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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date奥运会临时超市网点设计模型奥运会临时超市网点设计模型奥运会临时超市网点设计模型摘要：本文主要就在比赛主场馆的周边地区建设奥运会临时超市网点进行了全面设计分析，用概率统计分析观众在出行、用餐和购物等方面的规律。在此基础上，运用迭代法依次计算出各商区的人流量分布，再依据人们的购物需求，运用图的最小覆盖模型来进行商区内MS网点的全面设置。运用概率之和为1以及数据的可接受性来
2、说明方法的科学性。再进行规律总结时，运用样本统计，样本概率体现总体概率，总体概率适当运用于局部概率，从而分析出观众的各种需求的特点、规律。测算人流量分布时，总结各商区之间的巧妙联系，运用概率统计计算出来的数据，构造迭代公式，逐次求出各商区的人流量分布。 把各个商区的人流量与购物需求通过消费额的比例联系起来，算出每个商区的购物欲望指数，然后运用图的最小覆盖原理决定在哪些商区设置MS网点以及MS网点的类型大小规模。 运用最基本的概率统计、合理的假设和数据的精确性以及用百分比表示各出行方式时概率之和为1，运用于不同馆体时具有一致规律，来验证模型的建立的科学性，通过问题的合理转化，可以运用最小覆盖模型
3、来解决。主要问题的结论：1 出行、用餐和购物所反映规律：观众们的主要出行方式是出租和地铁，其次是公交，私家车相比较而言偏少。在就餐方面，主要以西餐为主。已经达到70%以上，去中餐和商场者则相差不多比较均衡。在购物方面，主要以消费额3为主，已达到65%，进行消费额为5和6的消费者几乎为零。而且从统计数据中显示，消费额3阶段的人群中在年龄2的比例要远远大于其他年龄段的人。2. 各商区人流量分布情况：A1A2A3A4A58.43%8.42%9.21%10%10.79%A6A7A8A9A1011.99%10.79%10%9.21%8.42%B1B2B3B4B5B68.04%7.21%7.22%7.21
4、%8.05%9.32%C1C2C3C47.25%6.66%7.25%9.64%3. 网点的具体设置： 在商区A4，A6，A8，设立两个大规模的MS网点，在商区A2,A10设立两个小规模的MS网点。在商区B1，B5设立两个大规模的MS网点，在商区B3设立两个小规模的MS网点。在C2设立两个小规模的MS网点，C4设立两个大规模的MS网点。4. 验证方法的科学性： 均匀分布的假设、解决问题的方法是合理的、科学的。关键词：概率统计 样本概率估计总体概率 迭代 图的最小覆盖原理一 问题的重述和分析 08年北京奥运会是国际性的运动会，观众、游客来自全国各地，人数较多，此时的北京也是中国形象的体现，要让全世
5、界看到一个热情、文明、美丽、先进的中国。当然也是赚钱的好机会，建设工作固然重要。建设本着以下三个要求：a.满足奥运会期间的购物需求， b.分布基本均衡， c.商业上赢利。选址重要依赖以下两个因素：a.商圈内的人流量 b.购物欲望。现有对某一运动会场三场比赛的不同年龄段的观众们就出行、用餐和购物方面的统计数据，据概率统计可知，样本反映总体。最短路径问题，即到目的地最小的路径，要研究的问题是：（1）根据问卷调查结果，找出出行、用餐和购物等方面所反映的规律。（2）假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径,依据一结果，测算图中20个商区的人流量
6、分布（用百分比表示）。（3）如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出20个商区内MS网点 的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足三个基本要求。（4）阐明方法的科学性，并说明结果是贴近实际的。二、模型的假设和符号说明（一）、模型的假设：1. 假设人们的出行方式上只有出租、公交、地铁和私车，而不考虑从各出口到乘坐交通工具所需的步行距离。从题目中所给的建模结构图中，我们可以看出对于A，B，C三个区都有两个出口到馆外，因此基于假设我们可以把出行方式和餐饮分成两部分来计算，得到简化的模型。2. 假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最
7、短路径。3. 假设每位观众都会进出馆一次、用餐一次，4. 假设在各个消费档次的人服从均匀分布，即可取每个消费档次的均值作为各自的消费额。（二）、符号说明A：国家体育场（鸟巢） B：国家体育馆 C：国家游泳中心A1-A10，B1-B6，C1-C4为A，B，C三个区所有的商区用、表示其一商区。： 每种出行方式的概率。：表示某几种出行方式的概率和， ：表示A区在某种方式下的人流量, 三、模型的建立和求解（一）、观众在出行、用餐和购物所反映规律。通过问卷调查我们可统计出附件一，我们可以求由此附件利用概率统计求出出行方式、用餐和消费的概率平均值，（以便后面使用）记录如下：出行方式公交（南北）公交（东西）
8、出租私车地铁东地铁西Pi0.1679366670.17261750.1897510.0903860.1890648330.190728333出行方式概率平均值表1用餐方式中餐西餐商场（餐饮）Pi0.224860.5414180.250124用餐方式概率平均值表2消费额档123456Pi0.19450.2480940.4405310.0921040.0150.009771消费额档次概率平均值表3由统计出的附件一，我们可以利用期望值得出观众出行、用餐、和消费期望表，并且由此我们可以总结出规律，如下：图一根据上图我们可以看出，观众们的主要出行方式是出租、地铁，其次是公交，而私家车较少，出租和地铁是较
9、方便快捷的交通工具，特别是在奥运会那种人多汹涌的场合，更成为大多数人的优先考虑的方式。因此，我们应该适当多的安排出租车辆，增多地铁班次。同时还要合理安排公交路线，最大限度的方便人们的出行，以免出现交通阻塞。图二由上图可知，观众们主要就餐方式是西餐，奥运会上，外国朋友也来了好多，各国都有各自的风俗习惯，所以，我们在之前应该先了解一下别国的就餐文化，这也是非常重要的，然后再考虑此次奥运会餐饮安排问题，主要以西餐为主。具体就要靠我们的工作人员了。 图三由附件四数据列下图：图四由图三可知，消费者的主要消费水平是消费额3，消费额5和消费额6几乎为零，说明消费档次高的很少，这也正反映大多数人的消费水平处于
10、中等状态的社会经济情况，进行消费额3的已达到70%，这与人们的消费理念也有关系，消费额3，200300元，价钱适中，消费者都能接受，由此，我们主要就是安排消费额为3的餐饮，以满足大家的需求也达到盈利的目的。进一步考虑，图四中则显示了各个不同消费档次中的不同年龄段的人群比例，较为突出的是在最多的消费额3中，可以看出年龄2的人群占很大比例，约40%多，而且在其他消费档次中此年龄段也都占大多数，说明年龄2的人流量多的商区应该有较强的购物欲望。(二)、 各商区人流量分布A、B、C三区人数所占比例由已知条件可以得知每地方的人数，接下来计算时我们可以把这三区看成是各自独立的，分别对这三馆周围的商区人流量分
11、布进行迭代分析，具体过程如下：A、B、C三区人数总和是20，A区总共可容纳10万人，所占比例为1/2，B区总共可以容纳6万人，所占比例为3/5，C区总共容纳4万人，所占比例为1/5.假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。根据题目中所给的建模结构图知，若A区观众要开私车或乘东西公交或坐出租或去吃中餐，依据所走路径要最短，都必须经过路口；若观众要乘南北公交，东地铁，西地铁或去吃西餐或商场（餐饮），依据所走路径要最短，则必须经过。对于B区，若观众要开私车或乘东西公交或坐出租或去吃中餐，依据所走路径要最短，都必须经过B3路口; 若观众要乘南
12、北公交，东地铁，西地铁，或去吃西餐或商场（餐饮），依据所走路径要最短，则必须经过。对于C区，若观众要开私车或乘东西公交或坐出租或去吃中餐，依据所走路径要最短，都必须经过C2路口；若观众要乘南北公交，东地铁，西地铁或去吃西餐或商场（餐饮），依据所走路径要最短，则必须经过 C4，。因此，为了方便我们可以以大屯路和成府路中间的人行道为界限，把六种出行方式所在地方分为两区（一区和二区）：一区：公交（南北）、地铁（东）、地铁（西），其总概率为；二区：公交（东西）、出租、私车，其总概率为。类似的，吃西餐和去商场的算法与一区相同，吃中餐与二区算法相同。并且A区、B区、C区可以在独立的基础上运用迭代方式进行相
13、似的运算求得各商区的人流量分布。具体做法如下：u 我们先对A区的所有商区的人流量进行分析求值。每位观众平均出行两次，一次为出行方式不同，一次为用餐，所以，影响商区人流量分布的主要是出行方式和用餐方式，我们假设每位观众都会进出馆一次、用餐一次，两者相互独立，根据统计学可知，两者互不影响，可以分开考虑，在此我们用同样的方法进行此题的解答。 下面我们先考虑A区出行方式对人流量分布的影响情况：A区有十个出口，每个出口对应一个商区，我们可以得知每个人从每个出口出去的概率为1/10（每个人都有十种选择，且必须出去）对于要去一区的观众，我们可以通过问题2中出行方式概率的数据，运用迭代法可以求出A1-A10的
14、人流量，对于要去二区的观众，我们同样可以通过问题2中出行方式概率的数据，运用迭代方式求出A1-A10的人流量先求对于要去二区的观众的人流量详细分析：A6出口人群要去二区有两条路线，所占概率分别为1/2，且要经过A5、A4、A3、A2、A1(或A7、A8、A9、A10、A1)所以，A6的人流量对A5、A4、A3、A2、A1(或A7、A8、A9、A10、A1)的人流量都有影响，且可得迭代式如下： 下面考虑去一区的观众的人流量的分布：详细分析：A1出口要去一区有两条路线，所占概率分别为1/2，且要经过A2、A3、A4、A5、A6(或A10、A9、A8、A7、A6)所以，A1的人流量对A2、A3、A4
15、、A5、A6 (或A10、A9、A8、A7、A6)的人流量都有影响，且可得迭代式如下： 依此类推，分别用上述两种算法求出吃中餐（概率为），吃西餐和商场（概率总和为），对各个商区人流量的分布的影响及最后比例。由附件二列表格为下：一区二区中餐西商均值A10.04780.14530.09620.04780.084275A20.06090.12360.08550.06680.0842A30.08710.1020.07470.10460.0921A40.11330.08030.0640.14250.100025A50.13950.05870.05320.18030.107925A60.16570.047
16、80.04780.21820.119875A70.13950.05870.05320.18030.107925A80.11330.08030.0640.14250.100025A90.08710.1020.07470.10460.0921A100.06090.12360.08550.06680.0842从而可以得出A各个商区的人流量分布图如下：图五u 接下来我们对B区的所有商区的人流量进行分析求值。用同样上述迭代方法，利用Matlab计算数据，再运用Excel作图，可得B区的各商区人流量分布图，如下：图六u 下面我们对C区的所有商区的人流量进行分析求值。用同样上述迭代方法，利用Matlab计算
17、数据，再运用Excel作图，可得B区的各商区人流量分布图，如下：图七总结上面（A区、B区、C区各商区）图五、图六、图七得到20个商区人流量分布图如下：图八（三）、对20个商区内MS网点的具体设计方案假设不同消费额档次中的每个人的消费额服从均匀分布，则取他们的均值（50，150，250，350，450，550）作为划分购物欲望的界限。实际上，用各个商区的人流量和不同消费档次的比例及其均值之积，表示出每个商区商区的消费欲望。利用前两个问题的计算结果，和上述的计算方式得出以下各表和图(详见附件三)：A的所有商区消费情况表A1A2A3A4A516.940116.9218.507520.09521.68
18、25A6A7A8A9A10均值24.093921.682520.09518.507516.9218.82902由上表作图： 图九B的所有商区的消费情况表：B1B2B3B4B5B6均值16.176514.488514.508614.488516.176518.728515.76118根据表作下图： 图十C的所有商区的消费情况表：C1C2C3C4均值14.568913.383314.568919.371615.47318根据表作图： 图十一这样得出各个商区的消费欲望指数后，接下来我们就要运用图论的最小覆盖原理来确定具体在哪些商区设立MS网点，及设立哪种类型的MS网点，且满足题目中所说的要求：MS网
19、点分布均衡，满足购物需求，保证商业盈利。在图论中，对于图G,若图G的每一条边都至少有一个顶点在其顶点集V的某个子集内，则称为G的覆盖。而含顶点个数最少的覆盖成为最小覆盖。求解过程：（A区的20个商区）1. 把20个商区作为顶点集V，若两个商区相邻，则代表其得两个顶点之间有边，由此得出边集E。图G如下：得出它的关联矩阵 2. 在关联矩阵A中去恰有2个1的那一列中1所在的行（如第2行），令属于，并划去行及行中元素1所在的第1、2列，得到 3.依次重复第2步的算法，得到 把第三行对应的顶点加入，集合即为最小覆盖，也就是我们设立MS网点的商址。 由于一个图的最小覆盖并不唯一，最后通过计算得到，或，我们
20、可以任选一个作为最后的结果，就如是，则表示要把MS网点设立在商区A2，A4，A6，A8，A10。下面我们进一步考虑在这些商区中具体MS点规模大小以及个数的设置：在没有设置MS网点的商区，若观众需要购物则需要到邻近的商区，从而增加了相邻的商区的人流量和购物需求量，且每个观众到临近一商区购物的概率分别是1/2，由此我们可以得出A区要设置MS网点的商区的消费额的统计表，如下：商区名A2A4A6A8A10均值初始时概率16.9220.09524.093920.09516.9218.829实际概率34.623840.1941.777540.1934.643838.2850由表格知，由于题目中没有给出大小
21、规模的标准，不妨我们假设若的初始概率大于其初始概率均值，并且实际概率大于其实际概率均值，我们就在此设置两个大规模MS网点，若的初始概率大于其初始概率均值，并且实际概率小于其实际概率均值，我们就在此设置一个大规模MS网点和一个小规模MS网点，若的初始概率小于其初始概率均值，并且实际概率大于其实际概率均值，我们也在此设置一个大规模MS网点和一个小规模MS网点，若的初始概率小于其初始概率均值，并且实际概率小于其实际概率均值，我们也在此设置两个小规模MS网点，由上图可知具体设置为下：A2区设置两个小规模MS网点，A4区设置两个大规模MS网点，A6区设置两个大规模MS网点，A8设置两个大规模MS网点，A
22、10设置两个小规模MS网点。运用同种统计方法我们可以画出B区、C区统计图，分别如下：商区名B1B3B5均值初始时概率16.176514.508616.176515.76118实际概率32.88628.9961232.78531.5557 B区统计图B1区设置两个大规模MS网点，B3区设置两个小规模MS网点，B5区设置两个大规模MS网点。商区名C2C4 均值初始时概率13.383319.371615.47318实际概率27.952327.952327.9523 C区统计图C2区设置两个小规模MS网点，C4区设置两个大规模MS网点。 （四）阐明方法的科学性，贴近实际性。对于问题一，我们采用了概率统
23、计，在数学中这是允许运用样本调查数据总结来反应总体概率情况的，其样本期望值更能精确地反应其出行方式、用餐和购物的规律，其样本方差反应波动变化大小，这也是我们在生活中常用的一种调查方式，以此来了解某种社会情况，如：市场问卷调查、大学生就业问卷调查，大学生考研情况调查等。由此，我们知道概率样本抽样调查是一较好的调查工具，也是较方便的一种方式，也比较切合实际，所得出来的数据（或曲线变化图）是比较科学的。因此，我们运用此方法是比较科学的。对于问题二，我们主要采用迭代方法，在进行各商区人流量分布分析时，一个商区的观众可以来自多个其他的商区，但考虑观众出行时采取最短路径，所以，根据模型结构图，我们可以看出
24、每个商区观众要走的路线，即可知道他们要想到达目的地所要经过的各个商区，并且我们还可以得知各个出行方式（用餐）的一个初始值，在我们知道各商区初始人数分布时，我们就可以建立迭代公式（初始条件已知），以此来求出总共的各商区人流量分布，从图五到图十中可得知A、B、C三个馆，其相互独立，但是调查结果变化趋势是一致的，符合同一规律，经验证还知道各出行方式、用餐概率之和为1，说明运用这种方法来建立数学模型是比较合理的。由得到的数据也是允许范围内的，是可以接受的。对于问题三，仍要先采用概率中的期望，然后采用图论最小覆盖模型。我们可以先把问题转化一下，MS网点的设置目的是满足人们的购物需求、分布均衡、能赢利，所
25、以要根据人们的购物欲望和商区盈利多少来进行MS 网点的设置，我们在进行模型的建立时，用概率统计中各个消费档次的消费额服从均匀分布，每种消费额都用中间值来代替，中间值也就是算术平均值，用中间值来计算各商区的总收入（这是一个近似解的计算），是比较接近实际问题的解的，是可以代替来计算的，当然，会有模型误差的存在。在数学领域，是合理的，科学的。对于最小覆盖模型的建立，我们在解题中已经给出最小覆盖的意义，我们在进行商区MS点的建立时，虽说是临时的，但是还需要一定的额外支出（在此我们简写为投资），作为经商投资者，固然是投资越低越好，也即MS点的设置在满足三个基本条件时，应尽量少的设置，用最少MS网点个数来
26、覆盖整个馆区，也就转化为最小覆盖问题，因此，我们就可以运用此问题来进行MS网点的具体设置。 四模型的比较和评价我们第一步运用数学中较简单的概率统计、样本调查通过问卷调查数据来反应出行方式、用餐、购物的规律，当然，我们在模型的建立时省略了一些情况，如：一些观众不认真的填写调查问卷，观众上座率等，还有我们运用期望值来作为大小规模的标准，这是由于在问题中没有准确的给出。这些均不同程度的影响了该模型的理想化。最小覆盖模型在第三问中发挥了重要的作用，反应出MS点的合理设置。由于掌握知识的有限性，只能就所给出的问题结合自己所写知识来进行分析与设计。 参考文献：1. 叶中行等.概率论与数理统计M.科技出版社.20032. 姜启源.数学模型M.北京：高等教育出版社，2003；83. 后勤工程学院数学教研室附录：与问题有关的具体数据见附件一、附件二、附件三、附件四。 -