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1、3.43.4基本不等式基本不等式一、新课引入一、新课引入上图是北京召开的第上图是北京召开的第2424届国际数学大会的会标，届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽设计的，它是会标是根据中国古代数学家赵爽设计的，它是由四个全等的直角三角形拼接而成。颜色的明由四个全等的直角三角形拼接而成。颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。好客。“风车风车”中有哪些图形，这中有哪些图形，这些图形的面积有什么相等些图形的面积有什么相等关系和不等关系？关系和不等关系？不等式：不等式：一般地，对于两个正数一般地，对于两个正数a、b，我们有，我们有当且仅
2、当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab证明推导证明推导1：v问：何时相等？问：何时相等？结论：结论：一般地，一般地，对对于任意于任意实实数数a a、b b，我，我们们有有 当且当且仅仅当当a=ba=b时时，等号成立，等号成立当当a,ba,b为任意实数时，为任意实数时，还成立吗？还成立吗？此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式2.代数意义：两个正数代数意义：两个正数几何平均数小于等于它们几何平均数小于等于它们 的算术平均数的算术平均数（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）二二、新课讲解新课讲解算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数1.1.思考思考:
3、如果当如果当 用用 去替换去替换 中的中的 ,能得到什么结论能得到什么结论?基本不等式基本不等式oabABPQ1.1.如图如图,AB,AB是圆是圆o o的的直径，直径，Q Q是是ABAB上任上任一点，一点，AQ=AQ=a a,BQ,BQ=b b,过点过点Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，连，连AP,BPAP,BP,半径半径AO=AO=_几何意义：几何意义：圆的半径大于等于圆内半弦长圆的半径大于等于圆内半弦长你能用这个图得出基本你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗不等式的几何解释吗?2.PQ2.PQ与与AOAO的大小关系怎样的大小关系怎样?则半则半PQ=PQ=_,_,基本不等式：
4、基本不等式：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.重要不等式：重要不等式：注意：注意：（1）不同点：两个不等式的）不同点：两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2）相同点：当且仅当）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。例例1 1用篱笆围一个面积为的矩形用篱笆围一个面积为的矩形菜园菜园,问该矩形的长、宽各为多少时问该矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短，最短的篱笆是多少所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?三三、应用应用解解:(1):(1)设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为 ,宽为宽为 ,则则 ,篱篱笆的长为笆的长为 .等号当且
5、仅当等号当且仅当 时成立时成立,此时此时因此因此,这个矩形的长和宽都是这个矩形的长和宽都是10m10m时时,所用的篱笆最短所用的篱笆最短,最短为最短为40m40m得得即即由由(2)一段长为一段长为36m的篱笆围成一个矩形的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多时，菜园的面积最大，最大面积是多少？少？已知已知a,ba,b都是正数，都是正数，（1 1）若）若abab是定值是定值P,P,则当则当a=ba=b时时,a+ba+b有最小值有最小值 ；（2 2）若）若a+ba+b是定值是定值S,S,则当则当a=ba=b时时,ab,ab
6、有最大值有最大值 ；利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值（均值不等式定理）（均值不等式定理）积一定，和有最小值；积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。和一定，积有最大值。积一定，和有最小值；积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。和一定，积有最大值。注意：一正二定三相等！注意：一正二定三相等！1、本节课主要内容？、本节课主要内容？你会了你会了吗？吗？五五 、小结小结2 2、两个结论、两个结论:两个正数两个正数,积定和最小积定和最小;和定积最大。和定积最大。构造条件构造条件三三、应用应用例例1、若若 ,求求 的最小值的最小值.变变3:若若 ,求求 的最小值的最小值.变变2:若若 ,求求 的
7、最小值的最小值.发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式问问:在结论成立的基础上在结论成立的基础上,条件条件“a0,b0”可以变化吗可以变化吗？变变1:若若 求求 的最小值的最小值三三、应用应用例例2、已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.变式变式:已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式应用要点：应用要点：一正数一正数 二定值二定值 三相等三相等结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值3.3.已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于5050，两条直角边各，两条直角边各为多少时为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多两条直角边的和最小，最小值是多少？少？4.4.用用20cm20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？怎样折？四四 、巩固巩固大大933小小证明证明:要证要证只要证只要证 ()要证要证，只要证，只要证 ()要证要证，只要证，只要证（)显然显然:是成立的是成立的,当且仅当当且仅当 时时中的等号成立中的等号成立.证明:当 时,.作业作业课本课本P100P100习题习题3.4A3.4A组组 第第1,21,2题题再见再见!