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1、第二章 导数与微分2-1 导数概念一、引例(一)直线运动的速度 (二)切线问题1、切线意义 设有曲线 上一点M,在点M外另取 作割线 ,当点N沿曲线C趋于点M时,如果割线 绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线。CC及NC上一点MNMN2、切线斜率的求法 设 是曲线 C上的一个点,则 就是曲线C在 点处切线的斜率。000,Mxy 0000limxxf xf xkxx000,Mxy二、导数的定义(一)函数在一点处的导数1、定义：设函数 的某个邻域内有定义,当自变量 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时 , 相应地函数 取得增量 ， 0yf xx在点0 xx在x0 xxy0
2、0yf xxf x 如果 之比当 时的极限存在，则称函数 处可导，并称这个极限为 处的导数。记作 、yx与0 x 0yf xx在点 0yf xx在点0fx 000 x xx xx xdf xdyydxdx、或即 函数 处可导，也说成 具有导数或导数存在。 如果 不存在，就说函数 处不可导。00000= limlimx xxxf xxf xyyxx 0yf xx在点 0f xx在点0limxyx 0yf xx在点如果不可导的原因是也往往说函数 处的导数为无穷大。0yxx 时 0yf xx在点2、求导的不同形式 或(当 时, ) 00001limxf xxf xfxx 0000limhf xhf
3、xfxh 00002limxxf xf xfxxx 0003limhahf xg hf xfxg hhah 0g h 例1设 求 12f xx xxx n 0f 例2已知 存在，求0fx000limhf xahf xbhh3、导数的意义 函数 处的导数是因变量 处的变化率,它反映了 处因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 0yf xx在点0fx0yx在点0 x在点（二）导函数1、定义：如果函数 在开区间 内的每点处都可导，就称函数 在开区间 内可导，此时对于任一 ,都对应着 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数的导数，记作 yf xI yf xIxI f x y
4、f x ,df xdyyfxdxdx或2、导函数的求法 注：在求极限过程中 是常量。 01limxf xxf xfxx 02limhf xhf xfxhx例3求函数 的导数。例4求函数 在 处的导数。 f xC C为常数 nfxxnNxa例5求 的导数。例6求函数的导数。 sinf xx log01af xx aa且例7求函数 的导数。 01xf xaaa且3、导函数 在点 处的导数 的关系(1)函数在某点处的导数是导函数在该点处的函数值,即 .(2) 是一个常数, 是一个函数,两者均与 无关。 fxf x和0 x0fx 00fxfx xx=0fx fxx例8求函数 处的导数。 0f xxx在
5、例9函数 对任意 均满足 且有 ，其中为非零常数，则 （ ）（A） 处不可导 （B） 处可导且（C） 处可导，且 （D） 处可导且 f xx 1fxaf x 0fbab、 1f xx 在 1f xx 在 1fa 1f xx 在 1fb 1f xx 在 1fab（三）单侧导数1、定义：若极限 存在，则称这两个极限分别为函数 的左导数和右导数，记作 即左导数和右导数统称为单侧导数。-000limhf xhf xh及+000limhf xhf xh 0yf xx在点0+0fxfx及000000+00= limlimhhf xhf xfxhf xhf xfxh2、导数、左导数、右导数三者之间 的关系
6、函数 处可导的充分必要条件是左导数 和右导数都存在而且相等。 0f xx在点0fx 0fx例10设函数 ,其中 是有界函数，问 处是否可导。 22ln 100 xxf xxx g xx g x 0f xx 在3、 在闭区间 上可导 如果函数 在开区间 内可导，且 都存在，就说在闭区间 上可导。 f x, a b f x, a b fafb及 f x, a b三、导数的几何意义：函数处的导数 ，在几何上表示曲线 处的切线的斜率，即 ，特别的是，如果 的导数为无穷大，此时切线的倾角为 ，故此时的切线垂直于 轴，切线方程为 0yf xx在点0fx 00,yf xM xf x在点0tanfx 0yf
7、xx在点2x0 xx(二)曲线在点 处的切、法线方程1、切线方程：2、法线方程(1)法线：过切点 且与切线垂直的直线叫做曲线 处的法线.(2)法线方程：如果 ,则法线方程为： 若 ,则法线方程为000,Mx y000yyfxxx000,Mxy yf xM在点00fx0001yyxxfx 00fx0 xx例11求等边双曲线 在点 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。例12求曲线 的通过点的切线方程。1yx1,2232yx0, 4四、函数可导性与连续性的关系(一)若函数 处可导,则函数在点 处必连续.(二)函数在某一点连续却不一定在该点处可导 0yf xx在点0 x例13函数 内连
8、续,但在 点处不可导。3( )yf xx在区间-+，0 x 例14.设函数则 在点 处（ ）(A)极限不存在 (B)极限存在但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导 21sin,00,0 xxf xxx f x0 x 例15设周期函数 在 内可导，周期为4，又求曲线 在点 处的切线的斜率。 f x(,) 0(1)(1)lim12xffxx ( )yf x5(5)f，2-2函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则（一）定理1 如果函数 及都在点 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点 具有导数，且( )uu x( )vv xxx（1）（2）（3） ( )( )( )
9、( )u xv xu xv x( )( )( ) ( )( ) ( )u xv xu x v xu x v x2( )( ) ( )( ) ( )( ( )0)( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx例1 求例2 求例3. 求(sincos )xyexxytanyxysecyxy（二）推广 若函数处可导,则有 12,nuxuxuxx在点 121nuxuxux 12nuxuxux例4 求 及3( )cossin2f xxx( )fx()2f 12nu x u xu x2 12nu x ux u xu x 12nuxuxux 1nuxux ux u xcux3. c例5若 求
10、 .例6设 求 1lim1txxf ttx ft 12f xx xxxn 0f 二、反函数的求导法则 定理2：如果函数 在区间 内单调、可导，且 ，则它的反函数 在区间内也可导，且 。 xfyyI 0fy 1yfx ,xyIx xfyyI 111dyfxdxfydxdy 或例7求 的导数例8求 的导数。arcsinyxlog01ayx aa且三、复合函数的求导法则（一）定理3：如果 可导，而 可导，则复合函数 可导， 且其导数为： ug xx在点 yf uug x在点 yfg xx在点 dydydy dufugxdxdxdu dx或例9例10lntandyyxdx求3212dyyxdx求(二)
11、推广：复合函数的求导法则对于多个中间变量的情形也是成立的 例如可导函数则复合函数 的导数为 yf u uv vm m g x fg x dydy dudvdmdxdu dv dmdx例11 lncosxdyyedx求例12设 证明幂函数的导数公式 .0 x 1xx(三)复合函数的求导法则应用 它的基本方法是把复合函数中的某些量看作整体，把多步复合看作两步复合，重复进行下去即可。例9 1sin,xyey求(四)复合函数求导注意的问题1、搞清复合关系,从外层到内层一步一步进行求导运算，不要遗漏复合 过程。2、当即有四则运算又有复合函数运 算时，要弄清运算程序，做到先考 虑运算，后考虑复合。例14求
12、函数 的导数。2tansinyfxf x例15已知 求：例16设 232arctan32xyffxxx0 xdydx ln.f xyfx ey求四、基本求导法则与导数公式(一)常数和基本初等函数的导数公式 1.0C12.xx3. sincosxx4.cossinxx 25.nsectaxx26.cotcscxx 7. secsec tanxxx8. csccsc cotxxx9.lnxxaaa10.xxee111.loglnaxxa112.ln xx2113.sin1arcxx2114.cos1arcxx2115.arctan1xx2116. arccot1xx(二)函数的和、差、积、商的求导
13、法则 设 都可导,则有 uu xvv x及1.,uvuv2.cucu c是常数3.,u vu vuv24.0uuv uvvvv (三)反函数的求导法则 设 内单调可导,且 ,则它的反函数 内也可导,且 yxfyI在区间 fy 0 1xyyfxIf I在 111dyfxdxfydxdy 或(四)复合函数的求导法则 设 且都可导,则复合函数 的导数为 或 yf uug x而 f ug x及 yfg xdydy dudxdu dx yxfugx例17证明下列双曲函数及反双曲函数 的导数公式， 21shxchxchxshxthxch x221111arshxarchxxx211arthxx例18求 的
14、导数。例19 21cossinarctanyxthxxsinsinnynxx ny为常数 ，求2-3 高阶导数（一）二阶导数1、定义：把 的导数叫做函数 的二阶导数，记作即 相应地，把 的导数 叫做 的一阶导数。 yfx yf x22d yydx或22=d yddyyydxdx dx=或 yf x fx yf x例1证明：函数 满足关系式 。22yxx310y y 2、 路程函数 的导数的意义 设物体沿着一条直线运动的方程为 ,则 即路程对时间的二阶导数为加速度。 SS tdsvdtddsadtdt SS t例2设 ,其中 具有二阶导数,求 。2sinyf xf22d ydx1、定义：把 阶导
15、数的导数叫做 ，记作2、高阶导数：二阶及二阶以上的导数叫高阶导数n二阶导数1nn阶导数 .nnnd yydx或3、注意：如果函数 在点 具有n阶导数，那么 在点 的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数f xf x0 x0 x(1)(1)00( )00limnnnhfxhfxfxh例3设 ，则使存在的最高阶数 为 （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 323f xxx x 0nfn二、（一）直接法：所谓直接法是指先求出所给函数的前几阶导数后，分析所得结果，找出规律性，从而总结出 阶导数。n阶导数的求法n例4.求指数函数 阶导数.例5.求正弦与余弦函数的 阶导数.xyen的n例6求对数函
16、数 阶导数。例7求幂函数的 阶导数公式。ln 1xn的n例8设 求 3421 3846fxxxx 8fx例9已知函数 具有任意阶导数，且 ，则当 为大于2的正整数时， 阶导数 （ ）（A） （B）（C） （D） f x 2fxf x n f xn的 1!nnf x 1nn f x 2nf x 2!nnf x nfx 是(二)利用 阶导数的求导法则求导法则:如果阶导数，则有 (2) 莱布尼兹公式n uu xvv xxn及都在点 处具有 1nnnuvuv 12012nnnnnnnu vC uvC uvC uv n kknknnnC uvC uv例10 例11.已知2022xyx ey求 100yx
17、shxy求(三)间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法达到求已知函数的导数的方法。例12求 阶导数。3232xynxx的例13试从 导出 1dxdyy 2321-d xydyy 235332yy yd xdyy2-4 隐函数及由参数方程所确定的 函数的导数 相关变化率一、隐函数的导数(一)相关定义1、显函数：符号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子,当自变量取定义域内任一值时,由这个式子能确定对应的函数值,用这种方式表达的函数叫显函数,即形如 这样的函数。 yf x2、隐函数:如果变量 满足一个方程 在一定条件下,当 取某区间内的任一值时,相应的总有满足这个方程的
18、唯一的 值存在,那么就说方程 ,在该区间内确定了一个隐函数。3、隐函数的显化：把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化。xy和0,F xy ，xy0F xy ，(二)隐函数的求导方法1、两边求导法 设方程 ,确定了一个隐函数 ,则有 ,两边对 求导,即可得 .0F xy ， yx 0F xx，xy例1求由方程所确定的隐函数的导数0yex ye例2设函数 由方程 所确定, 求 的值。 yy x-1yy xe 220 xd ydx例3求椭圆 在点 处的切线方程。221169xy32,322、对数求导法(1)适用了幂指函数 ,其中 , 都可导.01vy u uu且 uu x vv x例4求 的导数.s
19、in0 xyxx例5若函数 ，其中 为可导的正值函数，求 。12xyf xfy(2)适用于含有因式，尤其是含有根式因式的函数求导。例6求 的导数.1234xxyxx二、由参数方程所确定的函数的导数(一)定义:若参数方程 确定了函数 之间的函数关系,则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数。 xtytyx与(二)参数方程求导法则 设参数方程 确定了函数 ,若函数 的反函数存在,且 单调可导 可导，则由参数方程所确定的函数 的导数 xtyt yf x xt ,0,t yt yf x tdydxt xt 特别的如果 二阶可导那么又可得到由参数方程所确定的函数的二阶导数 xtyt， 22tt
20、d yddydddtdxdxdxdxtdttdx 21tttttt 3ttttt例7对数螺线 处的切线的直角坐标方程为何。2=,2ee在点，例8. 已知抛射物体的运动轨迹的参数方程为 求抛射物体在时刻 的运动速度的大小和方向.12212xvtyv tgtt例9计算由摆线的参数方程 所确定的函数 的二阶导数。sin1 cosxa ttyat yy x例10设函数所确定，求 。 2arctan(1)25(2)txtyy xytye 由dydx三、相关变化率（一）定义：设 都是可导函数，而变量 之间存在某种关系，从而变化率 间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。 xx tyy t及
21、xy与dxdydtdt与例11.一气球从离开观察员500米处离地面铅直上升,当气球高度为500米时，其速率为 ,求此时观察员视线的仰角增加的速率是多少？140/minm分2-5 函数的微分一、微分的定义 （二）定义：设函数 在某区间内有定义， 在这区间内，如果函数的增量 可以表示为 ，其中A是不依赖于 的常数，那么称函数 是可微的。 yf x00 xxx及00yf xxf x 0yA xx x 0yf xx在点 而 叫做函数 相应于自变量增量 的微分， 记作A x 0yf xx在点x,dydyA x即（三）可微与可导的关系 函数 可微的充分必要条件是函数 可导，且当 可微时，其微分一定是 。
22、0f xx在点 0f xx在点 0f xx在0dyfxx例1求函数 的微分。21yxxx在和3例2求函数 时的微分。3yx2xx 当，0.02（四）微分的意义 当 很小时，微分 是函数改变量 的近似值xdyy(五)用 代替 的相对误差的极限 以微分 近似代替增量 时,相对误差当 时趋于零.且误差为 ,因此,在 很小时,有近似等式 。dyy0dyfxx00yf xxf x 0 x 0 dyxydy (六)函数的微分 函数 在任意点 的微分称为函数的微分,记作 , 即 yf xx dydf x或 dyfxx(七)自变量的微分：把自变量 的增量 称为自变量的微分。 由于函数的微分 与自变量的微分 之
23、商等于该函数导数,因此，导数也叫“微商”xxdydx二、微分的几何意义 对于可微函数,当 是曲线 上点的纵坐标的增量时, 是曲线的切线上点的纵坐标的 相应增量。y yf xdy三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则(一)基本初等函数的微分形式(二)函数的和、差、积、商的微分法则 dyfx dx1. d uvdudv2. d cucdu3. d uvvduudv24.0uvdu udvdvvv （三）复合函数的微分法则微分形式不变性：无论 是自变量，还是中间变量，微分形式， 保持不变，这一性质称为微分形式不变性。u dyfu du例32ln 1xyedy求例41 3cosxyexdy求例5已知
24、 所确定的函数, . 20 xyyy xyx是由e +-dy求例6在下列不等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。 1dxdx 222cosdx d x 3cosdtdt四、微分在近似计算中的应用(一)近似计算方法1、如果 处的导数 ,且 很小时,有 0yf xx在00fxx0ydyfxx 例7有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度要镀上一层铜，厚度定为0.01cm，估计一下每只球需用铜多少克(铜的密度是 ) .38.9/g cm2、 000f xxf xf xx 例8利用微分计算的近似值。0sin30 303、尤其当 时,故当 很小时有 0000f xf xfxx xxx 时00
25、x 000f xffxx 时x 00f xffx例9验证当 很小时， xln 1xx4、应用公式注意的问题(1) 的正负要考虑(2)应注意公式使用的条件 很小.xx（二）误差估计1、相关的定义（1）间接测量误差：由于测量仪器的精度，测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差。（2）绝对误差，相对误差 如果某个量的精确值是A，它的近似值为 的绝对误差，而绝对误差与 的相对误差。 , aAaa那么叫做Aaaaa的比值叫做（3）绝对误差限，相对误差限 如果某个量的精确值是A,测得它的近似值是 ，又知道它的误差不超过 ,那么， 叫做测量A的绝对误差限，而 叫做测量A的相对误差限。aAAAa即AAa例10设测得圆钢截面的直径 测量D的绝对误差限 ，利用公式 计算圆钢截面积时，试估计面积的误差。60.03Dmm0.05mm24AD