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1、等差数列等比数列定义通项公式性质前项和Sndnaan)(1111nnqaadaann1qaann1dmnaamn)( mnmnqaamnpqmnpqaaaa若，则2 ,2mnpmnpaaa若则mnpqmnpqa aa a若，则2)(1nnaanS1(1)2nn nSnad22 ,mnpmnpa aa若则1(1)(1)1nnaqSqq1(1)1nnaa qSqq数列求和数列求和1111124816例 、求数列1 ，3 ，5 ，7的前n项和。614.P A练习1：组（1）2112nnSn 一、分组求和法一、分组求和法(1)(1)1,2(1)(1)(2)1,12nnnnnaSaan naSa 当时当
2、时.)1(112nnnnSnxxxa项和项和的前的前求数列求数列例例 解：解：211222 nnnnnxxxxa)21()21()21(224422 nnnxxxxxxS)222()111()(242242 nnxxxxxxnxxxxxxnn211)11(11)1(222222 1121)12(22222 xnxxnxnn12122224 nxxxnnn的的值值：求求练练习习)231()71()41()11(112 naaaSnn)23741()1111(12 naaaSnn时时当当1 a时时当当1 a2)13(nnnSn 2)13(nn 2)13(1111nnaaSnn 2)13(11nna
3、aan nS 2)13(nn 2)13(11nnaaan )1( a)1( a解：解：(1)(2)13(3)1 1111122143181223132313231323121214121412234562121，；，；， ， ， ，()nnnnn求下列数列的前n项和Sn： 解解 (1)S =112= (123n)n2143181212141812 ()()nnn=n(n+1)2=1121121121212()()nnn n(1)(2)13(3)11111122143181223132313231323121214121412234562121，；，；， ， ， ，()nnnnn求下列数列的前n
4、项和Sn： (2)S =13= (13+13+13) +(23+23+23)n32n-1242n2313231323234212nn=13()()()1131132311311358113222222nnna =1 S = (222)(1+14+12)nnn-11214122121211 nn= 2n(1+14+12)= 2n2n-1 12121n(3)先对通项求和(1)(2)13(3)11111122143181223132313231323121214121412234562121，；，；， ， ， ，()nnnnn求下列数列的前n项和Sn： 求数列的前n项和：231, 71, 41, 1
5、112 naaan已知数列：， 解：设)231()71()41() 11 (12 naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741 ()1111 (12 naaaSnn（分组）当 a1 时，2) 13(nnnSn2) 13(nn （分组求和）当1a时，2) 13(1111nnaaSnn2) 13(11nnaaan项项和和。的的前前数数列列的的数数列列）的的或或可可以以直直接接用用公公式式求求和和差差或或等等比比数数列列分分别别为为等等，（其其中中数数列列适适用用于于求求n,nnnnnncbabac 22221 33 55 7(21) (21)nn例2、求和：221nnSn二、裂项求和法二、
6、裂项求和法22221111+(2).2 -13 -14 -11nn例3、求和：21111+.2+13+ 24+ 31nn 练习 、求和：1111321(1)(2)22142 (1)nnSnnnn n1 1nSn x6111112.2 44 66 82(21)P Ann作业、1.组.4(2)求和：.2113211211112的值求例nSn解：解：nan 211设设)1(2 nn)111(2 nn)111()111()3121()211(2 nnnn122)111(2 nnSn)1(2)1(2322212 nnnnSn.11321211:2的值求练习 nnSn11 nnan解：设解：设nn 111
7、11321211 nnnnSn)1()1()23()12(nnnn 11 n项项和和。的的前前为为等等差差数数列列）的的数数列列（其其中中数数列列，或或适适用用于于求求ncaaacaacnnnnnnnn1111 )(11)11(111111nnnnnnnnnnaadaacaadaac ，常见裂项技巧常见裂项技巧 ：111) 1(1nnnnan（1）11 11()1nan nkk nn（2） 111121212 2121nannnn（3）nnnn111na（4）第二种方法：裂项相消法第二种方法：裂项相消法 求和11111 33 55 7(21)(21)nn ) 12)(12(1nnan)1211
8、21(2nnan)121121()5131()311(2 nnSn)1211 (2n124nn数列an的前n项和： 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项).求数列 ,11,321,211nn的前n项和.nnnnan11111321211 nnSn)1()23()12(nn 11n解：设，则 =(1)11+123+134+(2)11(3)122115137159121 2351581811131 32n nnnnn()()()()()解解 (1)1n(n +1)11111121213
9、1314111nnSnnn()()()()1111nnn(1)11+123+134+(2)11(3)122115137159121 2351581811131 32n nnnnn()()()()()(2)1(2n1)(2n +3) S =n141211231411513171519123121121123()nnnnnn=14113121123453 21 23()()()nnnnnn(1)11+123+134+(2)11(3)122115137159121 2351581811131 32n nnnnn()()()()()(3)1(3n1)(3n +2) S =13n131311321215
10、151818111131132()()()()()nnnn=13()1213264nnn三、错位相减法三、错位相减法解： 135721(1)248162nnnS111352321(2)2481622nnnnnS (1)(2)，得： 12122216282422121nnnnSnnnnnnS232321221412122例4、求数列 的前n项和 ,212,43,21nn 23335(21).naaana练习 、求和：614A作业：P组. （3）22112(1)1,2(1)(21)(2)1,1(1)1nnnnaSnaaanaaSaaa当时当时2(1)(1)1,21(2)1,(1)1nnnnn nx
11、SxnxxSxx当时当时求当1x时，求和：132)12(7531 nnxnxxxS解：由题可知 该数列的通项为1) 12(nxn是等差数列12 n的通项与等比数列1nx的通项之积设：132) 12(7531 nnxnxxxSnnnxnxnxxxxxS) 12(3275311432 （设制错位）1-得nnnxnxxxxxSx) 12(222221)1 (1432 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx) 12(1121)1 (1又1x21)1 ()1 () 12() 12(xxxnxnSnnn错位相减法的使用：1.在求和时候前n项和式子中两边同乘以等比数列的公比q.2.Sn与qSn做一个错位相减。求数列 ,22,26,24,2232nn前 n 项的和.由题可知，nn22的通项是等差数列n2的通项与等比数列n21的通项之积设：nnnS2226242232 14322226242221 nnnS（设制错位）得1432222222222222)211( nnnnS（错位相减）1122212nnn1224nnnS