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1、6.2.3算术平均数算术平均数与几何平均数与几何平均数 (三三)o教学目的：教学目的：o 1.进一步掌握均值不等式定理；进一步掌握均值不等式定理；o 2.会应用此定理求某些函数的最值；会应用此定理求某些函数的最值；o 3.能够解决一些简单的实际问题能够解决一些简单的实际问题. o教学重点：教学重点：均值不等式定理的应用均值不等式定理的应用.o教学难点：教学难点：解题中的转化技巧解题中的转化技巧.一、复习引入：一、复习引入：1.重要不等式：重要不等式：22,R,2( )a bababab 如果那么当且仅当时取号2.定理：定理： +,R ,( ).2a ba babab 如果那么当且仅当时取号3.
2、公式的等价变形：公式的等价变形： 222,R,()22ababa babab 如果那么,2a ba baba b 称为的算术平均数； 称为的几何平均数。4.0,2( )baababab 如果那么当且仅当时取号5.定理：定理： +333, ,R ,3( ).a b cabcabcabc 如果那么当且仅当时取号6推论：推论： +3, ,R ,( ).3a b ca b cabcabc 如果那么当且仅当时取号(1)两个正数的和为定值，其积有最大值两个正数的和为定值，其积有最大值.(2)两个正数的积为定值，其和有最小值两个正数的积为定值，其和有最小值.但应注意三个方面：但应注意三个方面：)函数式中各项
3、必须都是正数函数式中各项必须都是正数;)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；)等号成立条件必须存在等号成立条件必须存在. 一正，二定，三相等一正，二定，三相等 7.利用均值定理求最值利用均值定理求最值8.两个概念两个概念:n个正数的算术平均数不小于（即大于或等个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。于）它们的几何平均数。如果如果a1、a2、an 0 ，且，且 n1，那么，那么 12(1)naaann称为这 个正数的算术平均数；12(2)nna aan称为这 个正数的几何平均数。121212(,)nnnnaaaa aaa aaRn 例
4、例1.甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片片芯片，乙公司每次购芯片，乙公司每次购10000元元芯片，两次购芯片，芯片，两次购芯片，哪家公司平均成本低？请给出证明过程。哪家公司平均成本低？请给出证明过程。分析：分析：设第一、第二次购芯片的价格分别为每片设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和元和b元，列出甲、乙两公司的平均价格，然后利用不元，列出甲、乙两公司的平均价格，然后利用不等
5、式知识论证。等式知识论证。二、讲解范例：二、讲解范例：解：解： 设第一、二次购芯片的价格分别为每片设第一、二次购芯片的价格分别为每片a元和元和b元，元， 10000,200002abab 那那么么甲甲公公司司两两次次购购芯芯片片的的平平均均价价格格为为元元 片片,112100001000020000片元均价格为乙公司两次购芯片的平baba,2故等号不成立不相等由于baabbaabbaba211211又abba112答：乙答：乙 公司平均成本较低。公司平均成本较低。例例2.某城市出租车公司有两种计费方案可供某城市出租车公司有两种计费方案可供 乘客选择：第一种方案，租用起步价乘客选择：第一种方案，
6、租用起步价a元，每千米价元，每千米价为为b元的出租车；第二种方案，起步价为元的出租车；第二种方案，起步价为c(ca)元，元，但每千米价增加但每千米价增加0.1元的出租车，按出租车管理条例，元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的，则乘在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的，则乘客应如何根据不同情况选用两种方案中的一种？客应如何根据不同情况选用两种方案中的一种？分析：分析：设起步价内行驶里程为设起步价内行驶里程为n千米，该城内从千米，该城内从A地到地到B地的行驶距离为地的行驶距离为m千米，分千米，分m与与n情况讨论。情况讨论。解：解：设起步价内行驶里程为设起步价内行驶
7、里程为n千米，乘客租车千米，乘客租车行驶距离为行驶距离为m千米。千米。;)(,元比较合适选起步价最低为时当accnm 12,(0),mnmnx xxPxPx当时 设为超过起步价规定的行程 乘客按方案一的租车费用为元 乘客按方案二的租车费用为元 则 xbcxPxbaxP1 . 0,21 ,),(10,) 1 . 0(,21选此时两种租车方案可任即令caxxbcbxaxPxP ,)(1021元的出租车合适此时选起步价为时当axPxPcax .,)(1021元的出租车合适此时选起步价为时当cxPxPcax例例3.建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采
8、光标准，窗户面积与地板面积小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于百分之十，并且这个比越大，住宅的采的比应不小于百分之十，并且这个比越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？住宅的采光条件是变好了还是变坏了？分析：分析：设原住宅窗户面积和地板面积分别为设原住宅窗户面积和地板面积分别为x,y,同时增加同时增加的面积为的面积为a,依题意列出关系式再利用不等式证明依题意列出关系式再利用不等式证明知识进行说明。知识进行说明。解：解：设原住宅窗户面积和地板面积分别为设原住宅窗户面积和地
9、板面积分别为x,y,同时增加的面积为同时增加的面积为a，,10 xy 则由题设知原采光比为,yx增大面积后的采光比为增大面积后的采光比为,ayax为比较采光比的大小，为比较采光比的大小，,ayyxyaayyayxaxyyxayax由因为因为x,y,a都是正数，且都是正数，且x0,y-x0yxayaxmyyxya即, 0故采光条件变好了。故采光条件变好了。APBHba例例4.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方下边缘分别在学生的水平视线上方a米和米和b米，问米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？学生距离墙壁多远时看黑板
10、的视角最大？APBHba则学生看黑板的视角为其中的夹角分别为水平视线下边缘与学生的黑板上米距黑板设学生解,:BPHAPHPHxP,tan,tan由此可得由xbxaxabxbaxabxbxa21tantan1tantantan,tan,22最大时当且仅当因为abxabxabxxabx,为锐角由于,最大此时.时看黑板的视角最大即学生距墙壁 ab例例5.学校计划把一块边长为学校计划把一块边长为20米的等边三角形米的等边三角形ABC的的边角地辟为植物新品种实验基地，图中边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地需把基地分成面积相等的两部分，分成面积相等的两部分，D在在AB上，上，E在在AC上。上。
11、(1) 设设AD=x(x10)，ED=y，试用，试用x表示表示y的函数关系式；的函数关系式；(2) 如果如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，望它最短，DE的位置应该在哪里？如果的位置应该在哪里？如果DE是参观线是参观线路，则希望它最长，路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明的位置又应该在哪里？说明理由。理由。分析分析:要求要求y与与x的函数关系式，就的函数关系式，就是找出是找出DE与与AD的等量关系。的等量关系。(1)三角形三角形ADE中角中角A为为600故由余弦故由余弦定理可得定理可得y、x、AE三者关系。三者关系。12A D E
12、A B CSS （ 2 ）解：（解：（I）ABC的边长为的边长为20米，米，D在在AB上，上， 则则10 x20。220432160sin2121AExSsABCADE200.AEx 则在三角形在三角形ADE中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：4224 10200(1020)yxxx (2)若若DE做为输水管道，则需求做为输水管道，则需求y的最小值的最小值,210104,210200400200104242242时即当且仅当xxxxxy若若DE做为参观线路，须求做为参观线路，须求y的最大值。的最大值。24100, 400,4 10200 xtytt 令412410( ),100400,fttt
13、tt 设任 取214212124214121104)()104()104()()(tttttttttttftf当当100t1t2200时，时，104t1t24104,t1t2-41040，又，又t1-t20,f(t1)f(t2)，则则f(t)在在100，200上是减函数。上是减函数。当当200t1t2400时，时，4104t1t20，又，又t1-t20,f(t1)f(t2)，则则f(t)在在200，400上是增函数。上是增函数。210 x故若DE是输水管道的位置，则需使若DE是参观线路，则需使x=10或20310300 naxy当t=200，即当t=100或t=400即x=10或20时，210 x210200miny书面作业书面作业 习题习题6.2 2.3