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1、第二节 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性1.1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. .2.2.会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值. .3.3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. .4.4.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. .5.5.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性数的周期性. . 1.1.函数单调性、奇偶性、最值是函数的基本
2、性质，是高考的重函数单调性、奇偶性、最值是函数的基本性质，是高考的重点也是热点，必须熟练掌握点也是热点，必须熟练掌握. .2.2.函数单调性常与导数结合在解答题中出现，是常考点函数单调性常与导数结合在解答题中出现，是常考点. .3.3.本部分知识从考查题型上看，有选择题，填空题，也有解答本部分知识从考查题型上看，有选择题，填空题，也有解答题题. .选择题、填空题一般为低中档难度题目，解答题为中偏上选择题、填空题一般为低中档难度题目，解答题为中偏上难度题目难度题目. .4.4.从高考命题趋势看，对函数的考查力度有增无减，应给予高从高考命题趋势看，对函数的考查力度有增无减，应给予高度重视度重视.
3、. 函数的单调性函数的单调性高考指数高考指数: :1.(20121.(2012辽宁高考辽宁高考) )函数函数y= xy= x2 2-lnx-lnx的单调递减区间为的单调递减区间为( )( )(A)(-1,1(A)(-1,1 (B)(0,1(B)(0,1 (C)(C)1,+) (D)(0,+)1,+) (D)(0,+)【解析【解析】选选B.B.由由y=( xy=( x2 2-lnx-lnx)=x- 0)=x- 00 x100,a1)0,a1)在在-1-1，2 2上上的最大值为的最大值为4 4，最小值为，最小值为m m，且函数，且函数g(xg(x)=(1-4m) )=(1-4m) 在在0,+)0,
4、+)上是增函数上是增函数, ,则则a=_.a=_.【解析【解析】当当a1a1时，有时，有a a2 2=4,a=4,a-1-1=m,=m,此时此时a=2,m= ,a=2,m= ,此时此时g(xg(x)=-)=-为减函数，不合题意为减函数，不合题意. .若若0a10a1，则，则a a-1-1=4,a=4,a2 2=m,=m,故故a= ,m= a= ,m= ，检验知符合题意，检验知符合题意. .答案：答案：x12x141161412.(201212.(2012江苏高考江苏高考) )设设f(xf(x) )是定义在是定义在R R上且周期为上且周期为2 2的函数，的函数，在区间在区间-1,1-1,1上，上
5、，f(xf(x)= )= 其中其中a,bRa,bR若若f( )=f( )f( )=f( )，则，则a+3ba+3b的值为的值为_【解题指南【解题指南】从函数的周期性上分析出从函数的周期性上分析出f(-1)=f(1)f(-1)=f(1)，再利用，再利用f( )=f( )f( )=f( )求解求解. .ax1, 1x0,bx2,0 x1,x1 12321232【解析【解析】由题意由题意f( )=f( )=f(- )f( )=f( )=f(- )，所以所以 a+b a+b=-1 =-1 又又f(-1)=f(1)f(-1)=f(1)，b=-2a b=-2a 解解得得a=2a=2，b=-4b=-4，a+
6、3b=-10.a+3b=-10.答案答案: : -10 -10123212b212a1,322 32 函数的单调性函数的单调性【典例【典例1 1】(2012(2012天津高考天津高考) )下列函数中，既是偶函数，又在下列函数中，既是偶函数，又在区间区间(1(1，2)2)内是增函数的为内是增函数的为( )( )(A)y=cos2x,xR(A)y=cos2x,xR(B)y=log(B)y=log2 2|x|x|，xRxR且且x0 x0(C)y= xR(C)y= xR(D)y=x(D)y=x3 3+1,xR+1,xRxxee,2【解题视角【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：由题目获取已知信息并
7、分析如下：(1)(1)已知信息：已知信息：已知四个函数已知四个函数; ;判断它们是否为偶函数判断它们是否为偶函数, ,且在且在(1,2)(1,2)上为增函数上为增函数. .(2)(2)信息分析：信息分析：分析四个函数中在分析四个函数中在(1(1，2)2)上不具有单调性，或为奇函数、非奇上不具有单调性，或为奇函数、非奇非偶函数的情况利用排除法求解非偶函数的情况利用排除法求解. .【解题流程【解题流程】选选B.B.【延伸探究【延伸探究】在本题选项中在本题选项中, ,既是奇函数既是奇函数, ,又在又在(1,2)(1,2)内是增函内是增函数的函数是数的函数是_._.【解析【解析】y=cos2xy=co
8、s2x是偶函数是偶函数, ,不合要求不合要求; ;y=logy=log2 2|x|x|是偶函数是偶函数, ,不合要求不合要求;y= ;y= 是奇函数且在是奇函数且在R R上是增上是增函数函数, ,符合要求符合要求. .故应填故应填y= .y= .答案：答案：y=y=xxee2xxee2xxee2【命题人揭秘【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要有：有：(1)(1)判断函数单调性判断函数单调性. .(2)(2)函数单调性的应用函数单调性的应用. .该部分试题在高考中三种题型都会涉及，难度低、中、高都有，该部分试题
9、在高考中三种题型都会涉及，难度低、中、高都有，在复习中应该多做练习，题型涉及面要广，特别是与导数结合在复习中应该多做练习，题型涉及面要广，特别是与导数结合的题目，是高考考查的重点的题目，是高考考查的重点. .备考策略：备考策略：1.1.理解函数单调性定义理解函数单调性定义. .2.2.掌握函数单调性判断的常用方法，如：定义法、图象法、导掌握函数单调性判断的常用方法，如：定义法、图象法、导数法、分离常数法、拆分法等数法、分离常数法、拆分法等. . 函数的奇偶性函数的奇偶性【典例【典例2 2】(2011(2011辽宁高考辽宁高考) )若函数若函数f(xf(x)= )= 为奇函为奇函数，则数，则a=
10、( )a=( )x(2x1)(xa)123(A) (B) (C) (D)1234【解题视角【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：由题目获取已知信息并分析如下：(1)(1)已知信息：函数已知信息：函数f(xf(x)= )= 为奇函数，为奇函数，(2)(2)信息分析：信息分析：f(xf(x) )是奇函数，是奇函数，f(xf(x) )满足满足f(-x)+f(xf(-x)+f(x)=0)=0恒成立恒成立. .x(2x1)(xa)【规范解答【规范解答】选选A.A.函数函数f(xf(x) )为奇函数，为奇函数，f(-x)+f(x)=0f(-x)+f(x)=0恒成立恒成立即即 0 0恒成立恒成立可化为可
11、化为(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立恒成立整理得整理得2(1-2a)x=02(1-2a)x=0恒成立，只有恒成立，只有1-2a=0,a= 1-2a=0,a= xx(2x1)(xa)( 2x1)( xa) 12【命题人揭秘【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要有：有：(1)(1)判断函数奇偶性；判断函数奇偶性；(2)(2)利用函数奇偶性求函数值或函数解析式；利用函数奇偶性判利用函数奇偶性求函数值或函数解析式；利用函数奇偶性判断函数单调性、求函数单调
12、区间断函数单调性、求函数单调区间; ;利用函数奇偶性画函数图象利用函数奇偶性画函数图象. .对该部分内容一般以选择题、填空题的形式考查对该部分内容一般以选择题、填空题的形式考查. .备考策略：备考策略：1.1.函数奇偶性的判断与应用关键在定义，只要深刻理解定义的函数奇偶性的判断与应用关键在定义，只要深刻理解定义的内涵与外延，就能轻松解决该部分的高考试题内涵与外延，就能轻松解决该部分的高考试题. .2.2.函数奇偶性决定了函数图象的特征，要善于利用数形结合思函数奇偶性决定了函数图象的特征，要善于利用数形结合思想解决有关问题想解决有关问题. . 函数性质的创新应用函数性质的创新应用【典例【典例3
13、3】(2011(2011北京高考北京高考) )设设A(0,0),B(4,0),C(t+4,3), A(0,0),B(4,0),C(t+4,3), D(t,3)(tR),D(t,3)(tR),记记N(tN(t) )为平行四边形为平行四边形ABCDABCD内部内部( (不含边界不含边界) )的整的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0) N(0) =_;N(t=_;N(t) )的所有可能取值为的所有可能取值为_._.【解题视角【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：由题目获取已知信息并分析如下：(1)(1)已知信息：已知信息：定点
14、定点A(0,0),B(4,0),A(0,0),B(4,0),动点动点C(t+4,3)C(t+4,3)，D(t,3)(tR);D(t,3)(tR);记记N(tN(t) )为平行四边形为平行四边形ABCDABCD内部内部( (不含边界不含边界) )的的整点的个数整点的个数. .(2)(2)信息分析：信息分析：由由ABCDABCD为平行四边形可得出为平行四边形可得出ABCDABCD坐标间的关坐标间的关系，系，C,DC,D在平行于在平行于x x轴且距离轴且距离x x轴为轴为3 3的直线上，的直线上，|CD|=4;|CD|=4;当当t t取取定值时，四边形确定，其内部的整点也确定定值时，四边形确定，其内
15、部的整点也确定; ;随着随着t t的变化，的变化，函数值重复出现函数值重复出现; ;可以用网格法解决本题可以用网格法解决本题. .【规范解答【规范解答】如图所示，如图所示，N(0)=6,N(1)=8,N(1.5)=7,N(0)=6,N(1)=8,N(1.5)=7, ,所以可所以可能取值为能取值为6,7,8.6,7,8.答案：答案：6 6,7,86 6,7,8【阅卷人点拨【阅卷人点拨】创创新新点点拨拨 本题创新点有本题创新点有: :(1)(1)本题在给出函数定义上有创新，函数定义域为实数集，本题在给出函数定义上有创新，函数定义域为实数集，值域为平行四边形内整点的个数组成的集合值域为平行四边形内整
16、点的个数组成的集合. .(2)(2)因为所求问题与整数有关，所以取整数求值即可因为所求问题与整数有关，所以取整数求值即可. .(3)(3)由函数自身特性决定了函数随着自变量的变化函数值由函数自身特性决定了函数随着自变量的变化函数值重复出现，函数值域为有限集合重复出现，函数值域为有限集合. .(4)(4)本题考查了函数定义的理解，与特定函数的性质探究本题考查了函数定义的理解，与特定函数的性质探究. .备备考考策策略略 备考中有以下几点要注意备考中有以下几点要注意: :(1)(1)函数问题应该从定义、定义域、值域、奇偶性、单调函数问题应该从定义、定义域、值域、奇偶性、单调性等方面进行深入探究性等方
17、面进行深入探究, ,只有对基本函数的性质熟练掌握只有对基本函数的性质熟练掌握, ,融会贯通融会贯通, ,才能应对特殊函数才能应对特殊函数. .(2)(2)对于新定义问题，一定要把新定义的各项规定要求分对于新定义问题，一定要把新定义的各项规定要求分析透彻，将全部隐含条件挖掘出来，结合一般性问题的公析透彻，将全部隐含条件挖掘出来，结合一般性问题的公共性质，通过试探、验证、特值、排除、推理计算等手段共性质，通过试探、验证、特值、排除、推理计算等手段使问题得到解决使问题得到解决. . 不能正确运用函数性质致误不能正确运用函数性质致误【典例【典例4 4】(2011(2011安徽高考安徽高考) )设设f(
18、xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x0 x0时，时，f(xf(x)=2x)=2x2 2-x-x，则，则f(1)=_.f(1)=_.【解题视角【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：由题目获取已知信息并分析如下：(1)(1)已知信息：已知信息：f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数; ;当当x0 x0时，时，f(xf(x)=2x)=2x2 2-x.-x.(2)(2)信息分析：信息分析：f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x),),因为因为x0 x0时时,f(x,f(x)=2x)=2
19、x2 2-x-x，所以求，所以求f(1)f(1)需将需将1 1转换为转换为-1.-1.【规范解答【规范解答】由奇函数的定义有由奇函数的定义有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )，所以，所以f(1)=f(1)=-f(-1)=-2-f(-1)=-2(-1)(-1)2 2+1=-3.+1=-3.答案：答案：-3-3【阅卷人点拨【阅卷人点拨】误误区区警警示示常出现错误有常出现错误有: :(1)(1)不能正确利用函数奇偶性不能正确利用函数奇偶性. .(2)(2)计算出现错误，例如：计算出现错误，例如：f(1)=-f(-1)=-f(1)=-f(-1)=-2 2(-1)(-1)2 2-1-1=-1
20、=-1，导致结果选，导致结果选B.B.备备考考策策略略 备考中要注意以下几点备考中要注意以下几点: :(1)(1)要熟练掌握函数奇偶性的定义及用法要熟练掌握函数奇偶性的定义及用法. .(2)(2)掌握利用奇偶性求分段函数解析式的方法掌握利用奇偶性求分段函数解析式的方法. .(3)(3)审题要细心，要注意函数定义域与函数解析式的对审题要细心，要注意函数定义域与函数解析式的对应关系应关系. .(4)(4)应用函数奇偶性求函数解析式、函数值、值域题目应用函数奇偶性求函数解析式、函数值、值域题目是高考重点考查的题型是高考重点考查的题型, ,应该高度重视，多做练习应该高度重视，多做练习. . 函数的单调
21、性函数的单调性(1)(1)单调函数的定义单调函数的定义 【考点突破区【考点突破区】增增 函函 数数减减 函函 数数定义定义设函数设函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为I:I:如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任上的任意两个自变量的值意两个自变量的值x x1 1,x,x2 2当当x x1 1xx2 2时时, ,都有都有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )，那么就说函数那么就说函数f(xf(x) )在区间在区间D D上上是增函数是增函数当当x x1 1xf(x)f(x2 2) )，那么就说函数那么就说函数f(xf(x) )在区间在区间D D上上是减函数
22、是减函数(2)(2)单调性、单调区间的定义单调性、单调区间的定义如果函数如果函数f(xf(x) )在区间在区间D D上是上是增函数增函数或或减函数减函数，则称函数，则称函数y=f(xy=f(x) )在这一区间上具有在这一区间上具有( (严格的严格的) )单调性，单调性，区间区间D D叫做叫做f(xf(x) )的单调区的单调区间间. . 【状元心得【状元心得】判断函数单调性的三种方法判断函数单调性的三种方法(1)(1)图象法，流程为：图象法，流程为：作图象作图象结合图象的升、降结合图象的升、降判断单调性判断单调性(2)(2)定义法，流程为：定义法，流程为：求定义域求定义域取值取值作差作差变形变形
23、定号定号判断单调性判断单调性(3)(3)导数法，流程为：导数法，流程为：求导求导解不等式解不等式f(xf(x)0,f(x)0,f(x)0判断单调性判断单调性 函数的奇偶性函数的奇偶性 奇偶性奇偶性定定 义义图象特点图象特点偶偶函函数数如果对于函数如果对于函数f(xf(x) )的定义域内的定义域内任意任意一一个个x x，都有，都有f(-xf(-x)=)=f(xf(x) ), ,那么函数那么函数f(xf(x) )是偶函数是偶函数关于关于y y轴轴对称对称奇奇函函数数如果对于函数如果对于函数f(xf(x) )的定义域内的定义域内任意任意一一个个x x，都有，都有f(-xf(-x)=-)=-f(xf(
24、x) ), ,那么函数那么函数f(xf(x) )是奇函数是奇函数关于关于原点原点对称对称【状元心得【状元心得】判定函数奇偶性的两种方法判定函数奇偶性的两种方法(1)(1)定义法：先求出定义域定义法：先求出定义域关于原点对称，判断关于原点对称，判断f(-xf(-x) )与与f(xf(x) )的关系得结论的关系得结论; ;不关于原点对称，则不具有奇偶性不关于原点对称，则不具有奇偶性. .(2)(2)图象法：首先作出图象法：首先作出f(xf(x) )的图象的图象关于原点对称，关于原点对称，f(xf(x) )为奇函数为奇函数; ;关于关于y y轴对称，轴对称，f(xf(x) )为偶函数为偶函数; ;既
25、不关于原点，也不关于既不关于原点，也不关于y y轴对称，不具有奇偶性轴对称，不具有奇偶性. . 函数的最值函数的最值前提前提设函数设函数y=f(xy=f(x) )的定义域为的定义域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M满足满足条条件件对于任意对于任意xIxI，都有，都有f(x)Mf(x)M; ;存在存在x x0 0I,I,使得使得f(xf(x0 0)=M)=M. .对于任意对于任意xIxI，都有都有f(x)Mf(x)M；存在存在x x0 0I,I,使得使得f f(x(x0 0)=M)=M. .结论结论M M为最大值为最大值M M为最小值为最小值【状元心得【状元心得】求函数最值求函数最值(
26、(值域值域) )的三种方法的三种方法(1)(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. .(2)(2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值点、最低点，求出最值. .(3)(3)导数法：先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合导数法：先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值端点值，求出最值. . 周期性周期性(1)(1)周期函数：对于函数周期函数：对于函数y=f(xy=f(x) )，如果存在一个，如果存在一个非零常数非零常数T T，使，使
27、得当得当x x取定义域内的任何值时，都有取定义域内的任何值时，都有f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x) )，那么就称函，那么就称函数数y=f(xy=f(x) )为周期函数，称为周期函数，称T T为这个函数的周期为这个函数的周期. .(2)(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(xf(x) )的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个最小最小的正数，那么这个最小正数就叫做的正数，那么这个最小正数就叫做f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期. .【状元心得【状元心得】关于函数周期性的两个重要结论关于函数周期性的两个重要结论(a0)(a0)(1)(1)若若f(x+a)=
28、-f(xf(x+a)=-f(x) )，则，则2a2a是它的一个周期是它的一个周期. .(2)(2)若若f(x+af(x+a)= )= 则则2a2a是它的一个周期是它的一个周期. . 1,f(x) 对奇偶函数的定义理解不透造成失误对奇偶函数的定义理解不透造成失误 对于函数奇偶性的判断，如果对奇偶性的定义、性质、判对于函数奇偶性的判断，如果对奇偶性的定义、性质、判断方法掌握不熟练，不全面，很容易出现判断错误断方法掌握不熟练，不全面，很容易出现判断错误. .【示例】判断函数【示例】判断函数f(xf(x)= )= 的奇偶性的奇偶性. .【易错易混区【易错易混区】22x2x3,x02,x0 x2x3,x
29、0【错解【错解】当当xx0 x0时，时，f(-xf(-x)=(-x)=(-x)2 2+2(-x)+3=-(-x+2(-x)+3=-(-x2 2+2x-3)=-f(x+2x-3)=-f(x),),f(xf(x) )是奇函数是奇函数. .【错因【错因】尽管对定义域内的每一个尽管对定义域内的每一个x0 x0的值都有的值都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x),),但但f(0)=20,f(0)=20,其图象不关于原点对称，所以此函数既不是奇函其图象不关于原点对称，所以此函数既不是奇函数也不是偶函数数也不是偶函数. .【自我校正【自我校正】【解析【解析】当当x0 x0 x0时，时，f(-xf(-x
30、)=(-x)=(-x)2 2+2(-x)+3=-(-x+2(-x)+3=-(-x2 2+2x-3)=-f(x+2x-3)=-f(x),),f(0)=20,f(0)=20,其图象不可能关于原点对称，其图象不可能关于原点对称，此函数既不是奇此函数既不是奇函数也不是偶函数函数也不是偶函数. . 忽略定义域导致失误忽略定义域导致失误 在判断函数单调性、奇偶性，或求函数单调区间时，很多在判断函数单调性、奇偶性，或求函数单调区间时，很多同学忽视函数定义域的存在，只解有关函数值的不等式，致使同学忽视函数定义域的存在，只解有关函数值的不等式，致使结果错误结果错误. .【示例】求函数【示例】求函数y= y= 的
31、单调区间的单调区间. .2sinx2【错解【错解】因为当因为当sinxsinx递增时，原函数递增，递增时，原函数递增，sinxsinx递减时，原函递减时，原函数递减；所以原函数的递增区间为数递减；所以原函数的递增区间为 (kZ(kZ),),递递减区间为减区间为 (kZ(kZ).).【错因【错因】本题在解答时忽视了函数定义域，要使函数有意义本题在解答时忽视了函数定义域，要使函数有意义, ,则则sinx0.sinx0.2k,2k2232k,2k22【自我校正【自我校正】【解析【解析】函数定义域为：函数定义域为：sinx0sinx0 x x2k,(2k+1)2k,(2k+1)(kZ(kZ),),又又sinxsinx递增区间为递增区间为 (kZ(kZ),),递减区间递减区间为为 (kZ(kZ),),所以函数增区间为所以函数增区间为 (kZ(kZ),),减区间为减区间为2k+ ,2k+2k+ ,2k+(kZ(kZ).). 2k,2k2232k,2k222k ,2k22