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1、3.43.4基本不等式基本不等式a2+b22ab（当且仅当（当且仅当a=b 时取时取“=”）1.重要不等式：重要不等式：2.2.基本不等式：基本不等式：如如果果a0,b0，（当且仅当（当且仅当a=b 时，等号成立）时，等号成立）注：注：常用变形：常用变形：思考思考1 1：在基本不等式：在基本不等式 (a(a0 0，b b0)0)中，如果中，如果a ab bP P为定值，为定值，能得到什么原理？能得到什么原理？原理一：原理一：若两个正数的积为定值，则当若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值这两个正数相等时它们的和取最小值.思考思考2 2：在基本不等式：在基本不等式 (a(a0
2、 0，b b0)0)中，如果中，如果a ab bS S为为定值定值，又能得到什么原理？又能得到什么原理？原理二：原理二：若两个正数的和为定值，则当若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值这两个正数相等时它们的积取最大值 .结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值 例例2 2：已知已知 ，求函数，求函数 的的最大值最大值.3探究：探究：下面几道题的解答可能有错，如果错下面几道题的解答可能有错，如果错 了，那么错在哪里？了，那么错在哪里？已知函数已知函数 ，求函数的，求函数的最小值和此时最小值和此时x的取值的取值 运用基本不等式的过程中，忽略了
3、运用基本不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件已知函数，已知函数，求函数的最小值求函数的最小值 用基本不等式求最值，必须满足用基本不等式求最值，必须满足“定值定值”这这个条件个条件用基本不等式求最值用基本不等式求最值,必须注意必须注意“相等相等”的条的条件件.如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立,则不能取到该最值则不能取到该最值.一正：一正：两项必须都是正数；两项必须都是正数；二定：定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。求两项积的最大值，它们的和应为定值。三相等三相等：等号成立的条件必须存在等号成立的条件
4、必须存在.注注意意:在在使使用用“和和为为常常数数，积积有有最最大大值值”和和“积积为为常常数数，和和有有最最小小值值”这这两两个个结结论论时时，应应把把握握三三点点：“一一正正、二二定定、三三相相等等”.当当条条件件不不完全具备时，应创造条件完全具备时，应创造条件.下列函数中，最小值为下列函数中，最小值为4的有的有那些那些?(A)(B)(C)(D)B思考思考:练一练练一练 1、已知已知x1,求求 的的最小值；最小值；2、已知、已知0 x-2,求求 的最小值；的最小值；（2）已知）已知0 x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值解析：解析：变式：变式：“1”的代换的代换例例3求函数求
5、函数 的最大的最大值，及此时值，及此时x的值。的值。解：解：，因为，因为x0，所以所以得得因此因此f(x)课堂小结课堂小结:三是三是考虑等号成立的条件考虑等号成立的条件二是二是寻求定值，寻求定值，（1）求和式最小值求和式最小值时应使积为定值，时应使积为定值，（2）求积式最大值求积式最大值时应使和为定值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式、恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式、“1”的代换是常用的解题技巧的代换是常用的解题技巧)；一是各项为正；一是各项为正；当且仅当当且仅当 ，即，即 时，式中等时，式中等号成立。号成立。由于由于x0，所以，所以 ，式中等号成立，式中等号成立，因此因此 ，此时，此时 。变式变式：已知已知 x1，求函数，求函数 y=(x1)解析：解析：y(x5)(x2)x1(x14)()(x11)x14x15当且仅当当且仅当(x1)=4x1 1，即，即 x1 时，时，ymin9.多少？多少？作业：作业：补充：补充：3：已知正数：已知正数 a、b 满足满足 ab1，求证：，求证：