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1、3.43.4基本不等式基本不等式一、新课引入一、新课引入上图是北京召开的第上图是北京召开的第2424届国际数学大会的会标届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽设计的，它，会标是根据中国古代数学家赵爽设计的，它是由四个全等的直角三角形拼接而成。颜色的是由四个全等的直角三角形拼接而成。颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。情好客。“风车风车”中有哪些图形，这中有哪些图形，这些图形的面积有什么相等些图形的面积有什么相等关系和不等关系？关系和不等关系？22Sab正方形ABCD直角三角形正方形SSABCD4abba222abS24直角三
2、角形不等式：不等式： 一般地，对于两个正数一般地，对于两个正数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab证明推导证明推导1： v问：何时相等？问：何时相等？结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立222aba b当当a,ba,b为任意实数时，为任意实数时， 还成立吗？还成立吗？此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式222aba b2.代数意义：两个正数代数意义：两个正数几何平均数小于等于它们几何平均数小于等于它们 的算术平均数
3、的算术平均数(0,0)2ababab（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）二二、新课讲解新课讲解算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数1.1.思考思考: :如果当如果当 用用 去替换去替换 中的中的 , ,能得到什么结论能得到什么结论? ? 0, 0ba,ab222aba bba,基本不等式基本不等式oabABPQ1.1.如图如图,AB,AB是圆是圆o o的的直径，直径，Q Q是是ABAB上任上任一点，一点，AQ=AQ=a a,BQ,BQ= =b b, ,过点过点Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，连，连AP,BPAP,BP, ,半径半径AO=AO=_ab2ba 几何意
4、义：几何意义：圆的半径大于等于圆内半弦圆的半径大于等于圆内半弦长长你能用这个图得出基本你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗不等式的几何解释吗? ?2.PQ2.PQ与与AOAO的大小关系怎样的大小关系怎样? ?则半则半PQ=PQ=_,_,基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a =b时，等号成立时，等号成立.当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.222(abab aR、b）重要不等式：重要不等式：(0,0)2ababab注意：注意：（1）不同点：两个不等式的）不同点：两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2）相同点：当且仅当）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。2
5、100 mxy例例1 1用篱笆围一个面积为的矩形用篱笆围一个面积为的矩形菜园菜园, , 问该矩形的长、宽各为多少时问该矩形的长、宽各为多少时, , 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少所用篱笆最短，最短的篱笆是多少? ?2100m三三、应用应用解解: (1): (1)设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为 , ,宽为宽为 , , 则则 , , 篱篱笆的长为笆的长为 . . xm100 xyymmyx)(21002 yx等号当且仅当等号当且仅当 时成立时成立, ,此时此时因此因此, ,这个矩形的长和宽都是这个矩形的长和宽都是10m10m时时, ,所用的篱笆最短所用的篱笆最短, ,最短为最短为40m40myx
6、 10 yx402yx得得即即由由xyyx22 (2)一段长为一段长为36m的篱笆围成一个矩形的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多时，菜园的面积最大，最大面积是多少？少？已知已知a,ba,b都是正数，都是正数， （1 1）若）若abab是定值是定值P, P, 则当则当a=ba=b时时, ,a+ba+b有最小值有最小值 ； （2 2）若）若a+ba+b是定值是定值S, S, 则当则当a=ba=b时时,ab,ab有最大值有最大值 ；P22S41积一定，和有最小值；积一定，和有最小值； 和一定，积有最大值。和一定，积有最大
7、值。注意：一正二定三相等！注意：一正二定三相等！1、本节课主要内容？、本节课主要内容？你会了你会了吗？吗？五五 、小结小结2 2、两个结论、两个结论: :两个正数两个正数, ,积定和最小积定和最小; ;和定积最大。和定积最大。.,.)2()2( ;2) 1 ( :2号成立时当且仅当即babaababba构造条件构造条件三三、应用应用0,02ababab（）20,0abab ab（）例例1、若若 ,求求 的最小值的最小值.10 xyxx变变3:若若 ,求求 的最小值的最小值.13 3xyxx 变变2:若若 ,求求 的最小值的最小值.0,0 baabyab发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用
8、不等式问问:在结论成立的基础上在结论成立的基础上,条件条件“a0,b0”可以变化吗可以变化吗？变变1: :若若 求求 的最小值的最小值, 0 xxxy23 0,02ababab（）0,02ababab2（）三三、应用应用例例2、已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.01 (1)xyxx 变式变式:已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.10 (12 )2xyxx 发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式应用要点：应用要点：一正数一正数 二定值二定值 三相等三相等结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有
9、最大值两个正数和为定值，则积有最大值多少元?多少元?造价为造价为使总造价最低?最低总使总造价最低?最低总怎样设计水池能怎样设计水池能, ,元元120120价为价为的造的造m m1 1池壁每池壁每元,元,150150造价为造价为的的1m1m每每底底池池果果.如.如3m3m深度为深度为, ,4800m4800m其容积为其容积为长方体贮水池,长方体贮水池,某工厂建造一个无盖的某工厂建造一个无盖的: :2 22 22 22 2例3.3.已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于5050，两条直角边各，两条直角边各为多少时为多少时, ,两条直角边的和最小，最小值是多两条直角边的和最小，最小值是多少
10、？少？4.4.用用20cm20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？怎样折？ 四四 、巩固巩固.,3, 6,. 2., 6,. 1nmnmmnnmnmmnnmnm此时值有最则满足若正数此时值有最则满足若正数大大933小小26232证明证明:要证要证abba2只要证只要证ba ( ) 要证，只要证要证，只要证ba 0( ) 要证，只要证要证，只要证（ ) 20ab2ab2abba 显然显然: : 是成立的是成立的, ,当且仅当当且仅当 时时中的等号成立中的等号成立. .证明:当 时, . abba20, 0ba作业作业课本课本P100P100习题习题3.4A3.4A组组 第第1,21,2题题再见再见! !min1:0,011221,1,2xxyxxxxxxyx解1当即时min2:0,30,02232 32 6263,2 63xxxyxxxxxxyx解2当即时min1:3,30,03111332 (3)323533313,4,53xxxyxxxxxxxxyx 解3当即时