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1、1 1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质一、二重积分的概念一、二重积分的概念1.1.两个实例两个实例例例1 求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积Oxyz曲顶柱体曲顶柱体DxyO1. 用曲线网将用曲线网将D任意分为任意分为n个小闭区域：个小闭区域：)(),.,(),.,(),(21ni 记记)(i 的面积为的面积为i ，),.,2 , 1(ni )(i DxyO)(i 2.任取一点任取一点Dii ),( im ),.,2 , 1(ni ，第第i个小薄片的质量个小薄片的质量 ),(ii .i ),(ii DxyO)(i ),(ii 3. 求和求和im ),(ii .i ni 1 ni 1 mD
2、xyO)(i ),(ii 4. 将将D分得越细，分得越细，近似值近似值),(ii .i ni 1就越接近于精确值就越接近于精确值m记记)(i 的直径为的直径为id， 最大直径最大直径inid 1max 令令0 ， 取极限取极限， 则有则有),(ii .i ni 10lim m2.二重积分的概念二重积分的概念定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函数上的有界函数.将闭区域将闭区域D任意分为任意分为n个小闭区域：个小闭区域：)(),.,(),.,(),(21ni 记记)(i 的面积为的面积为i ，任取一点任取一点)(),(iii ),.,2 , 1(ni ，作和作和 niii
3、if1),( .记记,)(i 的直径为的直径为idinid 1max 最大直径最大直径),.,2 , 1(ni ,.如果极限如果极限且该极限值与且该极限值与D的分法以及点的分法以及点),(ii 的取法无关，的取法无关，则称该极限值为函数则称该极限值为函数),(yxf在闭区域在闭区域D上的二重积分，上的二重积分， 记为记为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(=0lim ),(iif i ni 1存在存在，0lim ),(iif i ni 1 Ddyxf ),(=0lim ),(iif i ni 1说明说明按定义按定义被积函数被积函数积分区域积分区域面积元素面积元素积分和式积分和式由例由
4、例1得得),(iif .i ni 10lim V= Ddyxf ),(由例由例2得得),(ii .i ni 10lim m= Ddyx ),(二重积分二重积分在区域在区域D上曲面上曲面),(yxfz 与与xoy曲顶柱体的体积的代数和曲顶柱体的体积的代数和.的几何意义：的几何意义： dyxfD ),(面所围的面所围的问：问：当当Dyxyxf ),( , 1),(时，得二重积分时，得二重积分 Dd 1=? )(的面积D3.可积条件可积条件若函数若函数),(yxf在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续,则二重积分则二重积分 Ddyxf ),(一定存在一定存在.(不证不证)性质性质 Ddyxgyxf
5、),( ),( DDdyxgdyxf ),(),(（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）二、二重积分的性质二、二重积分的性质则为常数设, 以下性质中的闭区域以下性质中的闭区域均指有界闭区域均指有界闭区域,D说明说明:且具有有限面积且具有有限面积.性质性质 2 如果闭区域如果闭区域D被有限条曲线分为被有限条曲线分为有限个部分闭区域有限个部分闭区域, 则在则在D上的二重积分上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.例如例如:D被分为两个部分闭区域被分为两个部分闭区域21,DD则有则有 Ddyxf ),(= 1),(Ddyxf +
6、 2),(Ddyxf 性质性质 3 如果在如果在D上上, 1),( yxf为为D的面积的面积, 则则 Dd 1= Dd =性质性质 4 如果在如果在D上上,),(),(yxgyxf 则有则有 Ddyxf ),( Ddyxg ),(特别地，有特别地，有|),(| Ddyxf Ddyxf | ),(|性质性质 5设设mM、分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域D上的最大值和最小值，上的最大值和最小值， 则有则有 Ddyxf ),( m M这里这里 为为D的面积的面积.（二重积分的估值不等式）（二重积分的估值不等式）性质性质 6 (二重积分的中值定理二重积分的中值定理)设函数设函数),(yxf在闭
7、区域在闭区域D上连续上连续, 为为D的面积的面积, 则在则在D上至少存在一点上至少存在一点),( 使得使得 Ddyxf ),(= ),(f证证),(yxf在闭区域在闭区域D上连续上连续,),(yxf在闭区域在闭区域D上有最大值上有最大值M和最小值和最小值m由性质由性质5得得 Ddyxf ),( m M即即 Ddyxf ),(1 m M由介值定理得由介值定理得: 至少存在一点至少存在一点D ),( 使得使得 Ddyxf ),(1=),( f即即 Ddyxf ),(=),( f Oxyz),(yxfz D),(ii ),(),(iiDfdyxf例例3估计积分估计积分 DydxI )1(的值的值.解
8、解上上，在在 D. 2, 2: yxD00其其中中2, 2 yx001 x 1 3yx)1( 1y 3y 1 329 即即yx)1( 19 Dydx )1( 1 的面积的面积D 4 49 4 436 22yx 0)ln(22 yx解解),(1yxyxrD的点中满足：又对于 Ddyx )ln(22)ln(22yx 1 02)( yx 0 0 1 22)ln(yxrdyx 例例4 判断判断的符号的符号.这里常数这里常数0 r.1: yxrD设设则在则在D上上,有有有有从而从而,上，在D,.0)ln(22 yx即即: 原积分是负的原积分是负的.练习：练习： 设设),(yxf在原点的某邻域内连续，在原点的某邻域内连续，求求?),(1lim20 dyxfD这里这里| ),(222 yxyxD作业问题：作业问题：P61, 10 二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积的代数和）（曲顶柱体的体积的代数和）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结（积分中值定理）（积分中值定理）五、作五、作 业业1, 2,3(2), 4, 5(1)(4)P13631 结束语结束语