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1、 大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准 The latest revision on November 22,2020 2018 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题 考试时间 2018 年 3 月 18 日 9001100 满分 150 分 一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）。每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）1若关于x的方程244310 xmxm 有两个相等的实数根，则32442mmm的值为（）A3 B2 C1 D1 2如图，ABCD、DEFG都是
2、正方形，边长分别为m、n（mn）。坐标原点O为AD的中点，A、D、E在y轴上。若二次函数2yax的图像过C、F两点，则nm（）A31 B21 C2 31 D2 21 3如图，G为ABC的重心，点D在CB延长线上，且12BDBC，过D、G的直线交AC于点E，则AEAC（）A25 B35 C37 D47 4如图，H、O分别为ABC的垂心、外心，45BAC，若ABC外接圆的半径 为2，则AH（）A2 3 B2 2 C4 D31 5满足方程22419151xxyy的整数对()x y，有（）HOBCA（第 4 题图）（第 2 题图）EGBCAD（第 3 题图）A0 对 B2 对 C4 对 D6 对 二、
3、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6已知a，b，c为正整数，且abc。若bc，ac，ab是三个连续正整数的平方，则222abc的最小值为 。7如图，ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在x轴上。若函数4yx（0 x）的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为 。8如图，ABC是边长为 8 的正三角形，D为AB边上一点，1O为ACD的内切圆，2O为CDB的边DB上的旁切圆。若1O、2O的半径都是r，则r 。9若实数x满足 232018xxx，则 4x 。其中 x表示不超过x的最大整数。10网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图
4、论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成n个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这n个凸多边形的顶点中，恰有 6 个顶点在矩形内，12 个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成ABO1O2CD（第 7 题图）（第 8 题图）这n个凸多边形的线段中，恰有 18 条线段在矩形区域内，则这n个凸多边形中四边形个数的最大值为 。三、解答题（共 4 题，每小题 20 分，共 80 分）11已知二次函数224yxbxc
5、的图像交x轴于1(0)A x，、2(0)B x，两点，且2112265xxxx。若函数224yxbxc在13bxb 上的最小值为6，求b，c的值。12如图，在圆内接四边形ABCD中，ABAD，M是BC边的中点，点N在对角线BD上，且满足BANCAM。求证：MNAC。NMBCAD（第 12 题图）13已知关于x的方程299990 xkxk的两根都是素数，求k的值。14一个由36个单位小方格组成的6 6的方格表中的n个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于 2，求n的最大值。2018 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准 考试时间 2018 年 3 月 18
6、 日 9001100 满分 150 分 一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）。每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）1若关于x的方程244310 xmxm 有两个相等的实数根，则32442mmm的值为（）A3 B2 C1 D1【答案】A 【解答】依题意，21616(31)0mm。因此，2310mm。231mm，231mm。3222442(31)44232123mmmmmmmmm 。2如图，ABCD、DEFG都是正方形，边长分别为m、n（mn）。坐标原点O为AD的中点
7、，A、D、E在y轴上。若二次函数2yax的图像过C、F两点，则nm（）A31 B21 C2 31 D2 21【答案】B 【解答】依题意，点C坐标为()2mm，点F的坐标为()2mn n，。由二次函数2yax的图像过C、F两点，得 222()2mammnan，消去a，得2220nmnm。（第 2 题图）2()210nnmm ，解得21nm（舍负根）。21nm。3如图，G为ABC的重心，点D在CB延长线上，且12BDBC，过D、G的直线交AC于点E，则AEAC（）A25 B35 C37 D47 【答案】D 【解答】如图，连AG，并延长交BC于点F。G为ABC的重心，且12BDBC，F为BC中点，且
8、21AGGF，DBBFFC。过点F作FMDE，交AC于点M。则13CMCFCECD，21AEAGEMGF。设CMk，则3CEk，2EMk，4AEk。7ACk，4477AEkACk。另解：如图，连AG，并延长交BC于点F。G为ABC的重心，且12BDBC，F为BC中点，且21AGGF，DBBFFC。23FDDC，21AGGF。在AFC中，利用梅涅劳斯定理，得1FD CE AGDC EA GF。（第 3 题图）MEGFBCADEGBCADEGFBCAD（第 3 题答题图）（第 3 题答题图）22131CEEA，34CEEA。47AEAC。4如图，H、O分别为ABC的垂心、外心，45BAC，若ABC
9、外接圆的半径为2，则AH（）A2 3 B 2 2 C 4 D31【答案】B 【解答】如图，连结BO并延长交O于点D，连HC、CD、DA。O为ABC的外心，BD为O直径，DCBC，DAAB。又H为ABC的垂心，AHBC，CHAB。AHDC，CHDA。四边形AHCD为平行四边形，AHDC。45BAC，ABC外接圆的半径为2，45BDCBAC，4BD。2 2AHDC。5满足方程22419151xxyy的整数对()x y，有（）A0 对 B2 对 C4 对 D6 对【答案】C 【解答】方程22419151xxyy化为22(2)151 15xyy。依题意，2151 15Ay为完全平方数。由2151 15
10、0Ay，得215115y。结合y为整数，得210y。故，20y，1，4，9。当20y 时，2151 15151Ay，不是完全平方数。当21y 时，2151 15136Ay，不是完全平方数。当24y 时，2151 1591Ay，不是完全平方数。当29y 时，22151 15164Ay。（第 4 题答题图）（第 4 题图）HOBCADHOBCA 方程化为229(2)16yxy，即23(6)16yx，或23(6)16yx 364yx，或364yx，或364yx，或364yx 。103xy，或23xy，或23xy ，或103xy 。满足方程的整数对有(10 3)，、(2 3)，、(23)，、(103)
11、，共 4 对。二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6已知a，b，c为正整数，且abc。若bc，ac，ab是三个连续正整数的平方，则222abc的最小值为 。【答案】1297 【解答】依题意，设2(1)bcn，则2acn，2(1)abn，n为正整数，且1n。22222()(1)(1)32abcnnnn，可见n为偶数，且2322nabc。242nna，222nb，242nnc。可见，6n，且当n增大时，222abc的值也随之增大。又6n 时，30a，19b，6c 符合要求。222abc的最小值为222301961297。7如图，ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在x轴
12、上。若函数4yx（0 x）的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为 。【答案】8 【解答】设()DDD xy，()EEE xy，则4DDEEx yx y。作EFAB于F，由E为AC中点，得F为AB中点，且1122EFBCAD。2DEyy。结合2EEDDDEx yx yxy，得2EDxx。OAAF，222DABAFOAx。矩形ABCD的面积28DDSABADx y。（第 7 题图）8如图，ABC是边长为 8 的正三角形，D为AB边上一点，1O为ACD的内切圆，2O为CDB的边DB上的旁切圆。若1O、2O的半径都是r，则r 。【答案】3【解答】如图，设1O切ACD的三边AC、CD、DA依次于点G
13、、H、E，边DB切2O于点F，CD、CB的延长线切2O于点M、N。则由1O、2O的半径都是r，ABC为正三角形，以及切线长性质定理，得 3AGAEr，83CHCGr，33BFBNr，383CMCNr。34 3(8)(83)33EFHMCMCHrrr 4 338 33333ABAEEFFBrrrr。8 383r，3r。9若实数x满足 232018xxx，则 4x 。其中 x表示不超过x的最大整数。【答案】1346 【解答】设xam，其中a为整数，01m。则 232()3()623xxxamamamamm。ABO1O2CD（第 7 题答题图）（第 8 题答题图）（第 8 题图）FABO1O2CDE
14、HGMN 当103m时，23000mm；当1132m时，230 1 1mm；当1223m时，231 12mm ；当213m时，231 23mm。对任意实数x，23xxx的值具有形式：6k，61k，62k，63k，k为整数。20186 3362，232018xxx。336xm，其中1223m。44(336)4 3364134421346xmm。10网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成n个凸多边形区域（这些凸多边
15、形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这n个凸多边形的顶点中，恰有 6 个顶点在矩形内，12 个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这n个凸多边形的线段中，恰有 18 条线段在矩形区域内，则这n个凸多边形中四边形个数的最大值为 。【答案】9【解答】设这n个凸多边形中，有3k个三角形，4k个四边形，5k个五边形，mk个m边形。则这n个凸多边形的内角和为 345(32)180(42)180(52)180(2)180mkkkkm。另一方面，矩形内部有 6 个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为360。矩形边界线段内（不含矩形顶点
16、）有8 个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为180。在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和为90。因此，这n个凸多边形的内角和为6 3608 1804 90 。345(32)180(42)180(52)180(2)180mkkkkm 6 3608 1804 90 。34523(2)22mkkkmk。再考虑这n个凸多边形的边数。由于每个凸m边形有m条边，因此，这n个凸多边形的边数和为345345mkkkmk。另一方面，由条件知，在矩形内部的 18 条边，每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算 2 次。而在矩形边界上的 12 个点，得到 12 条线段，它们都对应某
17、个凸多边形的边。因此，这n个凸多边形的边数和为18 2 1248。34534548mkkkmk。由、，消去3k，得452(3)9mkkmk。49k。又如图所示的划分符合要求，此时，34k，49k。4k的最大值为9，即这n个凸多边形中，最多有 9 个四边形。三、解答题（共 4 题，每小题 20 分，共 80 分）11已知二次函数224yxbxc的图像交x轴于1(0)A x，、2(0)B x，两点，且2112265xxxx。若函数224yxbxc在13bxb 上的最小值为6，求b，c的值。【解答】函数224yxbxc的图像交x轴于1(0)A x，、2(0)B x，两点，1x，2x是方程2240 x
18、bxc的两个实根。122xxb，122cx x。5 分 又2222211212121212121212()2()2625xxxxxxx xxxxxx xx xx x，2426252bc，2109bc。10 分 222242()2yxbxcxbcb，在13bxb 上的最小值为6。1xb时，6y 。2226cb 15 分 由、，解得10c，3b 。3b ，10c。20 分 （第 10 题答题图）12如图，在圆内接四边形ABCD中，ABAD，M是BC边的中点，点N在对角线BD上，且满足BANCAM。求证：MNAC。【解答】ABAD，ADBABD。ACMADBABDABN 。又CAMBAN，ABNAC
19、M。ABBNACCM 。5 分 设AC、BD相交于点E，BAECAB，ABEACB。ABEACB。ABBEACCB。10 分 又M为BC边中点，CMBM，结合，得ABBNBNACCMBM。结合，得BEABBNCBACBM，NEMBCADNMBCAD（第 12 题图）（第 12 题答题图）BMBNBCBE。15 分 MNEC，即MNAC。20 分 13已知关于x的方程299990 xkxk的两根都是素数，求k的值。【解答】设方程299990 xkxk的两根分别为p、q，则由韦达定理，知9999pqkpqk ，9999pqpq。44(1)(1)1000025pq 5 分 显然p，q都不等于 2，因
20、此，p，q都是奇数。24112522pq。10 分 若12p，12q中有一个数为奇数，不妨设12p为奇数，则 152mp，其中1m，2，3，4。当1m 时，9p，不是素数，舍去；当2m 时，49p，不是素数，舍去；当3m 时，249p，不是素数，舍去。当4m 时，1249p 是素数。此时，2122q，7q，也是素数。1249p，7q，1256kpq，符合要求。15 分 若12p，12q都是偶数，则411544pq，不妨设pq，则 当0154p，4154q时，3p，2499q，q不是素数，舍去；当1154p，3154q时，19p，499q，p，q都是素数；当2154p，2154q时，99p，99
21、q，p，q都不是素数，舍去；19p，499q，518kpq，符合要求。综上所述，518k，或1256k。20 分 14一个由36个单位小方格组成的6 6的方格表中的n个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于 2，求n的最大值。【解答】n的最大值为8。先考虑一个3 3的方格表，其中有k个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，由枚举可以知道，k的最大值为 2。10 分 并且只有如下图所示的两种情况（包括对称的情形）。将一个6 6的方格表分成 4 个3 3的方格表，由于每个3 3的方格表中至多有 2 个红色小方格，于是2 48n。15 分 另一方面，如下图所示的染色恰有8 个红色小方格，并且任意两个红色小方格的中心之间的距离大于 2。RRRRRRRRRRRR 综上所述，n的最大值为8。20 分