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1、2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8：3011：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1若集合，则集合（ ）A B C D【答案】 D 【解答】 依题意，。由，知；，知或。所以，或，即。2已知直线：与直线：（）相互垂直，垂足为，为坐标原点，则线段的长为（ ）A B2 C D【答案】 D 【解答】由知，结合，得，。 方程为，即；方程为：，即。由，得。因此，线段长为。3如图，在三棱锥中，均为等边三角形，且。则二面角的余弦值为（ ）A B C D【答案】 B 【解答】如图，取中点，中点，连结，。（第3题）不妨设，则由条件知，。 ，。 。又，故是二面角的平面角
2、。在中，由，得，。 二面角的余弦值为。4若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】 A 【解答】 时，函数的值域为， 时，即时，。 ，且时，恒成立。 ，的取值范围为。5如图，在四面体中，已知、两两互相垂直，且。则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（ ）A B C D【答案】 D 【解答】 如图，设（在上，在上，在上）。（第5题）由，知，。 在面内与点距离为的点形成的曲线段（图中弧）长为。同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为。又在面内与点距离为的点形成的曲线段长为。在面内与点距离为的点形成的曲线段（图中弧）长为。 四面体表面上与点距离为的点形成
3、的曲线段的总长度为。6是定义在上的函数，若，且对任意，满足，则（ ） A2013 B2015 C2017 D2019【答案】 C 【解答】 对任意，满足， 。又。因此，。 ，。 。二、填空题（每小题6分，共36分）7已知实数，满足，记的最大值为，最小值为，则 。 【答案】 72 【解答】设，由知，。因此，点在以为圆心，3为半径的圆上。又，设，则。 ，。 ，。注本题也可以三角换元法。由，设，代入后求最值。8过直线上一点作圆：的切线、，、为切点。若直线、关于直线对称，则线段的长为 。【答案】 【解答】由切线、关于直线关于对称，以及切线、关于直线对称知，直线与直线与重合或垂直。由点不在直线上知，与直
4、线垂直。设，则，。 ，。9已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，为侧面的内心，则四棱锥的体积为 。【答案】 【解答】如图，取中点，连结，由条件知在中，。 在线段上，且。 。 。10已知是偶函数，时，（符号表示不超过的最大整数），若关于的方程（）恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为 。【答案】 【解答】作出函数与的草图（如图所示）。易知直线恒过点，是方程的一个根。从图像可知，当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点。 的取值范围为。11方程（）的正整数解为 。（写出所有可能的情况）【答案】 ，【解答】依题意，。 ，。由，知，因此，。 ，2，3。若，则，。将，代入题中方程，得，。若，则，。
5、由知，不存在。若，则。所以，又，因此，5，6，7。经验证只有符合。将，代入题中方程，得，。 符合条件的正整数解有或。12已知，则的最小值为 。【答案】 6【解答】 设，则，。且，。 ，。 当且仅当，即，即，时等号成立。（如，即，时等号成立）。 的最小值为6。三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13已知，。（1）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值。【答案】（1）依题意，。由在区间上为单调函数，知在区间上是单调函数，且。 或。 4分 或。 实数的取值范围是。 8分（2）。设，则，。 设 ， 12分则时，的
6、最小值为。由，得，符合要求。时，的最小值为。由，得，不符合要求，舍去。时，的最小值为。由，得，符合要求。综合，得或。 16分14已知（）。（1）若在区间内有两个不同的实数根，求实数的取值范围；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1）依题意，有。 4分解得。 的取值范围为。 8分（2） 时，恒成立， 时，即恒成立。 时，恒成立。 12分设，则，。由在上为增函数，知的值域为。 ，即的取值范围为。 16分另解：由（1）知， ，总有两个不相等的实根。设方程的两根为，（）。 时，恒成立。 12分 ，。解得，。 的取值范围为。 16分15如图，圆的圆心在坐标原点，过点的动直线与圆相交于，两点。
7、当直线平行于轴时，直线被圆截得的线段长为。（1）求圆的方程；（2）在平面直角坐标系内，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）设圆半径为，依题意有。（第15题） ，圆方程为。 4分（2）设符合条件的点存在。当直线平行于轴时，由此可得。又此时、关于轴对称，因此，点在轴上。设。当轴时，。由，得，或（舍去）。（当，时，同理可得）因此，若点存在，则点只能为。 8分下面证明点符合要求。当直线斜率不存在或为0时，由前面讨论可知点符合要求。当直线斜率存在且不为0时，设方程为。由，得。设，则，。 。 。 12分 平分，由角平分线性质定理知，。综上可知，符合
8、条件的点存在，其坐标为。 16分16如图，、分别为的外心、内心，连结并延长交的外接圆于点。、分别在的边、上，且满足。（1）求证：；（2）求证：。【证明】（1）依题意，为弧的中点，。连结，由为的内心知， 。 。 4分（第16题）（2）设与的交点为，则由以及平分，知为中点，且。设与的交点为，则为中点，且。 、四点共圆，。 8分连结，由为弧的中点知，。又，。 。 12分 。结合，。因此，。 。 16分17已知集合，求最大的正整数，使得存在集合的元子集，满足集合中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。【解答】设为集合的一个元子集。考虑集合的下列43个子集（每个子集中恰有3个数）：，。 若，则由知，集合一定包含上述43个子集中的某一个。由此可知，集合中存在互不相同的三个数，（），使得。因此，集合不满足：集合中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。所以，当集合元素个数多于1973，即时，集合不满足题意要求。所以，。 5分另一方面，令（从集合删去2，3，4，44这43个数）。设，（）是中任意两个不同的数。若，则，不可能等于中第3个不同于1和的数。 10分若，则，显然它不在集合中。因此，集合满足：集合中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。可见，存在集合的一个1973元子集，满足集合中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。所以，正整数的最大值为1973。 14分