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1、必修五数学知识点高中必修五数学学问点中学 映射、函数、反函数 1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区分，映射是一种特别的对应，而函数又是一种特别的映射. 2、对于函数的概念，应留意如下几点： (1)驾驭构成函数的三要素，会推断两个函数是否为同一函数. (2)驾驭三种表示法列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特殊是会求分段函数的解析式. (3)假如y=f(u)，u=g(x)，那么y=fg(x)叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数. 3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤： (1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域; (2)由y=f(x)的
2、解析式求出x=f-1(y); (3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域. 留意：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起. 熟识的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避开求反函数的过程，从而简化运算. 函数的解析式与定义域 1、函数及其定义域是不行分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必需是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型： (1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑; (2)已知一个函数的解析式求其定
3、义域，只要使解析式有意义即可.如： 分式的分母不得为零; 偶次方根的被开方数不小于零; 对数函数的真数必需大于零; 指数函数和对数函数的底数必需大于零且不等于1; 三角函数中的正切函数y=tanx(xR，且kZ)，余切函数y=cotx(xR，xk，kZ)等. 应留意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集). (3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可. 已知f(x)的定义域是a，b，求fg(x)的定义域是指满意ag(x)b的x的取值范围，而已知fg(x)的定义域a，b指的是xa，b，此时f(x)的定义域，即g(x
4、)的值域. 2、求函数的解析式一般有四种状况 (1)依据某实际问题需建立一种函数关系时，必需引入合适的变量，依据数学的有关学问寻求函数的解析式. (2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采纳待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a0)，其中a，b为待定系数，依据题设条件，列出方程组，求出a，b即可. (3)若题设给出复合函数fg(x)的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必需求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域. (4)若已知f(x)满意某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必需依据已知等式，再构造其他等式组成方
5、程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式. 函数的值域与最值 1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采纳何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下： (1)干脆法：亦称视察法，对于结构较为简洁的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，干脆视察得出函数的值域. (2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的困难函数转化成另一种简洁函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元. (3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a0)的函数值域可采纳此法求
6、得. (4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域：利用基本不等式a+ba，b(0，+)可以求某些函数的值域，不过应留意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧. (6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采纳单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区分
7、和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，假如在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0，16，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-，-22，+)，但此函数无值和最小值，只有在变更函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数学问求解实际问题上，从文字表述上经常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实
8、问题上，求解时要特殊关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值. 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，假如对于函数定义域内的随意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义，要留意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是推断函数奇偶性的主要依据。为了便于推断函数的奇偶性，有时须要将函数化简或应用定义的等价形式： 留
9、意如下结论的运用： (1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数; (2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1D2上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)g(x)是偶函数，类似地有“奇奇=奇”“奇奇=偶”，“偶偶=偶”“偶偶=偶”“奇偶=奇”; (3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数; (4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。 3、有关奇偶性的几特性质及结论 (1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称. (2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又
10、是偶函数. (3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立. (4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。 (5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数. (6)奇偶性的推广 函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称图形，即y=f(a+x)为奇函数。
11、函数的概念：设A、B是非空的数集，假如根据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 留意：假如只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式
12、的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必需大于零; (4)指数、对数式的底必需大于零且不等于1. (5)假如函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不行以等于零 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再留意： (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全一样，即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的推断方法
13、：表达式相同;定义域一样(两点必需同时具备) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟识驾驭一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解困难函数值域的基础.(3).求函数值域的常用方法有：干脆法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 如何学好数学 重视课本的内容 书本学问学习数学最根本的一部分了，肯定要重视书本上的学问点，不管是概念还是公式以及书本上的练习题，初中生肯定要娴熟驾驭。初中生要想更娴熟的驾驭书本的学问点，可以将数学课本的每一章节，从头到尾的细致阅读，这样可以增加自己对
14、简单忽视的学问点的了解。有许多学生经常会忽视课本的习题，虽然课本的习题很简洁，但是考察的学问点却特殊有针对性，所以肯定要引起学生的重视。 2通过联系对比进行辨析 在数学学问中有不少是由同一基本概念和方法引申出来的种属及其他相关学问，或看来相同，实质不同的学问，学习这类学问的主要方法，是用找联系、抓对比进行辨析。如直线、射线、线段这些概念，它们既有联系又有区分。 3多做练习题 要想学好初中数学，必需多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的学问搅得一塌糊涂，理不出头绪，奢侈时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，
15、是要大家在做了一道新奇的题目之后，多想一想：它原委用到了哪些学问，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。 4课后总结和反思 在进行单元小结或学期总结时，要做到以下几点：一看：看书、看笔记、看习题，通过看，回忆、熟识所学内容;二列：列出相关的学问点，标出重点、难点，列出各学问点之间的关系，这相当于写出总结要点;三做：在此基础上有目的、有重点、有选择地解一些各种档次、类型的习题，通过解题再反馈，发觉问题、解决问题。 自然数的意思 自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4所表示的数。自然数由0起先，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。 必修五数学学问点中学