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1、 第三章第三章 函数的应用函数的应用3.2.1 3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型复复 习习 引引 入入讲讲 授授 新新 课课例例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：报如下：方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元；方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前元，以后每天比前一天多回报一天多回报10元；元；方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回元，以后每天的回报比前一天翻一番报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？请问，你
2、会选择哪种投资方案？解：解：设第设第x天所得回报是天所得回报是y元，元，解：解：设第设第x天所得回报是天所得回报是y元，元，则方案一可以用函数则方案一可以用函数y40(xN*)进行进行描述；描述；解：解：设第设第x天所得回报是天所得回报是y元，元，则方案一可以用函数则方案一可以用函数y40(xN*)进行进行描述；描述；方案二可以用函数方案二可以用函数y10 x (xN*)进行进行描述；描述；解：解：设第设第x天所得回报是天所得回报是y元，元，则方案一可以用函数则方案一可以用函数y40(xN*)进行进行描述；描述；方案二可以用函数方案二可以用函数y10 x (xN*)进行进行描述；描述；方案三可
3、以用函数方案三可以用函数y0.42x1(xN*)进行描述进行描述.方案方案 一一方案方案 二二方案方案 三三y/元元增加量增加量y/元元y/元元增加量增加量y/元元y/元元增加量增加量y/元元140010100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.43040030010214748364.8107374182.420406080100120246810O
4、yx 函数图象是分析问题的好帮函数图象是分析问题的好帮手手.为了便于观察，我们用虚线为了便于观察，我们用虚线连接离散的点连接离散的点.20406080100120246810Oyxy40 函数图象是分析问题的好帮函数图象是分析问题的好帮手手.为了便于观察，我们用虚线为了便于观察，我们用虚线连接离散的点连接离散的点.20406080100120246810Oyxy40y10 x 函数图象是分析问题的好帮函数图象是分析问题的好帮手手.为了便于观察，我们用虚线为了便于观察，我们用虚线连接离散的点连接离散的点.20406080100120246810Oyxy40y10 xy0.42x1 函数图象是分析
5、问题的好帮函数图象是分析问题的好帮手手.为了便于观察，我们用虚线为了便于观察，我们用虚线连接离散的点连接离散的点.20406080100120246810Oyxy40y10 xy0.42x1 函数图象是分析问题的好帮函数图象是分析问题的好帮手手.为了便于观察，我们用虚线为了便于观察，我们用虚线连接离散的点连接离散的点. 我们看到，底我们看到，底为为2的指数函数模型的指数函数模型比线性函数模型比线性函数模型增增长速度要快得多长速度要快得多.从中你对从中你对“指数指数爆爆炸炸”的含义有什的含义有什么么新的理解？新的理解？ 20406080100120246810Oyxy40y10 x 根据以上的分
6、根据以上的分析，是否应作这样析，是否应作这样的选择的选择: 投资投资5天以天以下选方案一下选方案一，投资，投资58天选方案二天选方案二，投资投资8天以上选方天以上选方案三案三？y0.42x1例例2 某公司为了实现某公司为了实现1000万元利润的目标，万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到在销售利润达到10万元时，按销售利润进万元时，按销售利润进行奖励，且奖金行奖励，且奖金y(单位：万元单位：万元)随销售利润随销售利润x(单位：万元单位：万元)的增加而增加，但奖金总数的增加而增加，但奖金总数不超过不超过5万元，同时奖金总数不超过利润
7、万元，同时奖金总数不超过利润的的25%，现有三个奖励模型：，现有三个奖励模型：y0.25x， ylog7x1， y1.002x， 其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？分析：分析：某个奖励模型符合公司要求，就是某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过过5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为由于公司总的利润目标为1000万元，所以万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润部门销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间于是，只需在区间10,1000上，检验
8、三个上，检验三个模型是否符合公司要求即可模型是否符合公司要求即可.分析：分析：某个奖励模型符合公司要求，就是某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过过5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为由于公司总的利润目标为1000万元，所以万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润部门销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间于是，只需在区间10,1000上，检验三个上，检验三个模型是否符合公司要求即可模型是否符合公司要求即可. 不妨先作出函数图象，通过观察函数不妨先作出函数图象，通过
9、观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果确认结果.81234567200400600800 1000Oyx图象图象81234567200400600800 1000Oyxy5图象图象81234567200400600800 1000y0.25xOyxy5图象图象81234567200400600800 1000y0.25xylog7x1Oyxy5图象图象81234567200400600800 1000y0.25xylog7x1y1.002xOyxy5图象图象解：解： 借助计算机作出函数借助计算机作出函数y0.25x， ylog7x1， y1
10、.002x的图象的图象.观察图象发现，在区间观察图象发现，在区间10,1000上，模型上，模型y0.25x，y1.002x的图象都有一部分在的图象都有一部分在直线直线y5的上方，只有模型的上方，只有模型ylog7x1的图象始终的图象始终在在y5的下方，这的下方，这说明只有按模型说明只有按模型ylog7x1进行进行奖励时才符合公奖励时才符合公司的要求，下面司的要求，下面通过计算确认上通过计算确认上述判断述判断.81234567200 400 600 8001000y0.25xylog7x1y1.002xOyxy5 首选计算哪个模型的奖金总数不超过首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万万.解：解：
11、首选计算哪个模型的奖金总数不超过首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万万. 对于模型对于模型y0.25x，它在区间，它在区间10, 1000上递增，上递增，而且当而且当x20时，时，y5，因此，当，因此，当x20时，时，y5，所以该模型不符合要求；所以该模型不符合要求；解：解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万万. 对于模型对于模型y0.25x，它在区间，它在区间10, 1000上递增，上递增，而且当而且当x20时，时，y5，因此，当，因此，当x20时，时，y5，所以该模型不符合要求；所以该模型不符合要求； 对于模型对于模型y1.002x，由函数图象，并利用计
12、算，由函数图象，并利用计算器，可知在区间器，可知在区间(805, 806) 内有一个点内有一个点x0满足满足1.002x5，由于它在区间，由于它在区间10,1000上递增，因此当上递增，因此当xx0时，时，y5，所以该模型也不符合要求；，所以该模型也不符合要求；解：解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万万. 对于模型对于模型y0.25x，它在区间，它在区间10, 1000上递增，上递增，而且当而且当x20时，时，y5，因此，当，因此，当x20时，时，y5，所以该模型不符合要求；所以该模型不符合要求； 对于模型对于模型y1.002x，由函数图象，并利用计算，由
13、函数图象，并利用计算器，可知在区间器，可知在区间(805, 806) 内有一个点内有一个点x0满足满足1.002x5，由于它在区间，由于它在区间10,1000上递增，因此当上递增，因此当xx0时，时，y5，所以该模型也不符合要求；，所以该模型也不符合要求； 对于模型对于模型ylog7x1，它在区间，它在区间10,1000 上递上递增，而且当增，而且当x1000时，时，ylog7100014.555，所以它符合奖金总数不超过所以它符合奖金总数不超过5万元的要求万元的要求. 解：解：再计算按模型再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否奖励时，奖金是否不超过利润的不超过利润的25%，即当，即当x
14、10,1000时，是否有时，是否有 25. 01log7 xxxy成立成立.解：解：令令f(x)log7x10.25，x10,1000.利用计利用计算机作出函数算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，的图象，由图象可知它是递减的，因此因此f(x)f(10)0.31670，即，即log7x10.25x.所以当所以当x10,1000时，时， 再计算按模型再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否奖励时，奖金是否不超过利润的不超过利润的25%，即当，即当x10,1000时，是否有时，是否有 25. 01log7 xxxy25. 01log7 xx成立成立.解：解：模型模型ylog7x1奖
15、励时奖励时, 奖金不会超过利润的奖金不会超过利润的25%. 说明按说明按令令f(x)log7x10.25，x10,1000.利用计利用计算机作出函数算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，的图象，由图象可知它是递减的，因此因此f(x)f(10)0.31670，即，即log7x10.25x.所以当所以当x10,1000时，时， 再计算按模型再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否奖励时，奖金是否不超过利润的不超过利润的25%，即当，即当x10,1000时，是否有时，是否有 25. 01log7 xxxy25. 01log7 xx成立成立. 综上所述，模型综上所述，模型ylog7x1
16、确实能符合公司确实能符合公司要求要求. 解：解：模型模型ylog7x1奖励时奖励时, 奖金不会超过利润的奖金不会超过利润的25%. 说明按说明按归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤(1) 理解问题理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题景和意义，设法用数学语言来描述问题.(2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要
17、给出一些恰当的假设，精选问题简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量中关键或主要的变量.(3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤(1) 理解问题理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认：阅读理解，读懂文字叙述，认真审
18、题，理解实际背景真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题景和意义，设法用数学语言来描述问题.(2) 简化假设简化假设：理解所给的实际问题之后，领：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量中关键或主要的变量.(3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际
19、问题数学化，引进数学符数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤(1) 理解问题理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题景和意义，设法用数学语言来描述问题.(2) 简化假设简化假设：理解所给的实际问题之后，领：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的悟背景中反映的实质，需要对
20、问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量中关键或主要的变量.(3) 数学建模数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤(4) 求解模型：求解模型：以所学的数学性质为工具对建以所学
21、的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解立的数学模型进行求解.(5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模模.(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，后对所建立的模型给出运用范围意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改模型与实际问题有较大出入，则
22、要对模型改进并重复上述步骤进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤(4) 求解模型：求解模型：以所学的数学性质为工具对建以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解立的数学模型进行求解.(5) 检验模型：检验模型：将所求的结果代回模型之中检将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模模.(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际合，要对计算的结果
23、作出解释并给出其实际意义，后对所建立的模型给出运用范围意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤(4) 求解模型：求解模型：以所学的数学性质为工具对建以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解立的数学模型进行求解.(5) 检验模型：检验模型：将所求的结果代回模型之中检将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模型的有效性，如
24、果不满意，要考虑重新建模模.(6) 评价与应用：评价与应用：如果模型与实际情形比较吻如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，后对所建立的模型给出运用范围意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤(1) 理解问题理解问题(2) 简化假设简化假设(3) 数学建模数学建模(4) 求解模型求解模型(5) 检验模型检验模型(6) 评价与应用评价与应用归纳总结中学数学建模
25、的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤知识讲知识讲 授授 观察函数观察函数4xy 与与xy 的图象，说明在不同区间内，函数增长的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况的快慢情况.在在0,)上上观察函数观察函数4xy 与与xy 64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况的快慢情况.在在0,)上上知识讲知识讲 授授 观察函数观察函数4xy 与与xy 64216xy4xy O的图象，说明在不同区间内，函数增长的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况的快慢情况.在在0,)上上知识讲知识讲 授授 观察函数观察函数4xy 与与xy 64216x
26、y4xy xy O的图象，说明在不同区间内，函数增长的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况的快慢情况.在在0,)上上知识讲知识讲 授授 观察函数观察函数4xy 与与xy 64216xy4xy xy O的图象，说明在不同区间内，函数增长的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况的快慢情况.在在0,)上上知识讲知识讲 授授 比较函数比较函数,2xy ,2xy xy2log 的增长快慢的增长快慢.比较函数比较函数,2xy ,2xy xy2log 的增长快慢的增长快慢.8642-22468xyO比较函数比较函数,2xy ,2xy xy2log 的增长快慢的增长快慢.8642-22468xyOx
27、y2 比较函数比较函数,2xy ,2xy xy2log 的增长快慢的增长快慢.8642-22468xyOxy2 2xy 比较函数比较函数,2xy ,2xy xy2log 的增长快慢的增长快慢.8642-22468xyOxy2 2xy xy2log 比较函数比较函数,2xy ,2xy xy2log 的增长快慢的增长快慢.8642-22468xyO你能分别求出使你能分别求出使222logxxx xxx2log22 成立的成立的x的取值的取值范围吗？范围吗？xy2 2xy xy2log 30282624222018161412108642510 xyOxy2 2xy 放大后放大后的图象的图象(0,)
28、(0,) 一般地，对于指数函数一般地，对于指数函数yax(a1)和和幂函数幂函数yxn(n0)，在区间，在区间(0, )上，上，无论无论n比比a大多少，尽管在大多少，尽管在x的一定变化范的一定变化范围内，围内，ax会小于会小于xn，但由于，但由于ax的增长快于的增长快于xn的增长，因此总存在一个的增长，因此总存在一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有axxn.规律总结规律总结(0,)(0,)对于对数函数对于对数函数ylogax (a1)和幂函数和幂函数yxn(n0)在区间在区间(0, )上，随着上，随着x的的增大，增大，logax增长得越来越慢增长得越来越慢.在在x的一定的一定变化范围内，
29、变化范围内，logax可能会大于可能会大于xn，但由，但由于于logax的增长慢于的增长慢于xn的增长，因此总存的增长，因此总存在一个在一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有logaxxn.规律总结规律总结(0,)(0,)在区间在区间(0, )上，尽管函数上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和和y = xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个而且不在同一个“档次档次”上上.随着随着x的增的增长，长，yax(a1)的增长速度越来越快，的增长速度越来越快，会超过并远远大于会超过并远远大于yxn(n0)的增长的增长速度，而速度，而
30、ylogax(a1)的增长速度则的增长速度则会越来越慢会越来越慢.因此，总会存在一个因此，总会存在一个x0，当当xx0时，就有时，就有logaxxnax.规律总结规律总结例例3 同一坐标系中，函数同一坐标系中，函数yx27和和y2x的图象的图象如图如图.试比较试比较x27与与2x的的大小大小.5040302010510yx27y2xxyO例例4 已知函数已知函数yx2和和ylog2(x1)的图象的图象如图，试比较如图，试比较x2与与log2(x1)的大小的大小.4321-124xyOyx2ylog2(x1)1. 下列说法不正确的是下列说法不正确的是 ( C ) A. 函数函数y2x在在(0，)
31、上是增函数上是增函数 B. 函数函数yx2在在(0，)上是增函数上是增函数C. 存在存在x0，当，当xx0时，时，x22x恒成立恒成立 D. 存在存在x0，当，当xx0时，时，2xx2恒成立恒成立练习练习1. 下列说法不正确的是下列说法不正确的是 ( C ) A. 函数函数y2x在在(0，)上是增函数上是增函数 B. 函数函数yx2在在(0，)上是增函数上是增函数C. 存在存在x0，当，当xx0时，时，x22x恒成立恒成立 D. 存在存在x0，当，当xx0时，时，2xx2恒成立恒成立练习练习2.比较函数比较函数yxn(n0)和和yax(a0)，下列说法正确的是下列说法正确的是 ( B ) A.
32、 函数函数yxn比比yax的增长速度快的增长速度快 B. 函数函数yxn比比yax的增长速度慢的增长速度慢C. 因因a, n没有大小确定没有大小确定, 故无法比较函数故无法比较函数 yxn与与yax的增长速度的增长速度D. 以上都不正确以上都不正确 练习练习2.比较函数比较函数yxn(n0)和和yax(a0)，下列说法正确的是下列说法正确的是 ( B ) A. 函数函数yxn比比yax的增长速度快的增长速度快 B. 函数函数yxn比比yax的增长速度慢的增长速度慢C. 因因a, n没有大小确定没有大小确定, 故无法比较函数故无法比较函数 yxn与与yax的增长速度的增长速度D. 以上都不正确以
33、上都不正确 练习练习3. 函数函数ylogax(a1)、ybx(b1)和和yxc(c0)中增长速度最快的是中增长速度最快的是( B )A. ylogax(a1) B. ybx(b1)C. yxc(c0) D. 无法确定无法确定练习练习3. 函数函数ylogax(a1)、ybx(b1)和和yxc(c0)中增长速度最快的是中增长速度最快的是( B )A. ylogax(a1) B. ybx(b1)C. yxc(c0) D. 无法确定无法确定练习练习4已知幂函数已知幂函数yx1.4、指数、指数y2x和对数和对数函数函数ylnx的图象的图象.如图，则如图，则A表示函数表示函数 的图象，的图象，B表示函
34、数表示函数 .的图象，的图象，C表示函表示函数数 的图象的图象.5432124xyOABC练习练习y2x5432124xyOABC练习练习4已知幂函数已知幂函数yx1.4、指数、指数y2x和对数和对数函数函数ylnx的图象的图象.如图，则如图，则A表示函数表示函数 的图象，的图象，B表示函数表示函数 .的图象，的图象，C表示函表示函数数 的图象的图象.5432124xyOABC练习练习4已知幂函数已知幂函数yx1.4、指数、指数y2x和对数和对数函数函数ylnx的图象的图象.如图，则如图，则A表示函数表示函数 的图象，的图象，B表示函数表示函数 .的图象，的图象，C表示函表示函数数 的图象的图
35、象.y2xyx1.4y2xyx1.45432124xyOABCylnx练习练习4已知幂函数已知幂函数yx1.4、指数、指数y2x和对数和对数函数函数ylnx的图象的图象.如图，则如图，则A表示函数表示函数 的图象，的图象，B表示函数表示函数 .的图象，的图象，C表示函表示函数数 的图象的图象.课课 堂堂 小小 结结1. 幂函数幂函数、指数函数指数函数、对数函数对数函数增长增长快慢的差异；快慢的差异；课课 堂堂 小小 结结1. 幂函数幂函数、指数函数指数函数、对数函数对数函数增长增长快慢的差异；快慢的差异；2. 直线上升直线上升、指数爆炸指数爆炸、对数增长对数增长等不同函数类型增长的含义等不同函数类型增长的含义.