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1、第4节单摆1理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源。2了解影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式。一、单摆的回复力1单摆：由小球和细线组成，细线的质量与小球相比 ，球的直径和线的长度相比 ，与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略，这样的装置叫做单摆。单摆是实际摆的 模型。2单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧 方向的分力。(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成 ，方向总指向 ，若单摆摆长为l、摆球质量为m，则回复力F ，因此单摆做 运动。二、单摆的周期1定性探究影响单摆周期的因素(1)探究方法：控制变
2、量法。(2)实验结论：单摆振动的周期与 无关，振幅较小时周期与 无关，但与摆长有关，摆长越长，周期 。2定量探究单摆的周期与摆长的关系(1)周期的测量：用停表测出单摆N(30或50)次全振动的时间t，利用T计算它的周期。(2)摆长的测量：用 测出细线长度l0，用 测出小球直径D，利用l出摆长。(3)数据处理：改变 ，测量不同 及对应周期，作出Tl、Tl2或T 图象，得出结论。3周期公式(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。(2)公式： ，即周期T与摆长l的二次方根成 ，与(单摆所在处的)重力加速度g的二次方根成 。判一判(1)一根细线一端固定，另一端拴一小球就构成一个单摆。()(
3、2)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。()(3)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的。()(4)单摆的振幅越大周期越大。()(5)单摆的周期与摆球的质量无关。()想一想(1)摆球经过平衡位置时，合外力是否为零？摆球到达最大位移处时v0，加速度是否等于0? (2)把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？ 课堂任务单摆及其回复力 1单摆(1)单摆是实际摆的理想化模型。(2)实际摆看做单摆的条件摆线的形变量与摆线长度相比可忽略；摆线的质量与摆球质量相比可忽略；摆球的直径与摆线长度相比可忽略；空气阻力与摆球的重力及绳的拉力相比可忽略。2单摆的回复力如图所示，重力G沿圆弧切线方
4、向的分力G2是摆球沿运动方向的合力，正是这个力提供了使摆球做简谐运动的回复力：FG2mgsin。3单摆的运动特点(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v0，半径方向都受向心力(最高点其向心力为零)。向心力由细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供。(2)摆球同时在平衡位置附近做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力。4单摆做简谐运动的推证在很小时(理论值为5)，sin。G2Gsinx，G2方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回xkx。因此，在摆角很小时，单摆做简谐运动。例1(多选)关于单摆，下列说法中正确的是()A单摆振动的回复力是重力
5、沿圆弧切线方向的分力mgsin，其中是摆线与竖直方向之间的夹角B单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力C单摆的摆球在平衡位置时(最低点)的加速度为零D单摆的振动周期在偏角很小的条件下跟振幅无关(1)摆球通过平衡位置时，做何种运动？加速度是零吗？ (2)“振幅很小”的含义是什么？ 回复力、向心力、合外力的区别与联系(1)区别回复力：使物体回到平衡位置且指向平衡位置的力；对单摆来说，重力沿圆弧切线方向的分力Fmgsin提供回复力。向心力：使物体做曲线运动且指向圆心的力；对单摆来说，摆线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。合外力：物体所受的合力，它使物体的运动状态发生变化。(2)联系：回复力、向心
6、力、合外力均为效果力且均为矢量。回复力、向心力一定是变力，合外力可以为恒力，也可为变力。对单摆来说，回复力与向心力的合力等于合外力。对于单摆振动，以下说法中正确的是()A单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C摆球经过平衡位置时所受回复力为零D摆球经过平衡位置时所受合外力为零 课堂任务单摆的周期1单摆的周期荷兰物理学家惠更斯发现单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与当地的重力加速度g的二次方根成反比，他确定周期公式为：T2 。(1)单摆的周期T2 ，只与摆长l及单摆所在处的重力加速度有关，与振幅及摆球的质量无关。(单摆的等时性就是指单摆的周期与
7、振幅无关的性质。)(2)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。(3)单摆周期公式中的g为单摆所在处的重力加速度，它会随地理位置的改变而改变。l为单摆的摆长。摆长是指从悬点到摆球重心的长度，ll，l为摆线长，d为摆球直径。2计算单摆的周期的方法(1)用单摆的周期公式T2 计算，计算的关键是正确确定摆长。(2)根据T计算。这是粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于t和N，但可以利用该方法计算周期，它会受到时间t和振动次数N测量的准确性的影响。3等效单摆如图是一半径为R的光滑凹槽，现将一半径为r的小球从稍稍偏离最低点的位置释放，小球做往复运
8、动的回复力与单摆振动的回复力均为重力沿圆弧切线方向的分力，其运动与摆长为(Rr)的单摆等效，故其周期T2 。 例2有一单摆，其摆长l1.02 m，摆球的质量m0.10 kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t60.8 s，试求：(1)当地的重力加速度是多大？(2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？(1)根据周期公式如何求重力加速度？ (2)要改变单摆的周期，可采用哪些措施？ 如图所示是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自A点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v1，用时为t1；第二次自B点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v2，用时为t2，下列关系正确
9、的是()At1t2，v1v2 Bt1t2，v1v2Ct1v2 Dt1t2，v1v2 如图所示是处于同一地点的两个单摆的振动图象。(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t0起，乙第一次到达右方最大位移处时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？课堂任务单摆模型的综合问题一、利用单摆求所处位置通过单摆周期公式求所在处的重力加速度，然后应用万有引力等知识求所在高度、深度、纬度等。二、等效摆长和等效重力加速度1等效摆长问题等效摆长为摆球运动轨迹所在圆弧的圆心到摆球球心间的距离。如图甲、乙所示，忽略摆球直径且摆球在垂直纸面的竖直平面内做小角度的摆动，则
10、其等效摆长分别为L甲Lsin，L乙LsinL1，周期分别为T甲2，T乙2。2等效重力加速度问题等效重力加速度为单摆处于静止状态时，摆线的拉力F(相当于视重)与摆球质量的比值，即g等。有关等效重力加速度的题比较复杂，但只要求出g等就可以求出对应的周期。(1)摆球为带电小球，摆线为轻质绝缘细线，竖直方向有电场的单摆。如图甲所示，电场方向竖直向下，摆球带正电，单摆处于静止状态时摆线的拉力FmgEq，其等效重力加速度为g等g，所以单摆的周期为T22。同理可得，如果电场强度竖直向上，则单摆的周期为T2。(2)摆线一端固定在光滑斜面上，另一端连接摆球，摆球在光滑斜面上小角度摆动的单摆。如图乙所示，在斜面上
11、摆球静止时摆线的拉力Fmgsin，所以g等gsin，在斜面上该单摆的周期为T2。例3有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T，当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T，求该气球此时离海平面的高度h。(把地球看做质量均匀分布的半径为R的球体)(1)单摆的周期与什么有关？ (2)同一经纬度处，离海平面越高，重力加速度越大还是越小？ 一单摆在地面上的摆动周期与在某矿井底部的摆动周期的比值为k。设地球的半径为R，假定地球的密度均匀，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。如图，一可视为质点的小球用长为L的细线系于与水平面成角的光滑斜面内，小球
12、呈平衡状态。若使细线偏离平衡位置，其偏角小于5，然后将小球由静止释放，则小球到达最低点所需的时间至少为多少？A组：合格性水平训练1.(单摆的认识)(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是()A摆线质量不计B摆线不可伸缩C摆球的直径比摆线长度短得多D只要是单摆的运动就是一种简谐运动2(单摆的回复力)单摆振动的回复力是()A摆球所受的重力B摆球重力在垂直悬线方向上的分力C悬线对摆球的拉力D摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力3(单摆的简谐运动)关于单摆，下列说法中正确的是()A摆球运动的回复力是它受到的合力B摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的C摆球在运动过程中加速
13、度的方向始终指向平衡位置D摆球经过平衡位置时，加速度为零4(单摆的周期)发生下列哪一种情况时，单摆周期会增大()A增大摆球质量B缩短摆长C减小单摆振幅D将单摆由山下移至山顶5(单摆周期的应用)如图所示，光滑圆弧轨道的半径为2 m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点的距离分别为6 cm与2 cm，a、b两直径相同的小球分别从A、B两点由静止同时释放，则两小球相碰的位置是()AC点 BC点右侧CC点左侧 D不能确定6(单摆的周期与运动)如图所示的单摆，摆长为l40 cm，摆球在t0时刻从右侧最高点释放做简谐运动，则当t1s时，小球的运动情况是(g取10 m/s2)()A向右加速 B向右减速C向
14、左加速 D向左减速7(单摆的周期)已知在地面上某一位置单摆a完成10次简谐运动的全振动的时间，单摆b正好完成6次简谐运动的全振动，两单摆摆长之差为1.6 m，则两单摆摆长La与Lb分别为()ALa2.5 m，Lb0.9 mBLa0.9 m，Lb2.5 mCLa2.4 m，Lb4.0 mDLa4.0 m，Lb2.4 m8(综合)图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图象，根据图象回答：(1)单摆振动的频率是多大？(2)开始时刻摆球在何位置？(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个单摆的摆长是多少？B组：等
15、级性水平训练9. (综合)(多选)甲、乙两单摆的振动图象如图，则()A若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲l乙21B若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲l乙41C若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比为g甲g乙41D若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比为g甲g乙1410(综合)关于单摆的运动，下列说法正确的是()单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力单摆的周期与摆球质量无关，与振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关单摆的运
16、动是简谐运动在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快A BC D11. (综合)(多选)如图所示，在同一地点用质量分别为m和2m的小球做成摆长相等的两个摆，开始时将它们拉开平衡位置的摆角分别为1和2，且125，放手后两单摆在摆动的过程中()A周期相等B周期不相等C通过最低点时细线的拉力相同D通过最低点时细线的拉力不同12(单摆的图象分析)(多选)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是()A甲、乙两单摆的摆长相等 B甲单摆的振幅比乙的大C甲单摆的机械能比乙的大D在t0.5 s时有正向最大加速度的是乙单摆13(单摆的周期)(多选)有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉
17、，当摆球经过平衡位置时，摆线上部被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从一边最高点摆到另一端最高点过程的闪光照片如图所示(悬点和小钉未被摄入)，P点为摆动的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知()AP点左方为摆线碰到钉子后的摆动 P点右方为摆线碰到钉子后的摆动C小钉与悬点的距离为 D每相邻两次闪光的时间间隔为 14(综合)如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲，单摆乙带正电，放在匀强磁场中，周期为T乙，单摆丙带正电，放在匀强电场中，周期为T丙，单摆丁放在静止的光滑斜面上，周期为T丁。已知以上四个单摆所在位置重力加速度大小相等，且摆长相等，那么()AT甲T乙T丙T丁 BT乙T甲T丙T丁CT丙T甲T丁T乙 DT丁T甲T乙T丙