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1、【数资】几何问题-最短路径(讲义)【例 1】(2010 福建)一只蚂蚁从下图的正方体的 A 顶点沿正方体的表面爬到正方体的 C 顶点，设正方体边长为a，问该蚂蚁爬过的最短路程为：A. ( +) aB. 5aB. (1+2) aD. (1+3) a【例 2】(2013 北京) A 和 B 为正方体两个相对的顶点，一个点从 A 出发沿 正方体表面以最短路径移动到 B，则其可选择的路线有几条：A.2 B.3C.6 D.12【例 3】(2012 联考)某公司要在长、宽、高分别为 50 米、 40 米、 30 米的 长方体建筑的表面架设专用电路管道连接建筑物内最远两点， 预设的最短管道长度介于：1A.7
2、080 米之间C.90100 米之间B.6070 米之间D.8090 米之间【例 4】(2011联考)火车站 A 和 B 与初始发车站 C 的直线距离都等于 a km， 站点 A 在发车站 C 的北偏东 20 度， 站点 B 在发车站 C 的南偏东 40 度， 若在站点 A 和站点B 之间架设火车轨道，则最短的距离为：A.akm B.3a km2C.2akmD. 3akm【例 5】(2017 联考)悟空与二郎神在离地面 1 米的空中决斗，两人相距 2 米， 悟空想用分身直接偷袭二郎神， 为了不引起对方的警觉，分身必须在地面反 弹一次再进行攻击，则分身到达二郎神的位置所走的最短距离为：A.22米
3、C. 2米B. 3米D.2 3米【例 6】(2019浙江) A、B 点和墙的位置如右图所示。现从 A 点出发以 5 米/秒的速度跑向墙，接触到墙后再跑到 B 点。问最少要多少秒到达 B 点？A.30C.38B.34D.42【例 7】(2017 江苏)某市规划建设的 4 个小区，分别位于直角梯形 ABCD 的 4 个顶点处(如图)，AD4 千米， CDBC12 千米。欲在 CD 上选一点S 建幼 儿园，使其与 4 个小区的直线距离之和为最小，则 S 与 C 的距离是：3A.3 千米C.6 千米B.4 千米D.9 千米【例 8】(2017 联考) 如下图所示， 某条河流一侧有 A、B 两家工厂，与
4、河岸 的距离分别为 4km 和 5km，且 A 与 B 的直线距离为 11km。为了处理这两家工厂的 污水，需要在距离河岸 1km 处建造一个污水处理厂，分别铺设排污管道连接 A、 B 两家工厂。假定河岸是一条直线，则排污管道总长最短是：A.12kmC.14kmB.13kmD.15km【例 9】(2016 山东) 一块由两个正三角形拼成的菱形土地 ABCD 周长为 800 米，土地周围和中间的道路如下图所示，其中 DE、BF 分别与 AB 和 CD 垂直。如要从该土地上任何一点出发走完每一段道路， 问需要行进的距离最少是多少米？4A.1000+4003C.1100+5003B.1100+400
5、3D.1000+6003【例 10】(2017 山东)某社区道路如下图所示，社区民警早上 9 点整从 A 处的办公室出发，以每分钟 50 米的速度对社区内每一条道路进行巡查(要求完 整走过整个社区内的每一段道路)，问他最早什么时候能完成任务返回办公室？A.9：54C.9：47B.9：50D.10：00【数资】几何问题-最短路径(讲义)【注意】今天课题内容是几何问题之最短路径，几何问题国联考都考查，考 点比较杂，有考圆柱、三角形、正方形等公式类。今天把最短路径单独拎出来讲， 是因为其结论性和技巧性都非常强， 2017 年考得比较多，隔几年考一下， 如果 遇到了运用相关结论就能做出来， 所以用一个
6、半小时的时间掌握这个题型， 遇到 了还是可以拿到分数的。【知识点】最短路径：1.题型：求点之间的最短距离是多少或者有时告诉速度，问怎么走时间最 少，速度一定，时间最少则路程最少，核心还是最短距离的考查形式。2.核心：平面上两点之间，线段最短。3.立体。4.平面。5.一笔画。【例 1】(2010 福建)一只蚂蚁从下图的正方体的 A 顶点沿正方体的表面爬到正方体的 C 顶点，设正方体边长为a，问该蚂蚁爬过的最短路程为：A. ( +) aB. 5aB. (1+2) aD. (1+3) a【解析】例 1.一个立体，表面上爬最短路程，因此是最短路径的题目。做 题的时候不能把 AC 两点直接相连，因为不能
7、内部穿梭，只能在表面爬。此时 A 点和 C 点不在一个表面上， 可以展开将其变成一个表面， 如图， 可以把右侧像开 门一样旋转到前面， 或者把上方展开到前面， 两种情况是一样的， 用其中一种来 计算即可；此时要求 AC 的长度， AC 处在一个三角形中， 要求一个三角形的边长 有两个思路，是直角三角形用勾股定理，非直角用相似，如图， BC 和 AB 垂直，ABC 是一个直角三角形， 用勾股定理， 直角边边长的平方相加等于斜边的平方，假设正方体边长为 a，则 AC= (2a)2 + a=5=5a，对应 B 项。【选 B】【注意】学会本题可以得到一个结论，正方体表面去爬两个顶点的最短路径， 最短距
8、离为5倍正方体的边长。比如一个正方体边长是 10，要从正方体的两个 顶点去爬，可以直接得到其最短距离为5*10=10 5，把边长代入 a 即可。【例 2】(2013 北京) A 和 B 为正方体两个相对的顶点，一个点从 A 出发沿 正方体表面以最短路径移动到 B，则其可选择的路线有几条：6A.2C.6B.3D.12【解析】例 2.A 和B 还是两个相对的顶点， 问路线有几条， 简单看一下图形， 可以从前面爬到上面， 也可以从前面爬到右面， 发现可以有两条路径； 可以从左 面爬到上面， 也可以从左面爬到后面，也有两条路径；A 点可以算正面的点， 也 可以算左面的点， 还可以算底面的点， 因为底面
9、没有说是地面不能爬， 因此从正面、底面、左面分别有 2 条路径，如图，一共有 2*3=6 条路径。【选 C】【注意】 1.本题原理是一个正方形有几组相对面， 一共有 3 组相对面，可以 从前面往上爬，可以从下面往右爬，可以从左边往后面爬。从相对面考虑是因为 有前面， 对应的就有后面， 所以从前往上爬对应从后往下爬， 从下往右爬对应从 上往左爬，从左往后对应从右往前爬，所以最后还是 6 个面。2.正方体(相对的两个顶点)：最短路径(沿表面走)结论：(1)距离： 5边长。(2)路径数： 6 条。【例 3】(2012 联考)某公司要在长、宽、高分别为 50 米、 40 米、 30 米的 长方体建筑的
10、表面架设专用电路管道连接建筑物内最远两点， 预设的最短管道长度介于：7A.7080 米之间C.90100 米之间B.6070 米之间D.8090 米之间【解析】例 3.立体图形除了考正方体还有可能考长方体，已知长宽高，最 远的两点是相对的两点，假设是 AB，问的是最短的管道，也就是求 A 到 B 的最 短距离， 还是要考虑用展开的方式解题， 因为是一个长方体，长宽高不一样，需 要分别讨论展开的情况下什么样的数据最小， 展开有如图三种方式， 逐个计算哪 个最小：(1)右面向下打开，长为原来长方体的长 50，加上倒下来的高 30，为50+30=80，宽为 40，则 AB=80 + 40=8000。
11、(2)上面向前打开，长为原来长方体的高加上宽为 30+40=70 米，宽为 50米，对角线长度=70 + 50=7400。(3)右面向前打开，长为原来的长加上宽为 50+40=90 米、宽为 30 米，对角线长度=90 + 30=90000 米。明显发现7400最小，代入选项看选谁，则 80=6400740090=8100。8对应 D 项。【选 D】【注意】长方体(相对的两个顶点)：最短路径(沿表面走)结论：1.最短距离： 最长边 + (两短边之和) 。2.最短路径数： 2 条。展开可以从前面和上面走，也可以从后面和下面走， 是两个相对面。【小结】立体：1.方法：展开放在同一平面，连线计算。2
12、.结论：(1)最短路径：正方体：5边长；长方体：最长边 + (两短边之和) 。(2)路径数：正方体： 6 条。长方体： 2 条。【例 4】(2011联考)火车站 A 和 B 与初始发车站 C 的直线距离都等于 a km， 站点 A 在发车站 C 的北偏东 20 度， 站点 B 在发车站 C 的南偏东 40 度， 若在站点A 和站点B 之间架设火车轨道，则最短的距离为：9A.akmC.2akmB.3a kmD. 3akm【解析】例 4.方法一：读完题发现有 A、B、C，具体位置不知道， 需要画图， 本题有东南西北， 依据坐标画图， 先画一个坐标系， 中间的点最好设为 C，因为 大家都跟 C 有关
13、系，此时可以把 A 和 B 的位置表现出来， A 在 C 的北偏东 20 度，B 在 C 的南偏东 40 度， CA 和 CB 的距离已知为 a，如图，问 A 点和 B 点之间架轨道最短， 两点之间线段最短，则直接连接 AB 是最短的，实际上是想要求 AB 的最 短距离。要求最短距离，发现又构成一个三角形，而且是一个等腰三角形， 顶角 是 C，腰都是 a，需要找角度， 根据图可知ACB=180-20-40=120， 从 C 点往下做垂线垂直于 D 点，因为是等腰三角形，因此 D 点是 AB 的中点，则角度 也分为一半， DAB 为60， CD 和DB 垂直90， 则CBD 为 30， 一个直角
14、三角形中， 30所对的直角边是斜边的一半， 因此 CD 为 1/2a，根据勾股定理可求出 DB 点的距离为( 3/2) a，因此全部的长度 AB=2* ( 3/2) a=3a，对应 D 项。方法二：三角形定理，长边两条短边 a，两边之和第三边，因此 aAB 2a，观察选项，排除 A、B、C 项，对应 D 项。【选 D】【注意】记住几个常见的直角三角形三边的比例：1.30、 60、 90的直角三角形， 三边比例为 1:2：3，假如知道斜边是 10，则 30所对的直角边是 5，对应扩大 5 倍， 因此 60所对的直角边是 53。102.45、 45、 90的直角三角形，三边比例为 1:1：2。3.
15、120、 30、 30的直角三角形，三边比例为 1:1：3。如果直接掌握了，例 4 不需要计算，已知两边是 a，则 AB 为3a。【拓展】例 4 条件不变 ，现在想在火车站 C 的正东方向新建一个客运站，使得客运站到 AB 两火车站距离之和最短，此时距离之和最短为多少？11A.akmC.2akmB.3a kmD. 3akm【解析】拓展.区别在提问方式，在 C 的正东方向找到一点建客运站，使距 离最短，点很多，则三个点在一条直线上时距离之和最短，因此还是选择 D 项。【选 D】【知识点】直线上一点到直线外两点的距离之和最短：1.结论：三点共线时，距离之和最短。2.方法：(1)两点异侧，直接连线。
16、如图， A 点在直线的上面， B 点在直线的下面， 直接连接 AB，就是最短距离。(2)两点同侧，先对称再连线。如图， A、B 点在水平线的同一侧，求 AB 的最短距离。将 A 点根据水平线对称成异侧点 A，连接 AB 就是最短距离，因 为 A是由A 对称得到的，得到的是两个全等三角形， A0=AO，所以 AB 就是最短距离。【例 5】(2017 联考)悟空与二郎神在离地面 1 米的空中决斗，两人相距 2 米， 悟空想用分身直接偷袭二郎神， 为了不引起对方的警觉，分身必须在地面反 弹一次再进行攻击，则分身到达二郎神的位置所走的最短距离为：12A.22米C. 2米B. 3米D.2 3米【解析】例
17、 5.最后问最短距离，最短路径问题。悟空假设为 A 点，二郎神 假设为 B 点， 都离地面 1 米， 两人距离 2 米， 悟空需要在地面反弹，则 A 需要先到地面再到 B，找最短距离。做法是，先作 A 的对称点 A，连接 A和 B，AO=1米，则 AO=1 米，形成一个直角三角形， AB 为 2 米， A 到 A也是 2 米，为等腰直角三角形，边长比例是 1:1：2，直角边是 2，则斜边是22，对应 A 项。【选 A】【答案汇总】 1-5：BCDDA【例 6】(2019浙江) A、B 点和墙的位置如右图所示。现从 A 点出发以 5 米/秒的速度跑向墙，接触到墙后再跑到 B 点。问最少要多少秒到
18、达 B 点？13A.30C.38B.34D.42【解析】例 6.有速度问时间，感觉是一个行程问题， 速度已知，时间最少， 说明路程要最少， 还是一个最短路径问题， A 和 B 需要在墙上先跑一下， 因此需 要在墙上找一点使 AB 距离最短。 A、B 是同侧的，先根据墙作 A 的对称点 A，连接 AB 就是最短的路程。构成直角三角形， AD 就是 AB 之间的距离 90，BD的长度=AA+30=45+45+30=120，则所求 AB= (90 + 120) =150，时间=路程/速度=150/5=30，对应 A 项。【选 A】【注意】最常见的直角三角形边长是 3、4、5，本题给的 90 和 12
19、0 刚好是 3：4 的比例关系，则斜边应该为 5 的比例，对应 5*30=150。【例 7】(2017 江苏)某市规划建设的 4 个小区，分别位于直角梯形 ABCD 的 4 个顶点处(如图)，AD=4 千米， CD=BC=12 千米。欲在 CD 上选一点 S 建幼儿园，使其与 4 个小区的直线距离之和为最小，则 S 与 C 的距离是：A.3 千米 B.4 千米C.6 千米 D.9 千米【解析】例 7.分析题目，在直线上找一点 S，使得到 ABCD 的距离和最短， 则 SA+SB+SC+SD 要最短， 发现 SD+SC 是定值， SD+SC=12，因此要距离和最短，则 要 SA+SB 最短，还是
20、求的最短路径。先对称， A、B 点对称谁都可以，但是如果 对称 B 点则图很大， 因此对称短的 A 点， 作 A 点的对称点 A，连接 AB。已知 AD=AD=4，BC=12，此时无法用直角三角形做， 可以考虑用相似三角形解题，发 现A DS 和BCS 是相似三角形，对应边成比例，则 AD/BC=DS/CS=4/12=1/3， 则相当于 DS 占了 1 份， SC 占了 3 份， 一共是 4 份， 已知总长是 12 千米，一份 是 12/4=3，则 SC=3*3=9 千米，对应 D 项。【选 D】14【注意】考试的时候几何题可以直接用尺子量，如果量出 AD 是 2，实际 AD 是 4，量出 S
21、C 是 4.5，根据比例，得到 SC 实际是 9；还可以直接看，结合选项， 求 SC 的距离，全长是 12，选项中 C 项为 6，是中点的一半，看图， 发现图中 SC 是大于一半的，则大于 6，对应 D 项。【例 8】(2017 联考) 如下图所示， 某条河流一侧有 A、B 两家工厂，与河岸 的距离分别为 4km 和 5km，且 A 与 B 的直线距离为 11km。为了处理这两家工厂的 污水，需要在距离河岸 1km 处建造一个污水处理厂，分别铺设排污管道连接 A、 B 两家工厂。假定河岸是一条直线，则排污管道总长最短是：15A.12kmC.14kmB.13kmD.15km【解析】例 8.在直线
22、上找一点， 建立一个污水厂， 使得到 A、B 点距离最短， 是平面上的最短路径问题。将河看作， 作平行于且经过污水处理厂的线为。如果按照作对称点， 不能将排污管放在河里， 排除。过作 A 点的对称点 A，连接 AB，AB 为所求是最短距离。求 AB，可以利用直角三角形或者相似三 角形求，相似不能得到结果。可以构造直角三角形，过 B 点作一条垂线垂直于 AA的延长线，交点为 D，得到 ADB 为直角三角形。A 到河的距离=4，AE=4-1=3=AE。B 到河的距离是 5，总长是 5，AD=5-A 到河岸的距离=5-4=1，AD=3+3+1=7，BD=11-1=120，AB=AD + BD=49
23、+ 120= 169=13，对应 B 项。【选B】【注意】做本题首先找到根据哪条线找对称， 几何问题中求一边可以找相似 或者直角三角形， 相似三角形不能用。可以用直角三角形去求， 没有直角三角形 可以构造一个直角三角形。16【小结】平面：1.两点最短：直接连线。2.直线上一点到直线外两点的距离和最短：(1)两点异侧，三点共线；(2)两点同侧，对称之后再连线。【知识点】最短路径：1.题型：求点之间的最短距离。2.核心：平面上两点之间，线段最短。3.立体：展开。4.平面：对称。5.一笔画。【例 9】(2016 山东) 一块由两个正三角形拼成的菱形土地 ABCD 周长为 800 米，土地周围和中间的
24、道路如下图所示，其中 DE、BF 分别与 AB 和 CD 垂直。如 要从该土地上任何一点出发走完每一段道路， 问需要行进的距离最少是多少米？17A.1000+4003 B.1100+4003C.1100+5003 D.1000+6003【解析】例 9.根据题意知ABD 和BDC 是正三角形，菱形土地 ABCD 周长 为 800，则边长为 800/4=200。“行进的距离最少”是指不走回头路，尽量一笔 画。奇点是指从一个点出来的线是奇数条。图中有 4 个奇点为 A、E、F、C。0 个奇点或者 2 个奇点可以一笔画， 4/2=2 笔画，其中有重复路径。所求=总路径+ 重复路径。有 4 个奇点，变为
25、 2 个奇点即可一笔画， 将 AE 再连线变为偶点，剩 余 C、F 为奇点，要求行进的距离最少。连接路径最短的两个奇点，重复路径为 AE 或者 CF，总路径为 200*5=1000，假设交叉点为 O，AO=CO=DE=BF，只需计算其 中一条。 ABD 是等边三角形，作底边中点的垂线，分割为两个 30、60、90的特殊三角形，特殊三角形边长比为 1：2：3，边长是 200，则高为 1003， 共有 4 个高为 4*1003=4003，总路径+重复路径=1000+4003+100=1100+4003， 对应 B 项。【选 B】【知识点】一笔画：1.最短路径=总路径+重复路径。2.重复路径：(1)
26、从奇点出发：留下 2 个，把其他的奇点两两一组相连，找最短。奇点数为 2 时，一笔画(无重复)。奇点数为 4 时， 两笔画(即重复一条路径) ，找奇点两两间线段最短的一 条。奇点数为 6 时，三笔画(重复两条)，找奇点两两间线段最短的两条。(2)从偶点出发：奇点数为 0 时，一笔画；所有奇点两两一组相连，最短 长度。例如画“日”，有 2 个奇点， 0 个或者 2 个奇点可以一笔画。从偶点出发， 假设从 A 点出发，不能一笔画。只有当奇点数为 0 时，才可以一笔画。19【注意】没有规定从哪个点出发， AECF 是 4 个奇点，取最短的一条进行重 复。【例 10】(2017 山东)某社区道路如下图
27、所示，社区民警早上 9 点整从 A 处的办公室出发，以每分钟 50 米的速度对社区内每一条道路进行巡查(要求完 整走过整个社区内的每一段道路)，问他最早什么时候能完成任务返回办公室？20A.9：54C.9：47B.9：50D.10：00【解析】例 10.已知速度，时间最快，则需要走的最短，且每一条都要走到， 是一笔画问题。本题规定了出发点 A，属于偶点出发。所有的奇点需要两两一组 相连，找最短。奇点为图中的 E、H、F、G，重复路径两两一组相连为 EF+HG。总 路径+重复路径=350*6+250+150+200=350*7+250，时间=总路程/速度=(350*7+250)/50=54 分钟
28、。 9 点出发，走了 54 分钟，应该 9：54 返回，对应 A 项。【选 A】【注意】 1.不能连接 EG，只能走现有的道路。 2.最小重复不是找线段最短，而是找奇点和奇点之间最短。【小结】一笔画：1.奇点出发：奇点数为 2 时一笔画，将其他奇点两两一组连接，找最短。 2.偶点出发：奇点数为 0 时一笔画，将所有奇点两两一组连接，找最短。【答案汇总】 6-10：ADBBA21【小结】最短路径：1.立体：(1)方法：展开放在同一平面，连线计算。(2)结论：最短路径：a.正方体： 5边长。b.长方体： 最长边2 + (两短边之和) 2 。路径数：a.正方体： 6 条。b.长方体： 2 条。2.平面：(1)两点最短：直接连线。(2)直线上一点到直线外两点的距离和最短：两点异侧，三点共线。两点同侧，对称之后再连线。3.一笔画：山东特色。(1)奇点出发(没有要求)：奇点数为 2 时一笔画，将其他奇点两两一组22连接，找最短。(2) 偶点出发：奇点数为 0 时一笔画，将所有奇点两两一组连接，找最短。 4.计算：(1)勾股定理： 3.4.5、6.8.10、5.12.13。(2)相似：对应边成比例。(3)特殊三角形： 1：3：2，等腰直角三角形 1：1：2，1：1：3。【答案汇总】 1-5：BCDDA；6-10：ADBBA【注意】每天跟着小粉笔努力学习，就是上岸过程中的最短路径。24