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1、数学试卷第 1页（共 6页）绝密启用并使用完毕前2022 届星云教学联盟高三年级第一次线上联考数学本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试时间为 2021 年 8 月 1 日 15：0017：00，共 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的准考证号填写在答题卡上。2 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案。4考生必须保持答题卡
2、的清洁。考试结束后，考生有 10 分钟的时间提交自己的答题卡，逾期提交答题卡的成绩无效。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知 i 是虚数单位，复数 z 满足i 632 zz，则zAi 61Bi 61Ci 21Di 212若抛物线)0(22ppxy上一点), 6(0yA到焦点的距离为 8，则pA1B2C4D83已知 M、N 是全集 U 的两个非空子集若(M UMN )，则下列说法可能正确的是A(M UUN )B( UMNM)CNM DUNM4如图是藏于清华大学的“算表”算表距今已有 2300 余年历史，它能够快速进
3、行 100 以内任意两整数的乘除运算，其计算能力远强于人们熟知的“九九乘法表”算表是迄今为止发现的人类最早的十进制计算器，表明当时中国的数学研究水平已经初具规模下以计算 2235 为例，解释算表的大致原理：将 22 分为 2 和 20；将 35 分为 5 和 30；在算表第 1 行分别找到 2 和 20；在算表第 1 列找到 5 和 30；分别在算表中找到 2 和 5、30 及 20 和 5、30 的交叉点所对应的数字；将 4 个对应的数字相加，得7706001006010352221020510100103060600如果从现代数学体系来看，该计算方法所利用的公理是A加法交换律B乘法分配律C
4、加法结合律D乘法交换律数学试卷第 2页（共 6页）5若tan1cos32sin，则cos的值为A1 或21B1或21C1或21D1或216已知随机变量)0)(, 1 (mmNX，则下列说法不正确的是A若5 . 0)( mXP，则1DXB若XP(3 . 0)2 ，则0(P2 . 0) 1 xC不论 m 取何值，1EX总成立D根据“3原则”，在一次试验中，事件“)31 ,31 (mmX”几乎不可能发生7已知数列na，设 p：21,nnnaaa三项既是等差数列，又是等比数列；q：na是常数列则 p 是 q的A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件8设定义在 R 上的连续偶函数
5、满足0) 1() 1(xfxf，且当) 1 , 0 x时，212)(xxf若函数)()()(Rkkkxxfxg恰好有 5 个零点，则实数 k 的取值范围是A)22,66(105B)22,63(66C)66,63(105D)22,66(66二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9对于一组样本数据nxxx,21 ，下列表达式中，能够刻画该组数据的离散程度的是注：niixnx11；,max21naaa 和,min21naaa 分别表示naaa,21 中的最大值和最小值A
6、niixxn1|1Bniixxn1)(1C,min,max2121nnxxxxxx Dniixn12110已知0a，0b，且1ab，则Aba414B23baCba 2D13222bba2数学试卷第 3页（共 6页）11在正方体1111DCBAABCD 中，2AB，点 M 为正方形1111DCBA内部一点，点 E 为棱 AB 中点，MC1平面DMB1则A异面直线EA1和MC1夹角的余弦值为21B点1A和点 C 到平面DMB1的距离相等C正方体1111DCBAABCD 被平面EMA1截得的截面为等腰梯形D三棱锥DMBC11外接球的半径为312 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆)0(04112
7、2:2222aaayaaxyxC， 直线0: yxl，AB为圆 C 上一动弦，且1|AB则A当实数 a 变化时，圆 C 最多能够经过 3 个象限B存在0a，使得直线 l 和圆 C 相交COBOA的最小值是415D点 A 到直线 l 距离的最小值是212 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若平面单位向量 a，b，c 满足)(2bac，则ca14写出一个同时满足下列要求的连续函数)(xf)(xf的表达式中至少含有xe、)(Nnxn、xln中的两个；存在一个极值点3x15在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆)0( 1:2222babyaxC的左右焦点分别为1F、2F与 x
8、 轴垂直的直线 l经过2F， 交C于 A、 B两点 记cFF2|21 若1ABF内切圆的半径为2c， 则 C的离心率为16在四面体ABCP 中，ABC 是边长为 2 的等边三角形，PA平面 ABC，且1PA，则点 A 到平面PBC 的距离是；动点 M、N 分别在线段 PA（含端点）上和PBC 所在平面中运动，满足1MN记ABC 的外心为 O，则2ON的取值范围是（本小题第一空 2 分，第二空 3 分）BACDB1A1C1D1ME数学试卷第 4页（共 6页）四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）在ABC 中，a，b，c 分别为 A，
9、B，C 所对的边，caCB2tan1tan1，34tanA（1）求 B；（2）若7b，求ABC 的面积 S18（12 分）已知数列na满足：)(1Raaa，21nnaa（1）若na是常数列，求 a；（2）已知2a（）证明：log2na是等比数列；（）设) 1)(log1(loglog221212nnnnaaab，求数列nb的前 n 项和nS19（12 分）如图，在圆锥 SO 中，O 的内接三角形ABC 为等边三角形，2OA，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆（1）证明：SABC；（2）点 D 是底面O 上的一个动点，ESDE2，求二面角EBCA余弦值的最小值SABCDEO数学试卷第 5页（共 6页）
10、20（12 分）近日，河南突降暴雨，郑州、驻马店等多地陷入灾情习近平总书记对防汛救灾工作作出重要指示，各地迅速向河南伸出援手，体现了“一方有难，八方支援”的人间真情降雨重现期是指在一定年代的降雨量记录资料统计期间内，大于或等于某暴雨强度的降雨出现一次的平均间隔时间现已知近年来郑州市暴雨强度 i（mm/min）与降雨历时 t（min）具有的关系大致是85. 0)20( tAi其中中间变量 A 与降雨重现期 p（年）具有如图所示的关系现有两个回归模型可供选择：根据 A 与 p 成正相关关系，直接采用线性回归模型abpA；根据 A 与 p 成正相关关系，且考虑模型拟合曲线的增减速率，采用回归模型ap
11、bAlg相关数据统计如下表（其中iipqlg）：Ap208000101iiipA，84000101iiiqA，115001012iip，25001012iiq，360A，30p，10q（1）请选择合适的回归模型，求出暴雨强度 i（mm/min）、降雨历时 t（min）、降雨重现期 p（年）具有的函数关系；（2）已知郑州 7 月 20 日 16 时17 时降雨量曾经达到过 3.4 mm/min请利用（1）得到的函数关系，分析“今年河南的暴雨千年一遇”这种说法的合理性（参考数据：408085. 0，306085. 0）附：对于一组数据), 2 , 1)(,(niyxii ，其回归直线abxy的斜率
12、和截距的最小二乘估计分别为niiniiixnxyxnyxb1221，xbya数学试卷第 6页（共 6页）21（12 分）设函数)(212ln) 1()(2Raaaxxxaxxf（1）当2a时，证明：)(xf0；（2）已知)(xf恰好有 3 个极值点)(,321321xxxxxx（）求实数 a 的取值范围；（）证明：742133221aaxxxxxx22（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线)0, 0( 1:2222babyaxC的左顶点和右焦点的距离是 3，且 C 的离心率是 2（1）求双曲线 C 的标准方程；（2）点),(00yxA是 C 上位于第一象限的一点，点 A、B 关于原点 O 对称，点 A、D 关于 y 轴对称延长 AD 至 E 使得|31|ADDE ，且直线 BE 和 C 的另一个交点 F 位于第二象限中（）求0 x的取值范围；（）证明：AE 不可能是BAF的三等分线