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1、关注公众号品数学 2022年高三第二次高考模拟考试数学试卷（文史类）一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，则的模长为（ ）A. 4B. C. 2D. 10【1题答案】【答案】B【解析】【分析】先化简，再计算模长【详解】因为所以所以故选：B2. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】D【解析】【分析】先用列举法写出集合和集合，再判定他们之间的关系即可得出答案.【详解】根据题意，时，所以选项D正确.故选：D.3. 命题“存在实数，使”的否定是（ ）A. 不存在实数，使B. 存在实数，使C. 对任意实数x
2、，都有D. 对任意的实数x，都有【3题答案】【答案】C【解析】【分析】由已知，给出命题为特称命题，其否定为全称命题，可根据原命题直接变换即可.【详解】由已知，命题“存在实数，使”为特称命题，其否定为全称命题，即“对任意的实数x，都有”.故选：C.4. 已知函数为奇函数,且当时, ,则 A. -2B. 0C. 1D. 2【4题答案】【答案】A【解析】【详解】因为是奇函数，所以，故选A.5. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从
3、左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据题意可得数字黑洞为123，然后利用诱导公式即得.【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即，.故选：D.6. 已知执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A. B. C. D. 1【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据已知输入数据，结合条件语句的执行逻辑确定输出结果.【详解】由题设，所以，则，故输出.
4、故选：A7. 北京冬奥会已在北京和张家口市如火如荼的进行，为了纪念申奥成功，中国邮政发行北京申办2022年冬奥会成功纪念邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”.若从一套枚邮票中任取枚，则恰有枚会徽邮票的概率为（ ）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】A【解析】【分析】将冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”分别记为、，将冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】将
5、冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”分别记为、，将冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”分别记为、，从一套枚邮票中任取枚，则所有的基本事件有：、，共种，其中，事件“恰有枚会徽邮票”包含的基本事件为：，共种，故所求概率为.故选：A.8. 已知F为双曲线的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若直线AB的倾斜角为，则双曲线C的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 3【8题答案】【答案】C【解析】【分析】由题设可得、，根据倾斜角与斜率关系及斜率两点式得到a、c的齐次方程，即可求双曲线C的离心率.【详解】由题设，又BF垂直于x轴，则，又直线AB的倾斜角
6、为，即，且，所以，故，可得，即.故选：C9. 已知空间两不同直线、，两不同平面，下列命题正确的是A. 若且，则B. 若且，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则不垂直于【9题答案】【答案】C【解析】【详解】因答案A中的直线可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线也成立，故不正确；答案C中的直线可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可能垂直于直线，故不正确应选答案C10. 数列中，.当时，n等于（ ）A. 98B. 99C. 100D. 101【10题答案】【答案】B【解析】【分析】根据累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出，结合即可求
7、解.【详解】由，得，.当时，此式也满足，故数列的通项公式为：.又因为，所以，解得.故选：B.11. 如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：存在点E，使；存在点E，使平面；EF与所成的角不可能等于；三棱锥的体积为定值.其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【11题答案】【答案】C【解析】【分析】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系，利用空间线面平行与垂直的判定及性质定理、向量的夹角判断异面直线所成角、三棱锥的体积计算公式即可得出【详解】解：设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，所在的直线为，轴建立空间直角
8、坐标系，则，0，0，1，1，0，0，1，1，点，则，而，因此，对于而言就是否存在实数，使，而，此即，这样的不存在，错误；对于而言就是否存在实数，使平面，首先我们在平面内任意找到两条相交直线的方向向量，不妨就找和，于是，即就是当为的中点的时候，正确；同理，对于而言，还是判断这样的实数是否存在，设其夹角为，则，令，此即，将上式平方解得，将回代原式结论成立，这样的存在；错误；对于来说，点无论在上怎样移动，底面的高不变，故而底面面积不变，三棱锥的高为定值，所以其体积为定值，故正确所以正确的个数为2个.故选：C.12. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）A
9、. B. C. D. 【12题答案】【答案】C【解析】【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解【详解】在中，故题干条件可化为，由余弦定理得，故，又由正弦定理化简得：，整理得，故或（舍去），得为锐角三角形，故，解得，故故选：C二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，满足：，与的夹角为，则_.【13题答案】【答案】【解析】【分析】先求出，再求出，问题转化为，计算求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：.14. 设直线与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为_【14题答案】【答案】【解析】【详解】因为圆心坐标与半径分别为，
10、所以圆心到直线的距离，则，解之得，所以圆的面积，应填答案15. 若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为_.【15题答案】【答案】【解析】【分析】采用分离参数法，可得，再令，对函数求导，利用函数单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果.【详解】令则，令，则由，在上，递减，在上，递增，且，作出函数的图像，如下图所示： 所以函数在上有两个零点，则实数的取值范围为.故答案为：.16. 已知等比数列各项均为正数，且满足：，记，则使得的最大正整数n为_.【16题答案】【答案】202【解析】【分析】根据可得，结合，可得，.根据可得，根据
11、可判断、，从而求得答案.【详解】，或，又，使的最大整数n为202.故答案为：202.三解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知.（1）求的单调递增区间及其图象的对称轴；（2）当时，求的值域.【17题答案】【答案】（1）增区间为，图象的对称轴方程为， （2）【解析】【分析】（1）先对函数化简得，由可求出其增区间，由求出其对称轴方程，（2）由，得，然后根据正弦函数的性质可求出函数的值域【小问1详解】，由，得，所以的增区间为，由，得，所以图象的对称轴方程为，【小问2详解】由，得，
12、所以，所以，所以，所以的值域为19. 如图，平面四边形ABCD中，将三角形ABD沿BD翻折到三角形PBD的位置，平面平面BCD，E为PD中点.（1）求证：；（2）求点B到平面PCD的距离.【19题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面PBD，即可证得，则求出的长，由勾股定理即可得出.（2）利用，构造方程即可得出答案.【小问1详解】由，得为正三角形，得，平面平面BCD，平面BCD，平面PBD，平面PBD，【小问2详解】平面PBD，得21. 某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A投资金额x（百万元）23456所获利润y（百
13、万元）0.20.20.40.80.9（1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，求出回归方程，并用样本相关系数加以说明y与x相关性的强弱（一般地，样本相关系数，则认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱）；（2）该公司计划用7百万元对A，B两个项目进行投资，若公司利用（1）中线性回归模型对项目A投资所获得的利润进行预测，对项目B投资百万元所获得的利润y近似满足：，求A，B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大.参考公式：，.样本相关系数.参考数据：统计数据表中，.【21题答案】【答案】（1），线性相关性较强 （2）A，B两个项目投资金额分别为5百万元，2百万元时，获得的总利润最大【解析】【
14、分析】（1）根据表中数据及参看数据，求出，进而求得回归直线方程和相关系数，利用相关系数可以说明变形的相关强弱即可求解；（2）根据已知条件列出总利润的表达式，再利用基本不等式即可求解.【小问1详解】由已知，所以线性回归直线方程为.y与x线性相关性较强【小问2详解】设B项目投资百万元，则A项目投资百万元总利润当且仅当即时取等号，此时所以A，B两个项目投资金额分别为5百万元，2百万元时，获得的总利润最大.23. 已知函数.（1）当时，求的极值；（2）设，是函数图象上的两个相异的点，若恒成立，求实数a的取值范围.【23题答案】【答案】（1），. （2）.【解析】【分析】（1）对求导，根据其导函数与极值
15、的关系即得；（2）由题得，构造即有，进而转化为在上恒成立，即可求范围.【小问1详解】当时，由，得或，x00y极大值极小值，.【小问2详解】不妨设，由，得，即，设，则有时，则在单调递增，在恒成立，又，得，又，当且仅当时，取等号，.25. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，PM与PN的斜率均存在，分别记为，.（i）求证：；（ii）求面积的取值范围.【25题答案】【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】（1）根据轴长和离心率即可求解；（2）（i）根据已知椭圆方程求出M，N坐标，设，由斜率公式
16、及点在圆上即可证明是定值；（ii）求直线PM，的方程，进而得到直线的方程，再与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出弦长，用点到直线的距离公式求出的高，再结合三角形的面积公式及基本不等式即可求解.【小问1详解】，又，椭圆C的标准方程为.【小问2详解】（1）设,过P点与椭圆C相切的直线方程为消去，得，得，由已知，则，又，所以.（2）设，设PM：，由消去，得，得，同理，的方程,由得，.到的距离，令，则,所以面积的取值范围为.27. 在平面直角坐标系中，设曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2
17、）设P，Q分别为曲线与上的动点，求的最大值.【27题答案】【答案】（1）：，：. （2）【解析】【分析】（1）直接利用三角消参的普通方程；用公式法得到的直角坐标方程；（2）用几何法求解，先求出的最大值，加上半径即可.【小问1详解】曲线的参数方程为（为参数），消去，得：.的极坐标方程为可化为，化为直角坐标方程为：.【小问2详解】圆：的圆心，半径为.所以.由的直角坐标方程为：，化为参数方程是（为参数），所以.所以所以即最大值为.29. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设，且，求证：.【29题答案】【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）用零点区间讨论法即可求解（2）要证，需证的最大值小于的最大值【小问1详解】原不等式等价于 或或解得；解得；解得则原不等式得解集为【小问2详解】当时， 取得最小值，且 即 .当且仅当 ，时等号成立 即高中数学资料共享群（734924357）