中考数学专题复习--圆压轴八大模型题(5)-三切线组合.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date中考数学专题复习-圆压轴八大模型题(5)-三切线组合中考数学专题复习-圆压轴八大模型题(5)-三切线组合圆压轴题八大模型题(五)泸州市七中佳德学校 易建洪引言:与圆有关的证明与计算的综合解答题,往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上,是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展,本文结合近年来各省市中考题,整理了这些习题的常见的结

2、论,破题的要点,常用技巧。把握了这些方法与技巧,就能台阶性地帮助考生解决问题。类型5 三切线组合直角梯形ABCD中,ADBC,B90,以AB为直径的半圆O与CD相切于点E. 图(2)图(3)图(1)(4)求证:COAE, DOBE.(3)求证:CO2CBCD;(1)AD4,BC9,求AB;(2)求证:4ADBCAB2.【分析】(1)法一:如图(a)过点D作DFBC,ABDF12.法二:如图(b)由OBCDAO,或COEODE得:r24936,r6,AB12.(a)(b)(2) 由OBCDAO,或COEODE得:r2ADBC,( )2ADBC,4ADBCAB2(3)由RtCBORtCOD得:CO

3、2CBCD.(4)CFECOGEGD90,COAE,DOBE. 图(6)图(5)图(4)(6)求证:DG=AG.(7)求证:EP=FP.(5)求证:EP=FP.(8)若AB=2,AD=2,求BC和EF的长.【分析】(5)由CBEFDA,CBCE,DADE得,EPFP.(6)由CBCE,CBECEBDEG;CBDA得CBED,DEGD.DGEG,又EGGA,DGAG.(7)EFDA,得, 又DGGA,得EPFP.(8)由AB24ADBC得:(2)242BC,BC2.5,CFBC2.5,BF5.在RtABF中,AF3.由ADBF得,EFAF3【典例】(2018湖南娄底)如图,已知半圆O与四边形AB

4、CD的边AD、AB、BC都相切,切点分别为D、E、C,半径OC1,则AEBE_.图a图5-1【分析】连接 OE,由切线长定理可得AOEDOE,BOEEOC,再根据DOEEOC180,可得AOB90,继而可证AEOOEB,根据相似三角形对应边成比例即可得.解:如图,连接 OE,AD、AB与半圆 O 相切, OEAB,OA平分DOE,AOEDOE,同理BOEEOC,DOEEOC180,AOEBOE90,即AOB90,ABOBAO90,BAOAOE90,ABOAOE,OEABEO90,AEOOEB,AE:OEOE:BE,AEBEOE1,答案:1.【点拨】由切线长定理引出的四个母子相似三角形中,含直角

5、三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除开由切线长所在的特殊四边形的特殊结论以外,往往借助切线长定理中的边等角等和比例线段证明线段相等,或运用局部占总体的比例求线段长。善于分解图形,构建基本的图形模型,综合运用解决问题。【变式运用】1.(2016大庆)如图,在RtABC中,C90,以BC为直径的O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH.(1)求证:MH为O的切线.(2)若MH,tanABC,求O的半径.(3)在(2)的条件下分别过点A、B作O的切线,两切线交于点D,AD与O相切于N点,过N点作NQBC,垂足为E,且交O于Q点,求线段NQ的长度.解:(1)连接OH、OM,H是AC的中

6、点,O是BC的中点,OH是ABC的中位线,OHAB,COHABC,MOHOMB,图5-2又OBOM,OMBMBO,COHMOH,在COH与MOH中,COHMOH(SAS),HCOHMO90,MH是O的切线;图b(2)MH、AC是O的切线,HCMH,AC2HC3,tanABC,BC4,O的半径为2.(3)连接OA、CN、ON,OA与CN相交于点I,AC与AN都是O的切线,ACAN,AO平分CAD,AOCN,AC3,OC2,图c由勾股定理可求得:AO,ACOCAOCI,CI,由垂径定理可求得:CN,设OEx,由勾股定理可得:CN2CE2ON2OE2,(2x)24x2,x,CE,由勾股定理可求得:E

7、N,由垂径定理可知:NQ2EN2.(2016广西梧州)如图,AB、BC、CD分别与O切于E、F、G,且ABCD连接OB、OC,延长CO交O于点M,过点M作MNOB交CD于N(1)求证:MN是O的切线;(2)当OB6cm,OC8cm时,求O的半径及MN的长(1)如图所示,连接OE、OF、OG.OE、OF、OG都是O的半径,OEOGOG.AB、BC、CD分别与O相切于点E、F、G,图5-2OEBOFBOFCOGC90.在RtOEB和RtOFB中,RtOEBRtOFB,则OBEOBF.同理可证RtOFCRtOGC,则OCFOCG.图dABCD,OBEOBFOCFOCG180,即OBFOCF90,则B

8、OC180OBFOCF90. MNOB,NMCMOB180BOC90,即OMMN,又OM是O的半径,MN是O的切线。(2)如图所示,由(1)可得,在RtOBC中,OFBC,BOC90。由勾股定理得,则,即10OF48,故OF4.8.OMOF4.8,MCOMOC12.8。由(1)知,OCBMCN,NMCBOC90,则NMCBOC,因此,即,故。综上所述,O的半径为4.8cm,MN的长为9.6cm.3.(2018湖北襄阳)如图,AB是O的直径,AM和BN是O的两条切线, E为O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CBCE(1)求证:DADE;(2)若AB6,CD4,求图中阴影部分的面积解:(1)证明:连结OE,OC.图5-3BN切O于点B,OBN90.OEOB,OCOC,CECB,OECOBC.OECOBC90.CD是O的切线.AD切O于点A,DADE.(2)过点D作DFBC于点F,则四边形ABFD是矩形.ADBF,DFAB6.DCBCAD4.FC.图eBCAD2. BCAD2.BC3.在RtOBC中,tanBOC,BOC60. OECOBC,BOE2BOC120.S阴影部分S四边形BCEOS扇形OBE2BCOBpOB293p.-

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