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1、1/7 圆压轴题八大模型题（五）泸州市七中佳德学校 易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型 5 三切线组合 直角梯形 ABCD 中，ADBC，B90，以 AB 为直径的半圆O 与 CD相切于点 E.【分析】(1)法一：如图(a)过点 D 作 DFBC,ABDF22(94)(94)12.法二：如图(b)由OBCDAO,或COEODE
2、 得：r24936,r6,AB12.OEDCBAABCDEO(3)求证：CO2CBCD；图(1)图(2)图(3)(1)AD4，BC9，求AB；(2)求证：4ADBCAB2.(4)求证：COAE,DOBE.OADECBODFECBAGFOADECB2/7 (2)由OBCDAO,或 COEODE 得：r2ADBC,(2AB)2ADBC,4ADBCAB2(3)由 RtCBORtCOD 得：CO2CBCD.(4)CFECOGEGD90,COAE,DOBE.【分析】(5)由 CBEFDA,CBCE,DADE 得EPCPBPFPDACABDDA,EPFP.(6)由 CBCE,CBECEBDEG;CBDA
3、得CBED,DEGD.DGEG,又 EGGA,DGAG.(7)EFDA,得EPBPFPDGBGGA,又 DGGA,得 EPFP.(8)由 AB24ADBC 得：（25）242BC,BC2.5,CFBC2.5,BF5.在 RtABF 中，AF22(2 5)535.由 ADBF 得45AEADEFCF,EF59AF5935553【典例】（2018湖南娄底）如图，已知半圆 O 与四边形 ABCD 的边 AD、AB、BC 都BCDEOAPFOEDCBAGPFOEDCBA(5)求证：EP=FP.(6)求证：DG=AG.(7)求证：EP=FP.(8)若 AB=25，AD=2，求 BC 和 EF 的长.FO
4、EDCBA图(4)图(5)图(6)(a)(b)3/7 相切，切点分别为 D、E、C，半径 OC1，则 AEBE_.【分析】连接 OE，由切线长定理可得AOE12DOE，BOE12EOC，再根据DOEEOC180，可得AOB90，继而可证AEOOEB，根据相似三角形对应边成比例即可得.解：如图，连接 OE，AD、AB 与半圆 O 相切，OEAB，OA 平分DOE，AOE12DOE，同理BOE12EOC，DOEEOC180，AOEBOE90，即AOB90，ABOBAO90，BAOAOE90，ABOAOE，OEABEO90，AEOOEB，AE：OEOE：BE，AEBEOE1，答案：1.【点拨】由切线
5、长定理引出的四个母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除开由切线长所在的特殊四边形的特殊结论以外，往往借助切线长定理中的边等角等和比例线段证明线段相等，或运用局部占总体的比例求线段长。善于分解图形，构建基本的图形模型，综合运用解决问题。BCDEOA图 5-1 图 a 4/7【变式运用】1.(2016大庆)如图，在 RtABC 中，C90，以 BC 为直径的O 交斜边 AB于点 M，若 H 是 AC 的中点，连接 MH.(1)求证：MH 为O 的切线.(2)若 MH32，tanABC34，求O 的半径.(3)在（2）的条件下分别过点 A、B 作O 的切线，两切线交于
6、点 D，AD 与O相切于 N 点，过 N 点作 NQBC，垂足为 E，且交O 于 Q 点，求线段 NQ 的长度.解：（1）连接 OH、OM，H 是 AC 的中点，O 是 BC 的中点，OH 是ABC 的中位线，OHAB，COHABC，MOHOMB，又OBOM，OMBMBO，COHMOH，在COH 与MOH 中，COHMOH（SAS），HCOHMO90，MH 是O 的切线；（2）MH、AC 是O 的切线，HCMH，AC2HC3，tanABC，BC4，O 的半径为 2.（3）连接 OA、CN、ON，OA 与 CN 相交于点 I，AC 与 AN 都是O 的切线，ACAN，AO 平分CAD，AOCN，
7、图 b 图 5-2 5/7 AC3，OC2，由勾股定理可求得：AO，ACOC AOCI，CI，由垂径定理可求得：CN，设 OEx，由勾股定理可得：CN2CE2ON2OE2，（2x）24x2，x，CE，由勾股定理可求得：EN，由垂径定理可知：NQ2EN 2.(2016广西梧州)如图，AB、BC、CD 分别与O 切于 E、F、G，且 ABCD 连接 OB、OC，延长 CO 交O 于点 M，过点 M 作 MNOB 交 CD 于 N（1）求证：MN 是O 的切线；（2）当 OB6cm，OC8cm 时，求O 的半径及 MN 的长 (1)如图所示，连接 OE、OF、OG.OE、OF、OG 都是O 的半径，
8、OEOGOG.AB、BC、CD 分别与O 相切于点 E、F、G，OEBOFBOFCOGC90.在 RtOEB 和 RtOFB 中，RtOEBRtOFB，则OBEOBF.同理可证 RtOFCRtOGC，则OCFOCG.ABCD,OBEOBFOCFOCG180，图 c 图 d 图 5-2 6/7 即OBFOCF90，则BOC180OBFOCF90.MNOB，NMCMOB180BOC90，即 OMMN,又OM 是O 的半径，MN 是O 的切线。(2)如图所示，由（1）可得，在 RtOBC 中，OFBC，BOC90。由勾股定理得，则，即 10OF48,故 OF4.8.OMOF4.8，MCOMOC12.
9、8。由（1）知，OCBMCN，NMCBOC90，则NMCBOC，因此，即，故。综上所述，O 的半径为 4.8cm，MN 的长为 9.6cm.3.（2018湖北襄阳）如图，AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，E 为O 上一点，过点 E 作直线 DC 分别交 AM，BN 于点 D，C，且 CBCE(1)求证：DADE；(2)若 AB6，CD43，求图中阴影部分的面积 解：（1）证明：连结 OE，OC.BN 切O 于点 B，OBN90.OEOB，OCOC，CECB，OECOBC.图 5-3 7/7 OECOBC90.CD 是O 的切线.AD 切O 于点 A，DADE.（2）过点 D 作 DFBC 于点 F，则四边形 ABFD 是矩形.ADBF，DFAB6.DCBCAD43.FC222 3DCDF.BCAD23.BCAD23.BC33.在 RtOBC 中，tanBOC3BCBO，BOC60.OECOBC，BOE2BOC120.S阴影部分S四边形BCEOS扇形OBE212BCOB120360OB2933.图 e