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1、圆压轴题八大模型题（五）圆压轴题八大模型题（五）泸州市七中佳德学校泸州市七中佳德学校易建洪易建洪引言：引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型类型 5三切线组合直角梯形ABCD中，ADBC，B90，以AB为直径的半圆O与CD相切于点E.(1)AD4，BC9，求AB；(2)求证：4ADBCAB2.(3)求证：COCBCD；2图(1)图(2)图
2、(3)(4)求证：COAE,DOBE.【分析】(1)法一：如图(a)过点D作DFBC,ABDF(9 4)2(94)212.法二：如图(b)由OBCDAO,或COEODE得：r24936,r6,AB12.(a)(b)(2)由OBCDAO,或COEODE得：rADBC,(4ADBCAB(3)由 RtCBORtCOD得：COCBCD.(4)CFECOGEGD90,COAE,DOBE.222AB2)AD2BC,图(4)图(5)图(6)(5)求证：EP=FP.(6)求证：DG=AG.(7)求证：EP=FP.(8)若 AB=25，AD=2，求BC 和 EF 的长.【分析】(5)由CBEFDA,CBCE,D
3、ADE得EPCPBPFP,EPFP.DACABDDA(6)由CBCE,CBECEBDEG;CBDA得CBED,DEGD.DGEG,又EGGA,DGAG.(7)EFDA,得2EPBPFP,又DGGA,得EPFP.DGBGGA2(8)由AB4ADBC得：（25）42BC,BC,CFBC,BF5.在 RtABF中，AF(2 5)25235.由ADBF得555EFAF355399AEAD4EFCF5,【典例】（2018湖南娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC1，则AEBE_.【分析】连接OE，由切线长定理可得AOEBOE1DOE，2图 5-1
4、1EOC，再根据DOEEOC180，可得2AOB90，继而可证AEOOEB，根据相似三角形对应边成比例即可得.解：如图，连接OE，AD、AB与半圆O相切，OEAB，OA平分DOE，AOE11DOE，同理BOEEOC，22图aDOEEOC180，AOEBOE90，即AOB90，ABOBAO90，BAOAOE90，ABOAOE，OEABEO90，AEOOEB，AE：OEOE：BE，AEBEOE1，答案：1.【点拨】由切线长定理引出的四个母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除开由切线长所在的特殊四边形的特殊结论以外，往往借助切线长定理中的边等角等和比例线段证明线段相等
5、，或运用局部占总体的比例求线段长。善于分解图形，构建基本的图形模型，综合运用解决问题。【变式运用】1.(2016大庆)如图，在 RtABC中，C90，以BC为直径的O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH.(1)求证：MH为O的切线.(2)若MH33，tanABC，求O的半径.24(3)在（2）的条件下分别过点A、B作O的切线，两切线交于点D，AD与O相切于N点，过N点作NQBC，垂足为E，且交O于Q点，求线段NQ的长度.解：（1）连接OH、OM，H是AC的中点，O是BC的中点，OH是ABC的中位线，OHAB，COHABC，MOHOMB，又OBOM，OMBMBO，COHMOH，在COH与
6、MOH中，COHMOH（SAS），HCOHMO90，MH是O的切线；（2）MH、AC是O的切线，图b图 5-2HCMH，AC2HC3，tanABC，BC4，O的半径为 2.（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，AC与AN都是O的切线，ACAN，AO平分CAD，AOCN，AC3，OC2，由勾股定理可求得：图cAO，ACOCAOCI，CI，由垂径定理可求得：CN，设OEx，由勾股定理可得：CNCEONOE，（2x）24x2，x，CE，由勾股定理可求得：EN，由垂径定理可知：NQ2EN22222.(2016广西梧州)如图，AB、BC、CD分别与O切于E、F、G，且ABCD连接OB、OC，
7、延长CO交O于点M，过点M作MNOB交CD于N（1）求证：MN是O的切线；（2）当OB6cm，OC8cm 时，求O的半径及MN的长(1)如图所示，连接OE、OF、OG.OE、OF、OG都是O的半径，OEOGOG.AB、BC、CD分别与O相切于点E、F、G，OEBOFBOFCOGC90.在 RtOEB和 RtOFB中，RtOEBRtOFB，则OBEOBF.同理可证 RtOFCRtOGC，则OCFOCG.ABCD,OBEOBFOCFOCG180，图d图 5-2即OBFOCF90，则BOC180OBFOCF90.MNOB，NMCMOB180BOC90，即OMMN,又OM是O的半径，MN是O的切线。(
8、2)如图所示，由（1）可得，在 RtOBC中，OFBC，BOC90。由勾股定理得，则，即 10OF48,故OF.OMOF，MCOMOC。由（1）知，OCBMCN，NMCBOC90，则NMCBOC，因此，即，故。综上所述，O的半径为，MN的长为.3.（2018湖北襄阳）如图，AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线，E为O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CBCE(1)求证：DADE；(2)若AB6，CD43，求图中阴影部分的面积解：（1）证明：连结OE，OC.BN切O于点B，OBN90.OEOB，OCOC，CECB，OECOBC.OECOBC90.CD是O的切线.AD切O于点A，DADE.（2）过点D作DFBC于点F，则四边形ABFD是矩形.ADBF，DFAB6.DCBCAD43.图 5-3FCDC2DF2 2 3.BCAD23.BCAD23.BC33.在 RtOBC中，tanBOCBC3，BO12图eBOC60.OECOBC，BOE2BOC120.S阴影部分S四边形BCEOS扇形OBE2BCOB1202OB933.360