1.A1B1C1D1.(1)(1)求直线A1CA1C与平面ABCDABCD所成的角的正切值；(2)(2)求直线A1BA1B与平面BDD1B1BDD1B1所成的角的大小 ABSCD如图，直角三角形如图，直角三角形ABCABC所在平面外有一点所在平面外有一点S S，且，且SASASBSBSCSCACAC2 2，点点D D为斜边为斜边ACAC的中点求直线的中点求直线SBSB与平面与平面ABCABC所成的角的正弦值所成的角的正弦值. .32