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1、.2017 年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5 月 14 日上午 8：3011：00）一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1已知集合 ，则集合 中所有元素的和为（ ）203xAZ， AA B0 C2 D3【答案】 B 【解答】由 ，得 。又 。因此 。23xxZ210A， ， ， ，所以，集合 中所有元素的和为 0。A2已知正三棱锥 的三条侧棱 、 、 两两互相垂直，若三棱锥BCDBCD外接球的表面积为 ，则三棱锥 的体积为（ ABCD3）A B C D432169【答案】 C 【解答】设 ，则三棱锥 外接球的AaABC半径 。32Ra由 ，得 。432R ，三棱锥 的体
2、积 。1aABCD316Va3已知 为实数，若存在实数 ，使得 ，且 ，则 的取值范围为xy20xy23xyx（ ）A B (4)(0)， ， ()4)， ，C D3， ， (， ，【答案】 C 【解答】 由 ，得2xy23xy ，20BDCA（第 2 题图）. ，即 ，解得 或 。203x(4)03x4x30x 的取值范围为 。)， ，4 、 是两条不重合的直线， 、 是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的mn命题的个数是（ ）（1）对 、 外任意一点 ，存在过点 且与 、 都相交的直线；Pmn（2）若 ， ， ，则 ； n （3）若 ， ，且 ，则 ；（4）若 ， ， ， ，则 。m A
3、1 B2 C3 D4【答案】 B 【解答】 （1）不正确。如图，在正方体中，取 为直线 ， 为直线 。过点BCDn1A的直线 如果与直线 相交，则 在 内，此时 与AlDlB面 l直线 不相交。1（2） 、 （3）正确。（4）不正确。如图，正方体 的面 内取两条与 平行的直线，1ACDACBC如图中的直线 与 ，则有 ， ， ，AEFB 面 1EFB 面 1DA 面，但 与面 相交而不平行。1EFBCD 面 1面 15已知函数 ，若对任意实数 均有 ，则22()()fxxmnx(3)()fxfx的最小值为（ ）()fxA B C D1614110【答案】 A 【解答】 依题意， 的图像关于直线
4、 对称。()fx3x ， 。()0ff(2)0f于是， ，解得 。243681)mn14mn， 时，。22 22()(04)(2)(6)()68)fxxxxx ，2268(39839即 。242()310)9()516fxxxEC 1B1D1 CABDA1F（第 4 题图）.此时， ， ，符合题意。2(3)(5)16fx2(3)(5)16fx ，即 时， 取最小值 。206已知 ， ， ，若 ，且 ，则 的最小值为abcR221abc()1()abcab（ ）A B C D11543【答案】 D 【解答】 由 ，得 。()()abcab1cabcabac 。1bc设 ，则 。xx ，222()
5、()1cc ，解得 ，即 ， 。1)ab0abc ，即 。(0ab0b ，即 。2a22()由 ， 知， 。R()4 ，解得 。因此， 。231013a13a又当 时，代入前面解得， 。符合题设要求。a2bc 的最小值为 。13二、填空题（每小题 6 分，共 36 分）7已知定义在 上的函数 （ ，且 ）的值域也是 ，0， ()log()afxm01a10，则 的值为 。am【答案】 52【解答】当 时， 在 上为增函数，依题意有1a()fx10，方程组无解。()log(0afm当 时， 在 上为减函数，依题意有)fx，.，解得 。(1)log()001afm21a所以， 。528如图，在三棱
6、锥 中， ， ， 。设 与PABC5PBAC64PBA所成的角为 ，则 的值为 。ABC面 sin【答案】 235【解答】如图，取 中点 ，连接 ， 。AOPB ， ，5PCB6C ， ， 。4 ， 。面 面 面又由 ，知 是等边三角形。4作 于 ，则 ，且 。PHOBPHAB面 23PH 是 与 所称的角。AC面 。23sin59已知 ， ， ，点 在线段 内，且 平分 ，则(12)A， (612)B， (0)O， DOBADOB点 的坐标为 。D【答案】 9()，【解答】如图， 方程为 ，设 （OB34yx(3)Dt，） 。40t又直线 方程为 ， 方程为A40xA， 平分 。273xyD
7、OACBPH ACB（第 8 题图）（第 8 题图）. 点 到直线 、 距离相等。DAOB 。169213055tt解得， （舍去）或 。tt因此，点 坐标为 。D9(6)2，10设 是定义在 上以 2 为周期的偶函数，且在区间 上单调递减。若()fxR01， ，则不等式组 的解集为 。()1f21()2xf【答案】 8，【解答】 是偶函数，且在区间 上单调递减。()fx0， 在区间 上为增函数。()f10，又 是以 2 为周期的周期函数，x 在区间 上为增函数。f，又 ， ，以及 是以 2 为周期的偶函数。()()f()fx ， 。1f88)()2f又 ，128 不等式组的解集为 。2，11
8、已知 ，定义 ， ， ， ， ，则()xf1()fxf1()()nnfxfx234。2017(3)f【答案】 20193【解答】 依题意，有 ， ， ，13()52f243()1f353()29f一般地，有 。2(3)nnf所以， 。20172019f（第 9 题图）.12已知 ， ， ，且 ，则 的最大值为 0xy0z2251xyzxyz。【答案】 12【解答】由 ，知2225(4)()42()xyzxyzxyzxyz，当且仅当 ，且 ，即 ， 时，等号成立。2xyz 1010所以， 的最大值为 。12三、解答题（第 13、14、15、16 题每题 16 分，第 17 题 14 分，满分 7
9、8 分）13已知 ，且当 时， 恒成立。2()()3fxaxc1x1()6fx（1）求 的解析式；（2）已知 、 是函数 图像上不同的两点， ，且1()Axy， 2()Bxy， ()fx(1)P，。当 、 为整数， 时，求直线 的方程。PB213AB【解答】 （1）依题意， ， 。(0)6fc1()36fc ，且 。6c2 。 4 分1此时， ，可见 在区间 上的最小值为 。(0)6f()fx1， (0)f 的对称轴为 ，即 ， 。fx003a3 。 8 分21()36f（2）由（1）知， 。同理 。2111()36)3PAyxxkx213PBxk ，B 。 1213PAk. 。 12 分12
10、()9x又 、 为整数，且 ，12x ，或 ，或 。12x23129x结合 ，得 ， 。318x 、 坐标分别为 、 。AB7()6A， ()B， 直线 的方程为 。 16 分2310xy14过直线 ： 上一点 作圆 ： 的两条切线 、l0PC22(4)()4xyPA， 、 为切点。PBA（1）在 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，l 10AB请说明理由；（2）若直线 过原点 ，求点 的坐标。BOP【解答】 （1）假设符合条件的点 存在。则由 ，知 。20AP60AC ， ，C 。 4 分43另一方面，由圆心 到直线 的距离 ，知 。(2)， l4210d2PC即 ，矛
11、盾。因此，假设不成立。423 符合条件的点 不存在。 8 分P（2）设 为直线 上一点。0()xy， l则 。2204()4PABy 点 、 在以 为圆心，半径为 的圆上，P2200()()4xy即点 、 在圆 上，2200()()4xy即圆 上。2816xy又点 、 在圆 ： 上，即圆 上。ABC224284160xy将上述两圆方程联立，消二次项，得 。000()()x 直线 方程为 。 12 分0()416xy.由直线 过原点 知， 。ABO042160xy联立 ，解得 ， 。01xy 点 的坐标为 。 16 分P()，15如图， 为锐角三角形， 于 ， 为 的垂心， 为 的中ABC CF
12、ABHABC MAH点。点 在线段 上，且 。GMG（1）求证： ；F（2）求证： 。H【解答】 （1）由条件知， ， ，BG 、 、 、 四点共圆。BC 。 4 分AFG 为 的中点，M ， 。HAFM延长 交 于点 。由 为 的垂心知，BNBC。ANC 。 。FAF又 ， ，MGGBF 。 8 分（2）由（1）知， 。C又 ，FC 。F 。 12 分MG又 ，FA 。C又 ，G 。MA （第 15 题图）FMHBCGNFMHBCAG（第 15 题图）. 。 16 分MCAGHA16已知 为定义在 上的奇函数，且当 时，()fx(0)()， ， 0x。 。202()51fx， gxfa（1）
13、若函数 恰有两个不相同的零点，求实数 的值；()gx（2）记 为函数 的所有零点之和。当 时，求 的取值范围。Sa10()Sa【解答】 （1）如图，作出函数 的草图。()fx由图像可知，当且仅当 或 时，直线 与函数 的图像有两个不同2aya()yfx的交点。所以，当且仅当 或 时，函数 恰有两个不相同的零点。()gx因此， 或 。 4 分2a（2）由 的图像可知，当 时， 有 6 个不同的零点。 8 分()fx10a设这 6 个零点从左到右依次设为 ， ， ， ， ， 。x234x5则 ， ， 是方程 的解， 是方程 的120563 0a4x20xa解。（第 16 题图）. 。 12 分22
14、2()10log()l()10logaSaa 时， ，43， 。2()log30)Sa， 时， 的取值范围为 。 16 分1(Sa2(log0)，17设集合 是一个由正整数组成的集合，且具有如下性质：S 对任意 ，在 中去掉 后，剩下的数的算术平均数都是正整数；xx ， ，且 是 中最大的数。1901S求 的最大值。 （符号 表示集合 中元素的个数）【解答】依题意，设 ，且 。123nxxL， ， ， ， 123901nxxL记 ， ，则 ，其中 ，2，3， 。123nXxLiiXa*iaNi 对任意 ，有 。 5 分k *111kkkxxNnn 对任意 ， 。2n()x又 ，11()kkkxx 任意 ， 。1)k 任意 ， 。kxn于是，。2111221()()()(1)()1nnnxxxnnLL即 ， 。29090 。 10 分3另一方面，令 ， ，2，3，31，则 符合要求。ixi 1231Sxx， ， ， ， 的最大值为 31，即 的最大值为 31。 14 分nS